矢量分析PPT课件

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1、7/20/2024第一章 矢量分析1电磁场与电磁波电磁场与电磁波第2版7/20/2024第一章 矢量分析2绪论绪论1.1.课程的性质和任务课程的性质和任务. .2.2.电磁场与电磁波的概念电磁场与电磁波的概念. . 3.3.课程内容和章节安排课程内容和章节安排. .4.4.电磁场与电磁波的应用电磁场与电磁波的应用. .7/20/2024第一章 矢量分析31.课程的性质和任务课程的性质和任务 “ “电磁场与电磁波电磁场与电磁波”是高等学校电子信息是高等学校电子信息类及电气信息类专业本科生类及电气信息类专业本科生必修的一门技术基必修的一门技术基础课础课，课程涵盖的内容是合格的电子、电气信，课程涵盖

2、的内容是合格的电子、电气信息类专业本科学生所应具备的知识结构的重要息类专业本科学生所应具备的知识结构的重要组成部分。组成部分。 本课程将在本课程将在“大学物理（电磁学）大学物理（电磁学）”的基的基础上，进一步研究宏观电磁现象和电磁过程的础上，进一步研究宏观电磁现象和电磁过程的基本规律及其分析计算方法。通过课程的学习，基本规律及其分析计算方法。通过课程的学习，掌握基本的宏观电磁掌握基本的宏观电磁理论，具备分析和解决基理论，具备分析和解决基本的电磁场工程问题的能力本的电磁场工程问题的能力.7/20/2024第一章 矢量分析4电场磁场电磁场电磁波2.电磁场与电磁波的概念电磁场与电磁波的概念7/20/

3、2024第一章 矢量分析51 1. .2 2 电磁波谱电磁波谱18881888年赫兹用实验证明了电磁波的存在年赫兹用实验证明了电磁波的存在 无线电波微波红外线可见光紫外线X射线伽马射线可见光: 红 | 橙 | 黄 | 绿 | 蓝 | 靛 | 紫电电磁磁波波谱谱目前人类通过各种方式已产生或观测到的电磁波的最低频率目前人类通过各种方式已产生或观测到的电磁波的最低频率为为 ，其波长为地球半径的，其波长为地球半径的 倍，而倍，而电磁波的最高频率为电磁波的最高频率为 ，它来自于宇宙的，它来自于宇宙的 射射线。为了对各种电磁波有个全面的了解，人们按照波长或频线。为了对各种电磁波有个全面的了解，人们按照波长

4、或频率的顺序把这些电磁波排列起来，这就是电磁波谱率的顺序把这些电磁波排列起来，这就是电磁波谱 7/20/2024第一章 矢量分析6注意注意1.1.由于辐射强度随频率的减小而急剧下降，因此波由于辐射强度随频率的减小而急剧下降，因此波长为几百千米（长为几百千米（105105米）的低频电磁波强度很弱，米）的低频电磁波强度很弱，通常不为人们注意。通常不为人们注意。 2. 2. 实际使用的无线电波是从波长约几千米（频率为几百千实际使用的无线电波是从波长约几千米（频率为几百千赫）开始：赫）开始：波长波长30003000米米5050米（频率米（频率100100千赫千赫6 6兆赫）的属于中波段；兆赫）的属于中

5、波段；波长波长5050米米1010米（频率米（频率6 6兆赫兆赫3030兆赫）的为短波；兆赫）的为短波；波长波长1010米米1 1厘米（频率厘米（频率3030兆赫兆赫3 3万兆赫）甚至达到万兆赫）甚至达到1 1毫米毫米（频率为（频率为3 3105105兆赫）以下的为超短波（或微波）。兆赫）以下的为超短波（或微波）。 有时按照波长的数量级大小也常出现米波，分米波，厘有时按照波长的数量级大小也常出现米波，分米波，厘米波，毫米波等名称。米波，毫米波等名称。 中波和短波用于无线电广播和通信，微波用于电视和无中波和短波用于无线电广播和通信，微波用于电视和无线电定位技术（雷达），线电定位技术（雷达），7/

