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1、学习必备欢迎下载2.7微分方程初步2.7.1 概说涉及到量的变化率满足的制约关系，通常是含有导数的方程微分方程。简单例子：（1）放射性物质，在每一时刻t，衰变的速率dmdt（由于是减少，因此0dmdt，速率为标量，是正值）正比于该放射性物质尚存的质量，因此质量应满足一下微分方程。dmkmdt（2）质量为m的物体自由落体，取坐标轴沿竖直方向指向地心，下落距离( )yy t应该满足牛顿第二定律Fma，即22d ymgmdt（3）质量为m的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则t时刻下降距离( )yy t满足22dyd ymgkmdtdt（1）如下图所示，钢球在以水平
2、光滑杆上，受到弹力而来回整栋，原点位置为O，钢球在t时刻的坐标( )xx t满足微分方程22d xkxmdt如果钢球还受到一个与速度成正比，方向与速度相反的阻尼力的作用，那么它所满足的微分方程是22dxd xkxhmdtdt总结： 最简单的一阶微分方程是( )dxf tdt其中t是自变量，上述方程的一般解应该是( )xf t dtC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页学习必备欢迎下载最简单的n阶方程( )nnd xf tdt它等价于说11nndxdt是( )f t的原函数，即11( )nndxf t dtCdt则再次
3、积分，一直积分下去得到111( )(1)!nnntxf t dtdtCCtCn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页学习必备欢迎下载2.7.2 一阶线性微分方程考察下面的方程( )( )dxa t xb tdt方程中有未知函数的一阶导数，且其一阶导数的系数为常数，其余部分未知函数最高层次数为一次，称为线性，上述方程为一阶线性微分方程。如果( )0a t，则称为 一阶线性常微分方程。试着求解上述方程，方程两端都乘以( )a t dte，得到( )( )( )( )( )a t dta t dta t dtdxea t e
4、xb t edt即为下面的形式( )( )( )( )a t dta t dta t dtd edxexb t edtdt即( )( )( )a t dta t dtd xeb t edt于是有( )( )( )a t dta t dtxeb t edtC那么有( )( )( )a t dta t dtxeb t edtC这就是一阶线性微分方程的一般解 。这个解法的关键部分是以( )a t dte乘以方程两端。简单的例子（1）质量为m的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则t时刻下降距离( )yy t满足22dyd ymgkmdtdt由于速度dyvdt，因此方程
5、化为dvkvgdtm方程两边同时乘以( )kkdtta t dtmmeee，则有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页学习必备欢迎下载kkktttmmmdvkeevgedtm即有ktmktmd vegedt得到kkttmmmgveeCk即kkktttmmmmgmgveeCCekk跳伞的初始速度为0，即0,0tv，则00tmgvCk所以mgCk则跳伞速度为1ktmmgvek由于dyvdt，因此有1kkttmmmgmgmyvdtedtteCkkk跳伞的初始位移为0，即0,0ty，则00tmgmyCkk则mCk因此有1ktm
6、mgmytekk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页学习必备欢迎下载自然界有一些量，它的减少正比于该量本身数值，这样的量x应该满足一下的微分方程dxkxdt即0dxkxdt解这微分方程得到ktxCe设0t时x的值为0x，则有0Cx，量x的变化规律为0ktxx e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页学习必备欢迎下载2.7.3 变量分离型微分方程先看一个简单的例子，考察一阶线性方程( )dxa t xdt我们把这个方程改写为( )dxa t d
7、tx如果( )xx t是方程的解，那么它能使上式成为恒等式，两边求不定积分得( )dxa t dtCx因此得到ln |( )xa t dtC( )a t dtCxee令CCe，则得到( )a t dtxCe因此我们可以得到结论，方程( )dxa t xdt的一般解为( )a t dtxCe（一般的变量分离型方程）对于一般的变量分离型方程( ) ( )dxf t g xdt事实上，如果( )0g x，那么方程可以改写为( )( )dxf t dtg x再对两边求不定积分得到( )( )dxf t dtCg x另外，如果有0x能使得0()0g x，那么常值函数0xx也是原方程的解。（经过换元后得到
