电磁场与电磁波第四版第一章矢量分析

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1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波电磁场与电磁波电磁场与电磁波本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理电磁场与电磁波电磁场与电磁波场的概念场的概念标量：标量：只有大小而没有方向的量。如电压只有大小而没有方向的量。如电压U U、电荷量、电荷量Q Q 等。等。矢量：矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、具

2、有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。 常矢：常矢：若某一矢量的模和方向都保持不变，如若某一矢量的模和方向都保持不变，如重力重力 变矢：变矢：若模和方向二者至少一个发生变化，如若模和方向二者至少一个发生变化，如速度速度矢量描述：矢量描述：矢量可采用有向线段、文字、单位矢量可采用有向线段、文字、单位矢量、分量表示等多种方式来描述。矢量、分量表示等多种方式来描述。 矢性函数：矢性函数：设设t t是数性变量，是数性变量， 为变矢，对于某区间为变矢，对于某区间GGa,ba,b 内的每一个数值内的每一个数值t t， 都有一确定的

3、矢量都有一确定的矢量 与之对应，则与之对应，则称称 为数性变量为数性变量t t的矢性函数，记为：的矢性函数，记为： 电磁场与电磁波电磁场与电磁波物理量：物理量：被赋予物理单位并具有一定物理意被赋予物理单位并具有一定物理意义的矢量和标量。如电压义的矢量和标量。如电压U、电荷量、电荷量Q等。等。场：场：在某一空间区域中，物理量数值的无穷在某一空间区域中，物理量数值的无穷集合，如温度场，电位场等。集合，如温度场，电位场等。标量场：标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定义一一个标量唯一地描述，则该标量函数定义一个标量场。如温度、密度等。个

4、标量场。如温度、密度等。 矢量场：矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定义一一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定义一个矢量场。如电场、磁场、流速场等。个矢量场。如电场、磁场、流速场等。 电磁场与电磁波电磁场与电磁波场的属性：场的属性：占有一定空间，且在该空间区域内，占有一定空间，且在该空间区域内，除有限个点和表面外，其物理量处处连续除有限个点和表面外，其物理量处处连续场的分类场的分类按与时间的关系分：按与时间的关系分：静态场静态场/时变场，各处时变场，各处物理量是否随时间变化物理量是否随时间变化按与方向关系分：按与方向关系分：标量场

5、标量场/矢量场，各处物矢量场，各处物理量是标量还是矢量理量是标量还是矢量电磁场与电磁波电磁场与电磁波矢量代数矢量代数空矢或零矢：空矢或零矢：一个大小为零的矢量一个大小为零的矢量单位矢量：单位矢量：一个大小为一个大小为1的矢量，在直角坐标系中，的矢量，在直角坐标系中，用单位矢量表征矢量分别沿用单位矢量表征矢量分别沿 x，y，z轴分量的方向。轴分量的方向。矢量的表示方法矢量的表示方法矢量一般表示：矢量一般表示： ，A为矢量为矢量 的大小，的大小， 为方向为方向 注意注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。 电磁场与电磁波电磁场与电磁波任一矢量可以表示为：任一矢量可以表示为：位置矢量：

6、位置矢量：从原点指向空间任一点从原点指向空间任一点P的矢量的矢量 位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定。唯一地被确定。直角坐标系中点直角坐标系中点P(X,Y,Z)的位置矢量表达式为：的位置矢量表达式为：电磁场与电磁波电磁场与电磁波结论：结论：若两不为零矢量的点积为零，则两矢量互相垂直若两不为零矢量的点积为零，则两矢量互相垂直数学知识补充数学知识补充矢量的代数运算矢量的代数运算求和差求和差作图法：作图法： 平行四边形法则平行四边形法则分量法：分量法：求点积求点积 （标量积、内积）（标量积、内积） 公式：公式： 特点：特点： 直角坐标