6、20/2024第一章 矢量分析7电磁波谱的应用领域图示7/20/2024第一章 矢量分析83.课程内容和章节安排课程内容和章节安排 按教材顺序，课程包括按教材顺序，课程包括1111章。第一章矢量章。第一章矢量分析，主要介绍矢量场的散度和旋度以及标量分析，主要介绍矢量场的散度和旋度以及标量场的梯度，介绍亥姆霍兹定理，是数学基础。场的梯度，介绍亥姆霍兹定理，是数学基础。第二章电场、磁场与麦克斯韦方程，基本理论第二章电场、磁场与麦克斯韦方程，基本理论以及推导出麦克斯韦方程组；第三章介质中的以及推导出麦克斯韦方程组；第三章介质中的麦克斯韦方程；其次第四章利用矢量位和标量麦克斯韦方程；其次第四章利用矢量

7、位和标量位求解位函数；第五章静态场的解，如何根据位求解位函数；第五章静态场的解，如何根据场量的边界条件来求解场的分布；第六章自由场量的边界条件来求解场的分布；第六章自由空间中的电磁波，研究波的方程以及波的极化。空间中的电磁波，研究波的方程以及波的极化。第七章非导电介质中的电磁波，学习电磁波在第七章非导电介质中的电磁波，学习电磁波在介质中传播特性。介质中传播特性。7/20/2024第一章 矢量分析9 当今世界，电子信息系统，不论是通信、雷达、广播、电视，还是导航、遥控遥测，都是通过电磁波传递信息来进行工作的。因此以宏观电磁理论为基础，电磁信息的传输和转换为核心的电磁场与电磁波工程技术将充分发挥其

8、重要作用。下面我们来看一下一些常见的天线和馈线。4.电磁场与电磁波的应用电磁场与电磁波的应用7/20/2024第一章 矢量分析10中、短波发射天线中、短波发射天线微波接力天线微波接力天线7/20/2024第一章 矢量分析11卡塞格仑天线7/20/2024第一章 矢量分析12MMDSA型型微波天线微波天线MMDSC型微波天线型微波天线7/20/2024第一章 矢量分析13对数周期天线对数周期天线7/20/2024第一章 矢量分析14麦克斯韦方程组 第二章第二章电场、磁场电场、磁场第一章第一章矢量分析矢量分析 第三章第三章介质中的麦克斯韦方程介质中的麦克斯韦方程 第四章第四章矢量位与标量位矢量位与

9、标量位唯一性定理唯一性定理 第五章第五章静态场的解静态场的解 第六章第六章 电磁波电磁波 介质中传播介质中传播 第七章第七章 非导电介质中的电磁波非导电介质中的电磁波真真空空中中亥亥姆姆霍霍子子定定理理电磁场与电磁波内容电磁场与电磁波内容7/20/2024第一章 矢量分析15第一章第一章 矢量分析矢量分析介绍矢量分析和场论基础。介绍矢量分析和场论基础。三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系散度、旋度和梯度的基本概念；散度、旋度和梯度的基本概念； 算符运算公式；算符运算公式；散度、旋度和梯度在曲线正交坐标系中的表示。散度、旋度和梯度在曲线正交坐标系中的表示。讨论了拉普拉斯运算与格林定理，亥母霍

10、兹定理讨论了拉普拉斯运算与格林定理，亥母霍兹定理 7/20/2024第一章 矢量分析161.1 1.1 矢量代数运算矢量代数运算1.2 1.2 场论场论- - 梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度1.3 1.3 散度定理和斯托克斯定理散度定理和斯托克斯定理1.4 1.4 矢量微分算子矢量微分算子1.5 1.5 矢量积分定理矢量积分定理1.6 1.6 亥母霍兹定理亥母霍兹定理主要内容主要内容7/20/2024第一章 矢量分析17一、矢量与标量一、矢量与标量3 3、矢量及表示、矢量及表示2 2、三维空间内某一点、三维空间内某一点P P处存在的一个既有大小又有处存在的一个既有大小又有 方向特性的量称为矢

11、量。方向特性的量称为矢量。1.1 矢量代数运算1 1、实数域内，任一代数量、实数域内，任一代数量 都可以称为标量。它都可以称为标量。它 只能表示该代数量的大小。只能表示该代数量的大小。单位矢量单位矢量7/20/2024第一章 矢量分析18二、二、矢量的代数运算矢量的代数运算 l矢量的加法和减法矢量的加法和减法 （平行四边形法则）（平行四边形法则）7/20/2024第一章 矢量分析19设设两矢量进行标积后的结果变成了无方向性的两矢量进行标积后的结果变成了无方向性的l矢量的标积矢量的标积 （Scalar Product）则则数量值数量值 !为矢量为矢量 与矢量与矢量 之间的夹角之间的夹角 7/20