8、变量分离型方程）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页学习必备欢迎下载（1）考察方程dxxfdtt换元，引入新的未知数xut我们得到xut()dxd utduutdtdtdt代入原方程得到( )duutf udt( )duf uudtt这又是一个变量分离型方程，我们有( )dudtf uut( )dudtCf uut则有ln | |( )dutCf uu（2）考察方程dxxtfdtxt变换方程xdxxtfgxdttt换元，令xut我们得到xutdxduutdtdt代入原方程，我们有精选学习资料 - - - - - -
9、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页学习必备欢迎下载duuutfdtu这是一个分离变量型的方程，得到dudttufuu两边取积分得到dudtCtufuu则得到ln | |dutCufuu（3）考察方程dxxtfdtxt这个方程可以化成（2）中的形式，取0x和0t满足000000xtxt作如下变换00xxtt则有00()()dxdxddtdtd00000000()()()()()()00xtxtxtfffxtxtxtfff作换元，令精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页学习必备欢迎
10、下载u我们得到udduudd代入原方程，我们有duuufdududufuududCufuuln | |duCufuu求解方程后只要将值还原为还原前的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页学习必备欢迎下载2.7.4 实变复值函数对于代数方程式，我们已经有过这样的经验：即使是实系数的代数方程，为了弄清楚它的根的状况， 最好到更广泛的复数范围内加以讨论。在处理微分方程的某些问题时，例如求解高阶常系数线性微分方程的时候也会遇到类似的问题：虽然是“实”的微分方程，所求的也是实解（实值函数解），但中间过程却需要在更广泛的复值函
11、数范围内进行讨论。本节为这一讨论做准备。（1）复数与平面向量，复数序列的极限我们把形状如wuiv的数称为复数，这里1i是虚单位，而,u v都是实数，分别称为实部和虚部，记为Re,wu Im wv复数的加法和乘法定义如下：11221212()()()()uivuivuui vv11221212()()()()uivuivuui vv11221221121 212122112() ()()()uivuivu uiv uiv uv vu uvvi v uv u1111221212122112121221222222222222222222()()()()()()uivuivuivu uv vi v
12、uv uu uv vv uv uiuivuivuivuvuvuv作除法时要求220uiv，即22220uv。复数wuiv可以解释为平面直角坐标系中坐标为( , )u v的点，这点的极坐标为( ,)r，x( )y iOr( , )u v其中22ruv，cosur，sinvr我们把(cossin)wri精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页学习必备欢迎下载称为复数的极坐标表示，r和分别称为复数的模和幅角，分别用符号|w和Argw表示。采用这种表示来计算复数的乘方特别方便：(cossin)nnwrnin证明：当1n时明显成
13、立，假设当nk时成立，有(cossin)kkwrkik则当1nk时，有1111(cossin)(cossin)(cossin)(cossin )(coscossinsin )(cossinsincos )cos(1)sin(1)kkkkkkwwwrkikrirkikirkkikkrkik所以对1nk也成立，故而有(cossin)nnwrnin复数wuiv还可以解释为长为|w方位角为Argw的一个平面向量， 多个复数之和就可以理解为多个平面向量之和。复数的模正好是向量的长度，它满足一下不等式：1212| |wwww意味着三角形的两边之和大于第三边。也可以用代数方式证明这个不等式。化为代数表达，也
14、就是证明：22222212121122()()uuvvuvuv这个采用逆向证明法很容易证明，不等式还可以推广到m个复数的情形，则1212| |mmwwwwww定理 1： 复数序列nnnwuiv收敛于CAiB的充分必要条件是序列nu和序列nv分别收敛于A和B。（实变复值函数）设DR，EC，我们把从D到E的映射( )wf t称为实变复值函数，设wuiv，( )( )( )f ttit， 、函数( )wf t相当于一对实函数( )ut，( )vt引入实变复值函数作为工具，是为了更方便地研究实函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，
15、共 17 页学习必备欢迎下载定理 1： 设实变复值函数( )( )( )f ttit在0( , )U t有定义，而CAiB，则0lim( )ttf tC的充分必要条件是0lim( )tttu，0lim( )tttv定理 2： 设实变复值函数( )( )( )f ttit在0( , )U t有定义，则( )f t在0t点连续的充分必要条件是：( ) t和( ) t在0t点连续。定理 3： 设实变复值函数( )( )( )f ttit在0( , )U t有定义，则( )f t在0t点可导的充分必要条件是：( ) t和( ) t在0t点可导。且000( )( )( )fttit实函数的复合函数求导法