7、系中：直角坐标系中：电磁场与电磁波电磁场与电磁波求叉积求叉积 （矢量积、外积）（矢量积、外积）结论：结论：若两不为零矢量的叉积为零，则两矢量互相平行若两不为零矢量的叉积为零，则两矢量互相平行公式：公式：其中：其中：符合右手螺旋法则符合右手螺旋法则特点：特点：直角坐标系中：直角坐标系中：右手螺右手螺旋法则旋法则电磁场与电磁波电磁场与电磁波数学知识补充数学知识补充矩阵和行列式的计算矩阵和行列式的计算代数余子式：代数余子式： 的余子式前添加符号的余子式前添加符号 ，称，称 的代数余子式，记为的代数余子式，记为 ， 例：求例：求 中元素中元素 的余子式和代数余子式的余子式和代数余子式余子式：余子式：在

8、在 n 阶行列式阶行列式 中去掉元素中去掉元素 所在所在的行和列，剩下的的行和列，剩下的 n-1 阶行列式称为元素阶行列式称为元素 的余子的余子式。记为式。记为电磁场与电磁波电磁场与电磁波n n阶行列式的计算：阶行列式的计算： 等于它的等于它的任意一行（列）任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即例：例：求求电磁场与电磁波电磁场与电磁波矩阵的乘法：矩阵的乘法：设设A=(aij)是是ms矩阵，矩阵， B=(bij)是是sn矩矩阵，作阵，作A的第的第i行与行与B的第的第j列的对应元素的乘积之和列的对应元素的乘积之和 , ,则矩阵为矩阵则矩阵为矩阵A

9、与与B的乘积的乘积例：例：已知：已知：求求AB解：解：电磁场与电磁波电磁场与电磁波方程组的矩阵表示方程组的矩阵表示设矩阵设矩阵可记为可记为Y=AX 则则 X=A-1Y，A-1为为A的逆矩阵，的逆矩阵，要求要求X，只需求只需求A-1，即求，即求A的逆矩阵的逆矩阵电磁场与电磁波电磁场与电磁波逆矩阵的求法逆矩阵的求法其中其中为为A的的伴随矩阵伴随矩阵n阶方阵阶方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是|A|0, ,且当且当A可逆时，可逆时，有有Aij是是|A|的元素的元素aij的代数余子式的代数余子式注意此矩阵行和注意此矩阵行和列的排列，转置矩阵列的排列，转置矩阵电磁场与电磁波电磁场与电磁波例：

10、例：已知：已知：求求A-1解：解：电磁场与电磁波电磁场与电磁波矢量的混合运算矢量的混合运算 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积电磁场与电磁波电磁场与电磁波 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。确定。1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：直角直角坐坐标系、圆柱坐标系和球坐标系标系、圆柱坐标系和球坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的

11、确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称；描述坐标轴的量称为为坐标变量坐标变量。电磁场与电磁波电磁场与电磁波1. 直角坐标系直角坐标系 位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量体积元体积元坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量 点点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）（平面） o x y z0xx=（平面）（平面）0zz=（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 x yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydx电磁场与电磁波电磁场与电磁波2. 圆柱坐标

12、系圆柱坐标系坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系圆柱坐标系（半平面半平面）（圆柱面圆柱面）（平面平面）电磁场与电磁波电磁场与电磁波3. 球坐标系球坐标系坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系球坐标系（半平面半平面）（圆锥面圆锥面）（球面球面）电磁场与电磁波电磁场与电磁波4. 坐标单位矢量之间的坐标单位矢量之间的关系关系 直角坐直角

13、坐标标与与圆柱坐圆柱坐标系标系圆柱坐圆柱坐标标与与球坐标球坐标系系直角坐直角坐标标与与球坐标球坐标系系ofxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系foqrz单位圆单位圆 柱坐标系与柱坐标系与球球坐标系之间坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系qq电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.3 标量场的梯度标量场的梯度q物理量是标量，称为物理量是标量，称为标量场标量场。如：温度场、电位场、高度场等。如：温度场、电位场、高度场等。q物理量是矢量，称为物理量是矢量，称为矢量场矢量场。如：流速场如：流速场、重力场重力场、电场、磁场等。、电场、磁

14、场等。q场与时间无关，称为场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为： 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个该区域上定义了一个场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为： 研究标量场和矢量场时，用研究标量场和矢量场时，用“场图场图”表示场变量在空间逐点演变的表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义。

