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1、兰州大学信息科学与工程学院矩阵理论-第九讲兰州大学信息科学与工程学院2004年矩阵理论第9讲-1兰州大学信息科学与工程学院上节内容回顾矩阵的条件数定义矩阵条件数的工程背景矩阵的奇异值矩阵序列矩阵序列收敛的充分必要条件收敛矩阵 矩阵级数矩阵级数的绝对收敛的充要条件 绝对收敛 收敛矩阵理论第9讲-2兰州大学信息科学与工程学院矩阵的幂级数矩阵幂级数设 ， ，称矩阵级数为矩阵A的幂级数方阵幂级数收敛的判别定理若复变数幂级数 的收敛半径为r，而矩阵 的谱半径为 ，则1.当 时，方阵幂级数 绝对收敛2.当 时，方阵幂级数 发散证明：1. ，取 ，使得 矩阵理论第9讲-3兰州大学信息科学与工程学院矩阵的幂级
2、数 由于幂级数收敛，根据正项级数的比较审敛法知矩阵幂级数绝对收敛2. 由于 ，设 ，则当 时，由Jordan定理， ，使得矩阵理论第9讲-4兰州大学信息科学与工程学院矩阵的幂级数矩阵幂级数的对角线元素为由于 发散，从而矩阵幂级数 发散由于矩阵幂级数 与具有相同的敛散性，可知也发散。推论设幂级数 的收敛半径为r， 。若使得 ，则矩阵幂级数 绝对收敛矩阵理论第9讲-5兰州大学信息科学与工程学院矩阵的幂级数举例判断矩阵幂级数 的敛散性解：令 eig(A)ans = 0.8333 -0.5000由于幂级数 的收敛半径为r = 1 绝对收敛 矩阵理论第9讲-6兰州大学信息科学与工程学院矩阵的幂级数Neu
3、mann级数收敛充要条件设 ，称矩阵幂级数 为Neumann级数 收敛并且在此级数收敛时，其和为证明：充分性： 幂级数 的收敛半径为1必要性：若矩阵幂级数收敛，记 ， ，则收敛收敛矩阵的充要条件矩阵理论第9讲-7兰州大学信息科学与工程学院矩阵的幂级数当 收敛时，取 可逆由于 A是收敛矩阵矩阵理论第9讲-8兰州大学信息科学与工程学院矩阵的幂级数举例设 判断矩阵幂级数 的敛散性，若收敛，求其和解：norm(A,1) ans = 0.9000即 ，所以 绝对收敛 inv(eye(size(A)-A) ans =2.0000 1.0000 1.00003.1429 4.4286 3.00001.428
4、6 1.7857 2.5000矩阵理论第9讲-9兰州大学信息科学与工程学院矩阵函数定义：矩阵函数的定义基于收敛的矩阵幂级数 。 收敛于一个唯一的矩阵，即此矩阵幂级数的和S。这样，矩阵幂级数在矩阵 与 之间建立了一个映射：称此映射为矩阵函数，它是以矩阵为变量（更为确切地，以方阵为变量）且取值为矩阵（方阵）的一类函数。称S为A在映射f下的象，记作：矩阵理论第9讲-10兰州大学信息科学与工程学院矩阵函数相应地，根据矩阵幂级数的收敛准则，将矩阵幂级数的和分别记为下列矩阵函数矩阵理论第9讲-11兰州大学信息科学与工程学院矩阵函数在矩阵分析中的应用许多工程问题，常常化为求解一阶常系数微分方程组的问题由线性
5、元件构成的网络状态方程组及输出方程组其它动态系统或受控系统LCR2R1u(t)iLiCmy(t)F(t)矩阵理论第9讲-12兰州大学信息科学与工程学院矩阵函数在矩阵分析中的应用离散时间系统假设上述方程组的初始条件为 或先考察u(t) = 0时， 的解，这时状态方程组简化为 这相当于求系统的零输入响应当矩阵A为数a时，其解为可以设想，当 而 时， 的解含有 ，可以证明 都是收敛的，因而其和是有意义的离散时间系统x(n)y(n)矩阵理论第9讲-13兰州大学信息科学与工程学院矩阵函数在矩阵分析中的应用矩阵函数 、 及 满足代数三角函数的性质Euler公式 矩阵理论第9讲-14兰州大学信息科学与工程学
6、院矩阵函数在矩阵分析中的应用常用矩阵函数的性质设 ，且充要条件矩阵理论第9讲-15兰州大学信息科学与工程学院矩阵函数在矩阵分析中的应用常用矩阵函数的性质设若 ， 是A的特征值，则矩阵函数 的特征值为由Jordan定理， ，使得 矩阵理论第9讲-16兰州大学信息科学与工程学院矩阵函数在矩阵分析中的应用再设 ，可得如下矩阵幂级数收敛。由于即矩阵幂级数 收敛，由于 的对角线元素为所以，这些复数项幂级数收敛，且矩阵理论第9讲-17兰州大学信息科学与工程学院矩阵函数在矩阵分析中的应用 由于相似矩阵具有相同的特征值，所以 的特征值为由此， 的特征值为可逆矩阵理论第9讲-18兰州大学信息科学与工程学院矩阵函
7、数在矩阵分析中的应用需要注意的几点 除非A为对角矩阵矩阵理论第9讲-19兰州大学信息科学与工程学院矩阵函数在矩阵分析中的应用 的求法举例利用Hamilton-Cayley定理已知求解：由Hamilton-Cayley定理矩阵理论第9讲-20兰州大学信息科学与工程学院矩阵函数在矩阵分析中的应用 的求法举例利用相似对角化若同理矩阵理论第9讲-21兰州大学信息科学与工程学院矩阵函数在矩阵分析中的应用 的求法举例利用Jordan标准形 Jordan块的幂矩阵理论第9讲-22兰州大学信息科学与工程学院矩阵函数在矩阵分析中的应用 矩阵理论第9讲-23兰州大学信息科学与工程学院矩阵函数在矩阵分析中的应用 矩
8、阵理论第9讲-24兰州大学信息科学与工程学院矩阵函数在矩阵分析中的应用 矩阵理论第9讲-25兰州大学信息科学与工程学院矩阵函数在矩阵分析中的应用 矩阵理论第9讲-26兰州大学信息科学与工程学院矩阵函数在矩阵分析中的应用已知求矩阵理论第9讲-27兰州大学信息科学与工程学院矩阵函数在矩阵分析中的应用 的求法举例利用矩阵多项式为计算利用多项式的带余除法，将 表示为如下形式：由Hamilton-Cayley定理 令因为所以矩阵理论第9讲-28兰州大学信息科学与工程学院矩阵函数在矩阵分析中的应用已知求利用矩阵A的最小多项式，还可以进一步降低 的次数，从而使待定的系数减少，进一步化简计算。矩阵理论第9讲-29兰州大学信息科学与工程学院矩阵的微分和积分以函数为元素的矩阵函数矩阵函数矩阵的微分和积分泛函数量函数对矩阵变量的导数向量值函数或矩阵值函数对向量变量或矩阵变量的导数*函数矩阵的微分和积分定义以变量t的函数为元素的矩阵 是定义在a, b上的，若 在a, b上连续、可微、可积，若每个 在a, b上连续、可微、可积矩阵理论第9讲-30兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-31