16、则同样适用于实变复值函数的复合函数求导。定理 4： 为使实变复值函数( )( )( )F ttit是实变复值函数( )( )( )f ttit的原函数，必须而且只许( ) t和( ) t分别是( ) t和( ) t的原函数。记为( )( )f t dtF tC( )( )( )( )( )f t dtt dtit dttitC其中C可以是复数。（欧拉 Euler 公式）在推导过程中，会用到下面几个常见的极限10lim 1e，0ln(1)lim1，0arctanlim1当0a时，lim 1lim1annaaaaenn；当0a时，0lim 1lim 101nnaen；因此有精选学习资料 - - -
17、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页学习必备欢迎下载lim 1,naaeaRn定义： 对于caibC，我们规定lim 1nccen下面来求解ce。将复数1cn写成极坐标的形式111cossincaibabwirinnnn其中221abrnn，arctan1bnan那么有1cossinnnncwrin由前面的知识可得cossincossinnnnwrirnin因此有1cossinnncrninnlim 1limcossinlimlim cossinlimcos limsin limncnnncerninrninnrnin下面分别求出各部分的
18、极限：2222222211nnnabaabrnnnn2222lnln 12nnaabrnn因此有 （可用其同阶的无穷小替代）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页学习必备欢迎下载22222222limlnlimln 1lim22nnaabnaabrannnn则有lnlimlnlimlimnnnrrareee而limlimarctanlim11bbnnnnnbaann因此得到lim 1limcos limsin limcossinncnacerninebibn即cossincaeebib，其中caib或者cossina
19、 ibaeebib（1）如果0a，那么有cossinibebib（2）令b分别为b和b，我们得到cos, sin22ibibibibeeeebb（3）推广到复数的指数运算1212cccceee证：1211221212121212121122121212121212()()(cossin)(cossin)(coscossinsin)(sincoscossin)cos()sin()ccaibaibaaaaaaaai bbcceeeeebibebibebbbbibbbbebbibbee（4）令0a，2b，则得到2cossin22ieii令0a，b，则得到精选学习资料 - - - - - - - -
20、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页学习必备欢迎下载cossin1iei令0a，2bk，则得到2cos2sin 21ikekik特别的1k，有21ie它将数学中最重要的五个数字1,2, , e i联系在一起。利用欧拉公式，我们将复数的极坐标形式(cossin)wri写成iwre这里r为复数的模，为幅角，cossiniei是一个模为1 的复数，它表示与极轴夹角为的一个单位向量。| 1ie再看复数2(cossin)sincoscossin22iiieiiiie因为22iiiiieeee所以iie是与ie垂直的一个单位向量。如下图所示。Oieiie（应用欧拉公式讨论
21、实变复值函数）考察实变复值函数()( )titf tee，这里tR，iC (,)R，根据欧拉公式有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页学习必备欢迎下载()( )(cossin)tittittf teeeetit那么求导数得到2( )(cossin) (cossin)(cossin)(cossin)(sincos)cossin22tttttttitttittittittitifteetitetitetitetitetiteetiteeeee2()titti tti tteieiee因此得到，对于iC，下面的求导公式也
22、成立。ttee因此得到关于原函数不定积分的相应公式。1tte dteC（1）例如，已知,a bR，试求下面的不定积分。cosatebtdt，sinatebtdt令aib，则所求的不定积分恰好为下式的实部和虚部()22222222(cossin)11(cossin)()(cossin)( cossin)( sincos)cossinattta ib tatatatataeatibt dte dteCeAiBaibaibebtibtAiBabaibbtibteAiBababtbbti abtbbteAiBababtbbteAieab22sincostabtbbtBab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页学习必备欢迎下载由于对于实变复值函数( )( )( )f ttit( )( )( )( )( )f t dtt dtit dttitC因此有22cossincos( )atatabtbbtebtdtteAab22sincossin( )atatabtbbtebtdtteBab其中A，B为任意实数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页