15、情况具有很大的意义。电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.1.标量场的等值面标量场的等值面等值面等值面: : 标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。 如等温面等。如等温面等。等值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。 等值面的特点等值面的特点：意义意义: : 形象直观地描述了形象直观地描述了标量场标量场物理量物理量在空间的分布状态。

16、在空间的分布状态。标量场的等值线标量场的等值线( (面面) )等值面在等值面在二维空间二维空间称为等值线。如等高线等。称为等值线。如等高线等。电磁场与电磁波电磁场与电磁波2.2.标量场方向导数标量场方向导数( (标量标量) ) Directional Derivative 设设M0是是标标量量场场=(M)中中的的一一个个已已知知点点，从从M0出出发发沿沿某某一一方方向向引引一一条条射射线线l, 在在l上上M0的的邻邻近近取取一一点点M，MM0=，若当若当M趋于趋于M0时时(即即趋于零时趋于零时) 的极限存在，称此极限为函数的极限存在，称此极限为函数(M)在点在点M0处沿处沿l方向的方向导数，方

17、向的方向导数，记为记为 电磁场与电磁波电磁场与电磁波结论：结论：方向导数方向导数 是函数是函数 在点在点 处沿方向处沿方向 对对距离的变化率距离的变化率表明表明M0处函数处函数 沿沿l方向增加，反之减小方向增加，反之减小若函数若函数=(x, y, z)在点在点M0(x0, y0, z0)处可微，处可微，cos、cos、cos为为l方向的方向余弦，则函数方向的方向余弦，则函数在点在点M0处沿处沿l方向的方向导数必定存在，且为方向的方向导数必定存在，且为电磁场与电磁波电磁场与电磁波证明：证明：M点的坐标为点的坐标为M(x0+x, y0+y, z0+z)，由于函，由于函数数在在M0处可微，故处可微，

18、故 两边除以两边除以，可得，可得 当当趋于零时对上式取极限，可得趋于零时对上式取极限，可得 电磁场与电磁波电磁场与电磁波3.3.标量场的梯度标量场的梯度( (矢量矢量) ) gradient gradient在直角坐标系中在直角坐标系中梯梯度度的的定定义义：在在标标量量场场 中中的的一一点点M处处，其其方方向向为为函函数数 在在M点点处处变变化化率率最最大大的的方方向向，其其模模又又恰恰好好等等于于最最大大变变化化率率的的矢矢量量 ，称称为为标标量量场场 在在M点点处处的的梯度，用梯度，用 表示。表示。方向：方向：函数函数 在在M点处变化率最大的方向点处变化率最大的方向大小：大小：最大变化率的

19、矢量的模最大变化率的矢量的模电磁场与电磁波电磁场与电磁波哈米尔顿（哈米尔顿（Hamilton）算子）算子定义：定义： (读作读作del)是一个是一个矢性微分算子矢性微分算子 （是一个微分符号，是一个微分符号， 同时又要当作矢量看待）同时又要当作矢量看待）直角坐标系中，直角坐标系中，算子算子的表达式为：的表达式为：补充：补充：电磁场与电磁波电磁场与电磁波梯度的表达式梯度的表达式：圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系 标量场的梯度标量场的梯度（ 或或 ）意义意义：描述标量描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念概念： ，其中其中

20、 取得最大值的方向取得最大值的方向电磁场与电磁波电磁场与电磁波梯度的性梯度的性质：标量量场 中每一点中每一点M处的梯度垂直于的梯度垂直于过该点的等点的等值面，且指向函数面，且指向函数 的增大方向。即梯度的增大方向。即梯度为该等等值面的法向矢量。面的法向矢量。在某点在某点M处沿任意方向的方向沿任意方向的方向导数等于数等于该点点处的梯的梯度在此方向上的投影。度在此方向上的投影。任一点梯度的模等于任一点梯度的模等于该点各方向上方向点各方向上方向导数最大数最大值电磁场与电磁波电磁场与电磁波梯度运算法梯度运算法则设设c c为一常数，为一常数，u u( (M M) )和和v v( (M M) )为数量场，

