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1、第一节第一节 无穷级数的概念与性质无穷级数的概念与性质一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念二、无穷级数的性质二、无穷级数的性质1微积分12无穷级数课件定义定义1 1 若有一个无穷数列 u1，u2，u3，un，此无穷数列构成下列表达式 u1 + u2 + u3 + + un + (1)称以上表达式为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为其中第n项un叫作级数的一般项或通项. . 一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念2微积分12无穷级数课件级数(1)的前n项相加得到它的前n项和，记作Sn.即：3微积分12无穷级数课件4微积分12无穷级数课件 我们以级数的前n项和作为研究无穷多项和的基础.由级
2、数(1)的前n项和，容易写出：5微积分12无穷级数课件定义定义2 2 如果级数 部分和数列 有极限s，即则称无穷级数 收敛.s称为此级数的和.且有若 无极限，则称无穷级数 发散.注意:称为级数的余项， 为 代替s所产生的误差 .6微积分12无穷级数课件7微积分12无穷级数课件 二、收敛级数的基本性质二、收敛级数的基本性质性质性质1 1 若级数 收敛于和s，则它的各项同乘以一个常数k所得的级数 也收敛，且其和为ks.8微积分12无穷级数课件性质性质2 2 如果级数 、 分别收敛于即9微积分12无穷级数课件性质性质3 3 在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数的敛散性.性质性质4 4 如果级数 收
3、敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变.10微积分12无穷级数课件注意：注意：发散级数加括号后有可能收敛，即加括号后级数收敛，原级数未必收敛.推论：推论：如果加括号以后所成的级数发散，则原级数也发散.11微积分12无穷级数课件性质性质5 5 (收敛的必要条件)如果收敛，则它的一般项 趋于零，即级数12微积分12无穷级数课件结论：结论：由此我们可得13微积分12无穷级数课件注意: 级数收敛的必要条件常用于级数发散 的判定.14微积分12无穷级数课件第二节第二节 正项级数及其敛散性正项级数及其敛散性一、正项级数及其收敛的充要条件一、正项级数及其收敛的充要条件二、正项级数收敛的比
4、较判别法二、正项级数收敛的比较判别法三、正项级数收敛的比值判别法三、正项级数收敛的比值判别法15微积分12无穷级数课件 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法定义定义 设级数的每一项都是非负数,则称此级数是 显然,正项级数的部分和sn数列是单调增加的，即正项级数.16微积分12无穷级数课件定理定理1 1 正项级数 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列sn有界.17微积分12无穷级数课件证明证明: :这是一个正项级数，其部分和为:故sn有界，所以原级数收敛.18微积分12无穷级数课件定理定理2 2(比较审敛法)设 和 都是正项级数，且若级数 收敛，则级数 收敛；反之，若级数 发散，则级数
5、也发散. 二、正项级数收敛的比较判别法二、正项级数收敛的比较判别法19微积分12无穷级数课件则有：若 发散，则 也发散;且当 时，有 成立，则有：若 收敛，则 也收敛.推论推论设级数 和 是两个正项级数，且存在自然数N，使当 时，有（k0)成立，20微积分12无穷级数课件例例2 2 判定p-级数的敛散性.常数 p0.21微积分12无穷级数课件22微积分12无穷级数课件由此可得结论，p级数当 时发散，p1时收敛.23微积分12无穷级数课件24微积分12无穷级数课件由比较判别法可知，所给级数也发散.而级数是发散的；25微积分12无穷级数课件定理定理(达朗贝尔比值判别法) 设 为正项级数，如果(1)
6、当 时，级数收敛；(3)当 时，级数可能收敛，可能发散.(2)当 ( )时，级数发散. 三、正项级数收敛的比值判别法三、正项级数收敛的比值判别法26微积分12无穷级数课件27微积分12无穷级数课件28微积分12无穷级数课件例例7 7 判别级数解解: :由比值判别法可知所给级数发散.29微积分12无穷级数课件此时 ，比值判别法失效，用其他方法判定;30微积分12无穷级数课件第三节绝对收敛与条件收敛第三节绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其敛散性一、交错级数及其敛散性二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛31微积分12无穷级数课件 一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法定义定义 正负项相
7、间的级数，称为交错级数.32微积分12无穷级数课件定理定理1 1(莱布尼兹定理)则级数收敛，且其和 ，并且其余项 的绝对值:(1)级数前项大于后项，即(2)级数的通项趋于零，即 如果交错级数33微积分12无穷级数课件证明证明: :先证明前2n项的和s2n的极限存在，为此将s2n写成两种形式:由(1)式可知s2n是单调增加的；由(2)式可知s2n0和R20，则收敛半径R等于R1和R2中较小的一个.55微积分12无穷级数课件性质性质1 1 如果幂级数 的和函数s(x)在其收敛域I上连续.性质2 如果幂级数 的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式56微积分12无穷级数课件即幂级数在其收
8、敛区间内可以逐项积分，并且积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.57微积分12无穷级数课件性质性质3 3 幂级数 的和函数s(x)在其收敛区间(R,+R)内可导，且有逐项求导公式即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.58微积分12无穷级数课件59微积分12无穷级数课件60微积分12无穷级数课件61微积分12无穷级数课件第五节第五节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数一、泰勒级数一、泰勒级数二、二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数62微积分12无穷级数课件 一、泰勒级数一、泰勒级数定义定义 如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则称幂
9、级数为f(x)在x0的泰勒级数.当x0=0时，泰勒级数为:称之为f(x)的麦克劳林级数.63微积分12无穷级数课件定理定理1 1 (泰勒中值定理)如果函数f(x)在含点x0的区间(a,b)内，有一阶直到n 阶的连续导数，则当x取区间(a,b)内的任何值时，f(x)可以按(xx0)的方幂展开为：其中：64微积分12无穷级数课件公式(3)称为函数f(x)的泰勒公式，余项(4)称为拉格朗日余项.65微积分12无穷级数课件定理定理2 2 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内可展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x) 的泰勒公式余项Rn(x)当 时的极限为零，即：66微积分12无穷级数课件 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 将函数展开成x的幂级数(也称麦克劳林展开式)的基本法，其一般步骤为：67微积分12无穷级数课件68微积分12无穷级数课件69微积分12无穷级数课件70微积分12无穷级数课件间接展开法 利用一些已知的函数展开式、幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.71微积分12无穷级数课件分别令q=x、x2有：72微积分12无穷级数课件将(9)、(10)式分别从0到x逐项积分，得：73微积分12无穷级数课件74微积分12无穷级数课件