21、很容易证明下面梯度运算法则的成立。为数量场，很容易证明下面梯度运算法则的成立。电磁场与电磁波电磁场与电磁波例例1 求求数数量量场场=(x+y)2-z 通通过过点点 M(1, 0, 1) 的的等等值值面面方方程。程。解解：点点M的的坐坐标标是是x0=1, y0=0, z0=1，则则该该点点的的数数量量场场值值为为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为其等值面方程为 或或 ：电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例 2 设设 标标 量量 函函 数数 r是是 动动 点点 M(x, y, z)的的 矢矢 量量 r=xex+yey+zez的的 模模 ， 即即 ， 证明：证明： 证明：证明： 所以所以 电

22、磁场与电磁波电磁场与电磁波 解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为 例例1.2.1 设设一一标标量量函函数数 ( x, y, z ) = x2y2z 描描述述了了空空间间标标量场。试求：量场。试求： (1) 该该函函数数 在在点点 P(1,1,1) 处处的的梯梯度度，以以及及表表示示该该梯梯度度方方向向的单位矢量。的单位矢量。 (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方方向向的的方方向向导导数数，并并以以点点 P(1,1,1) 处处的的方方向向导导数数值值与与该该点点的的梯梯度度值作以比较，得出相应结论。值作以比较，得出相应结论。电磁场与电磁波电磁

23、场与电磁波表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 (2) 由由方方向向导导数数与与梯梯度度之之间间的的关关系系式式可可知知，沿沿el 方方向向的的方方向向导数为导数为对于给定的对于给定的P P 点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为电磁场与电磁波电磁场与电磁波而该点的梯度值为而该点的梯度值为 显显然然，梯梯度度 描描述述了了P P点点处处标标量量函函数数 的的最最大大变变化化率率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1. 矢量线矢量线 意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。

24、矢量线方程矢量线方程：概念概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线OM 1.4 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度电磁场与电磁波电磁场与电磁波矢量线的作用矢量线的作用1 1根据矢量线确定矢量场中各点矢量的根据矢量线确定矢量场中各点矢量的方向方向2 2根据各处矢量线的疏密程度，判别出各处矢根据各处矢量线的疏密程度，判别出各处矢量的量的大小及变化趋势大小及变化趋势。A A点受到向下电场力点受到向下电场力B B点受到向下电场力点受到向下电场力A A点比点比B B点受到的力大点受到的力大越密

25、矢量越大越密矢量越大电磁场与电磁波电磁场与电磁波例例2 求矢量场求矢量场 的矢量线方程的矢量线方程解：解： 矢量线应满足的微分方程为矢量线应满足的微分方程为 从而有从而有 c1和和c2是积分常数。是积分常数。 电磁场与电磁波电磁场与电磁波一、面元矢量：一、面元矢量：面积很小的有向曲面面积很小的有向曲面方向：方向：1 1、开曲面上的面元、开曲面上的面元 2 2、闭合面上的面元、闭合面上的面元确定绕行确定绕行l的方向后，的方向后，沿绕行方向按右手沿绕行方向按右手螺旋螺旋拇指方向拇指方向闭合曲面的闭合曲面的外法线方向外法线方向2. 2. 矢量场的通量矢量场的通量 （flux） 电磁场与电磁波电磁场与

26、电磁波二、通量（标量）二、通量（标量）1、 穿穿过面元面元的通量的通量 2、 穿穿过整个曲面整个曲面S的通量的通量3、 穿穿过闭合曲面合曲面S的通量的通量通量特性：通量特性：反映某一空间内场源总的特性反映某一空间内场源总的特性通过闭合面通过闭合面S S的通量的物理意义：的通量的物理意义：0，穿出多于穿入，穿出多于穿入，S S内有发出矢量线的内有发出矢量线的正源正源0 0，穿出穿出少于穿入，少于穿入，S S内有内有汇集矢量线的汇集矢量线的负源负源=0 0，穿出穿出等于穿入，等于穿入，S S内内无源无源，或，或正源负源代数和正源负源代数和为为0 0电磁场与电磁波电磁场与电磁波通过闭合曲面有通过闭合

27、曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出有净的矢有净的矢量线进入量线进入进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义电磁场与电磁波电磁场与电磁波例例1 在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为：中任一点处的电位移矢量为： 求穿过原点为球心、求穿过原点为球心、R为半径的

28、球面的电通量为半径的球面的电通量(见图见图)。 解：解： 由于球面的法线方向与D的方向一致，所以 电磁场与电磁波电磁场与电磁波3. 矢量场的散度矢量场的散度 ( (divergence)电磁场与电磁波电磁场与电磁波散度的定散度的定义：极限存在，此极限极限存在，此极限为矢量矢量场在某点的散度在某点的散度散度的定散度的定义式：式：散度的物理意散度的物理意义：散度表征矢量散度表征矢量场的通量源的分布特性。的通量源的分布特性。散度值表征空间中通量源的密度散度值表征空间中通量源的密度通量密度通量密度正源正源负源负源无源无源若散度处处为零若散度处处为零矢量场为无源场矢量场为无源场电磁场与电磁波电磁场与电磁

29、波散度的计算：散度的计算：在直角坐在直角坐标系下：系下：哈密尔顿算子哈密尔顿算子散度符合散度符合规则：电磁场与电磁波电磁场与电磁波例例1-9 原点处点电荷原点处点电荷q产生电位移矢量产生电位移矢量试求电位移矢量试求电位移矢量 的散度。的散度。 解：解：r=0=0以外空间以外空间均为无源场均为无源场电磁场与电磁波电磁场与电磁波圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：电磁场与电磁波电磁场与电磁波直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 由此可知，穿出前、后两侧面的净由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为通量值为

30、 不失一般性，令包围不失一般性，令包围P点的微体积点的微体积 V 为一直平行六面体，如为一直平行六面体，如图所示。则图所示。则oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzDxDyDP电磁场与电磁波电磁场与电磁波根据定义，则得到直角坐标系中的散度根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为表达式为 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为穿出该六面体的净通量为电磁场与电磁波电磁场与电磁波4 4 散度定理（高斯散度定理）散度定理（高斯散度定理）散度定理：散度定理：矢量矢量场散度的体散度的体积分等于分等于该矢

31、量穿矢量穿过包包围该体体积的封的封闭曲面的曲面的总通量。通量。应用：应用：将一个封闭面积分变成等价的体积分将一个封闭面积分变成等价的体积分将一个体积分变成等价的封闭面积分将一个体积分变成等价的封闭面积分 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。在电磁理论中有着广泛的应用。体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S电磁场与电磁波电磁场与电磁波证明：明：散度定理散度定理证：将将闭合曲面合曲面S包包围的体的体积V分成分成许多小体多小体积元元dVi (i=1n)，计算每个体积元的小封闭曲面，计算每个体积元的小封闭

32、曲面Si上的通量，上的通量，再叠加。由散度定义有：再叠加。由散度定义有：可得：可得：由于相由于相邻体体积元有一个公共表面，两体元有一个公共表面，两体积元在公共元在公共表面上的通量表面上的通量等等值异号异号，求和，求和时互相抵消。有部分表面互相抵消。有部分表面在在S面上，面上，这部分表面的通量没有被抵消，其部分表面的通量没有被抵消，其总和和刚好好等于从封等于从封闭面面S穿出的通量。因此有：穿出的通量。因此有：电磁场与电磁波电磁场与电磁波例例 1 球面球面S上任意点的位置矢量为上任意点的位置矢量为求求 解：解： 根据散度定理知根据散度定理知 而散度为而散度为 所以所以 R为球面半径为球面半径电磁场

33、与电磁波电磁场与电磁波1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度 1. 矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 例如例如：流速场。流速场。 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。分不为零。电磁场与电磁波电磁场与电磁波1 1 矢量矢量场的的环量量（标量）量）(circulation)(circulation)

34、环量的定量的定义： 结论：矢量的矢量的环量也是一个量也是一个标量量矢量的矢量的环量不等于零，量不等于零，则闭合曲合曲线内必有旋内必有旋涡源源矢量的矢量的环量等于零，量等于零，则闭合曲合曲线内没有旋内没有旋涡源源例如：例如：在磁场中，在环绕电流的闭合曲线上的环量不在磁场中，在环绕电流的闭合曲线上的环量不等于零，其电流就是产生磁场的旋涡源等于零，其电流就是产生磁场的旋涡源环量的性质：环量的性质：积分量，反映旋涡源总的分布特性积分量，反映旋涡源总的分布特性电磁场与电磁波电磁场与电磁波2 2 矢量场的旋度矢量场的旋度（矢量）（矢量）(rotation)(rotation)一、一、环量面密度的定量面密度

35、的定义（标量）量）若若极限存在极限存在此极限即为该点的环量面密度。此极限即为该点的环量面密度。面元的方向：面元的方向：面元的方向与面元的方向与闭合曲合曲线c的的绕行方向成右手螺旋关系。行方向成右手螺旋关系。结论：面元矢量与面元矢量与旋涡面方向旋涡面方向垂直，垂直，环量面密度等于零量面密度等于零面元矢量与旋涡面方向重合，环量面密度最大面元矢量与旋涡面方向重合，环量面密度最大面元矢量与旋涡面方向有夹角，环量面密度总小于最面元矢量与旋涡面方向有夹角，环量面密度总小于最大值大值电磁场与电磁波电磁场与电磁波二、旋度的定二、旋度的定义（矢量）（矢量）旋度大小：旋度大小：最大最大环量面密度的数量面密度的数值

36、旋度方向：旋度方向：环量面密度最大量面密度最大时的面元的方向的面元的方向引入哈密引入哈密尔尔顿算子算子在直角坐标系中在直角坐标系中电磁场与电磁波电磁场与电磁波结论：旋度描述矢量旋度描述矢量 在在该点的旋点的旋涡源源强强度。度。矢量矢量场在在P点点处沿任一方向沿任一方向 的的环量面密度量面密度为旋度旋度在在 方向上的投影。方向上的投影。若若 ，则为无旋场，反之为有旋场，则为无旋场，反之为有旋场电磁场与电磁波电磁场与电磁波旋度的运算旋度的运算规则直角坐直角坐标系中系中2 2为拉普拉斯算子为拉普拉斯算子电磁场与电磁波电磁场与电磁波q如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭

37、合回路的环流恒为零，称该矢量场为无无旋场旋场，又称为，又称为保守场保守场。环流的概念环流的概念 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即的线积分，即q如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。电流是。电流是磁场的旋涡源。磁场的旋涡源。电磁场与电磁波电磁场与电磁波旋度的计算公式旋度的计算公式: : 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系电磁场与电磁波电磁

38、场与电磁波旋度的有关公式旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零电磁场与电磁波电磁场与电磁波3. 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是闭合曲线定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。广泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即流等于矢量场

39、的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即电磁场与电磁波电磁场与电磁波4. 散度和旋度的区别散度和旋度的区别 电磁场与电磁波电磁场与电磁波1. 矢量场的源矢量场的源散度源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；场在该点的散度； 旋度源旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正

40、比于）沿此曲面边界的闭合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场电磁场与电磁波电磁场与电磁波2. 矢量场按源的分类矢量场按源的分类（1）无旋场无旋场性质性质： ，线积分与路径无关，是保守场。，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的仅有散度源而无旋度源的矢量场，矢量场，无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为例如：静电场例如：静电场电磁场与电磁波电磁场与电磁波（2）无散

41、场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即性质性质：无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，恒定磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波（3）无旋、无散场无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理 1. 拉普拉斯运算拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算概

42、念概念： 拉普拉斯算符拉普拉斯算符直角坐标系直角坐标系计算公式算公式：圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系电磁场与电磁波电磁场与电磁波 矢量拉普拉斯运算矢量拉普拉斯运算概念概念：即即注意注意：对于非直角分量，对于非直角分量，直角坐标系中：直角坐标系中：如：如：电磁场与电磁波电磁场与电磁波2. 格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在区域，若在区域 V 中具有连续的二阶偏中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场导数，那么，可以证明该两个标量场 及及 满足下列等式：满足下列等式： 根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成以上两式称

43、为以上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。SV , 式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，的闭合曲面， 为为标量场标量场 在在 S 表面的外法线表面的外法线 方向方向上的偏导数。上的偏导数。电磁场与电磁波电磁场与电磁波基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。 格格林林定定理理说说明明了了区区域域 V 中中的的场场与与边边界界 S 上上的的场场之之间间的的关关系系。因因此此，利利用用格格林林定定理理可可以以将将区区域域中中场场的的求求解解问问题题转转变变为为边边界界上上场的求解问题。场的求解问题。 此外，格林定理反映了两种

44、标量场之间满足的关系。因此，此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。的分布。 格林定理广泛地用于电磁理论。格林定理广泛地用于电磁理论。电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.8 1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 亥亥姆姆霍霍兹兹定定理理的的简简单单表表达达是是：若若矢矢量量场场F在在无无限限空空间间中中处处处处单单值值，且且其其导导数数连连续续有有界界，而而源源分分布布在在有有限限空空间间区区域域中中，则则矢矢量量场场由由其其散散度度和和旋旋度度唯唯一一确确定定，并并且且可可

45、以以表表示示为为一一个个标标量量函函数数的的梯梯度度和和一一个个矢矢量量函函数数的的旋旋度度之之和和， 即即 假假设设在在无无限限空空间间中中有有两两个个矢矢量量函函数数F和和G，它它们们具具有相同的散度和旋度。有相同的散度和旋度。但这两个矢量函数不等，可令但这两个矢量函数不等，可令 简单证明：简单证明：电磁场与电磁波电磁场与电磁波 由由于于矢矢量量F和和矢矢量量G具具有有相相同同的的散散度度和和旋旋度度，根根据据矢矢量量场场由由其其散散度度和和旋旋度度唯唯一一确确定定，那那么么矢矢量量g应应该该为为零零矢矢量量，也也就就是是矢矢量量F与矢量与矢量G是同一个矢量。是同一个矢量。因为因为F= G

46、， 所以所以 同样由于同样由于 G = F， 所以所以 电磁场与电磁波电磁场与电磁波由矢量恒等式由矢量恒等式 =0, 可令可令 电磁场与电磁波电磁场与电磁波亥亥姆姆霍霍兹兹定定理理的的意意义义：研研究究矢矢量量场场都都应应该该从从散散度度和和旋旋度度两两个个方方面面进进行行，或或者者从从矢矢量量场场的的通通量量和和环环量量两两个个方方面去研究。面去研究。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场

47、可表示为表示为 式中：式中： 亥姆霍兹定理表明：在无界空间区亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。域，矢量场可由其散度及旋度确定。电磁场与电磁波电磁场与电磁波有有界界区域区域 在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。电磁场与电磁波电磁场与电磁波总结：总结：主要公式主要公式一、直角坐标系中一、直角坐标系中 散度：散度：梯度：梯度：旋度：旋度：拉普拉斯：拉普拉斯：电磁场与电磁波电磁场与电磁波二、圆柱坐标系中二、圆柱坐标系中散度：散度：梯度：梯度：旋度：旋度：拉普拉斯：拉普拉斯：电磁场与电磁波电磁场与电磁波三、球坐标系中三、球坐标系中散度：散度：梯度：梯度：旋度：旋度：拉普拉斯：拉普拉斯：电磁场与电磁波电磁场与电磁波公式归纳公式归纳直角坐标系：直角坐标系：圆柱坐标系：圆柱坐标系：球坐标系：球坐标系：P P点用点用u1，u2，u3坐标表示，沿坐标增量方向的单位坐标表示，沿坐标增量方向的单位矢量为矢量为 ，拉梅系数为，拉梅系数为h1，h2，h3电磁场与电磁波电磁场与电磁波曲线正交坐标系中，统一公式：曲线正交坐标系中，统一公式：散度：散度：梯度：梯度：旋度：旋度：拉普拉斯：拉普拉斯：