12、/2024第一章 矢量分析20设设两矢量进行矢积后的结果仍为矢量两矢量进行矢积后的结果仍为矢量l矢量的矢积矢量的矢积 （Vector Product）则则为矢量为矢量 与矢量与矢量 之间的夹角之间的夹角 7/20/2024第一章 矢量分析21上式可上式可记为记为注注7/20/2024第一章 矢量分析224、矢量代数公式（1）（2）（3）（4）7/20/2024第一章 矢量分析23三、三、 标量场与矢量场标量场与矢量场 在电磁场中，若描述场的物理量随时间变化，在电磁场中，若描述场的物理量随时间变化，则将场称为时变场。而当描述场的物理量与时间无则将场称为时变场。而当描述场的物理量与时间无关时，就将

13、场称为静态场。关时，就将场称为静态场。 “场场”是指某种物理量在空间的分是指某种物理量在空间的分布布场场标量场标量场矢量场矢量场具有标量特征的物理量在空间的分布具有标量特征的物理量在空间的分布具有矢量特征的物理量在空间的分布具有矢量特征的物理量在空间的分布7/20/2024第一章 矢量分析241、直角坐标系（、直角坐标系（x,y,z）方向单位矢量方向单位矢量：矢量表示矢量表示：位置矢量位置矢量：1.2 三种常用坐标系7/20/2024第一章 矢量分析25 任意一点的单位矢量亦即三个坐标轴的单位矢任意一点的单位矢量亦即三个坐标轴的单位矢量，因为它们处于正交坐标系中，因此，它们相互量，因为它们处于

14、正交坐标系中，因此，它们相互垂直并遵循右手螺旋法则，即垂直并遵循右手螺旋法则，即 7/20/2024第一章 矢量分析26方向单位矢量方向单位矢量：矢量表示矢量表示：位置矢量：位置矢量：2、圆柱坐标系 ( )7/20/2024第一章 矢量分析27方向单位矢量方向单位矢量：矢量表示矢量表示：位置矢量：位置矢量：3、球面坐标系 ( )7/20/2024第一章 矢量分析28圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系4、坐标变换7/20/2024第一章 矢量分析291 1、矢量线（力线）

15、、矢量线（力线）2 2、矢量场的通量、矢量场的通量 矢量线的疏密表征矢量场的大小；矢量线的疏密表征矢量场的大小； 矢量线上每点的切向代表该处矢量场矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；的方向；若若矢量场矢量场 分布于空间中，在空间中存在任意曲面分布于空间中，在空间中存在任意曲面S S，则定义则定义：为为矢量矢量 沿有向曲面沿有向曲面S S 的通的通量。量。1.3 1.3 矢量场的通量矢量场的通量 散度散度7/20/2024第一章 矢量分析30 矢量场的通量矢量场的通量 物理意义：表示穿入和穿出闭合物理意义：表示穿入和穿出闭合面面S S的矢量通量的代数和。的矢量通量的代数和。 讨论：讨论：1

16、1）面元）面元 定义；定义；3) 3) 通过闭合面通过闭合面S S的通量的物理意义：的通量的物理意义：a) a) 若若 ，闭合面内有产生矢量线的正源；，闭合面内有产生矢量线的正源；b) b) 若若 ，闭合面内有吸收矢量线的负源；，闭合面内有吸收矢量线的负源；c) c) 若若 ，闭合面无源。，闭合面无源。若若S S为闭合曲面为闭合曲面 2 2） 7/20/2024第一章 矢量分析31 在场在场 空间中任意点空间中任意点M M 处作一个闭合曲面，处作一个闭合曲面，所围的体积为所围的体积为 ，则定义场矢量在，则定义场矢量在M M点处的散点处的散度为：度为： 3 3、矢量场的散度的定义、矢量场的散度的

17、定义计算公式计算公式7/20/2024第一章 矢量分析324 4、散度的物理意义、散度的物理意义 散度代表矢量场的通量源的分布特性散度代表矢量场的通量源的分布特性 A A = = 0 0 ( (无源无源） A A = = 0 0 ( (负负源源) ) A A = = 0 0 ( (正源正源) ) 在矢量场中，若在矢量场中，若 A A= = 0 0，称之为有源场，称之为有源场， 称为称为( (通通量量) )源密度；若矢量场中处处源密度；若矢量场中处处 A=0 A=0，称之为无源场。称之为无源场。 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；7/20/202

18、4第一章 矢量分析33 在直角坐标系下：在直角坐标系下：5 5、散度的计算、散度的计算7/20/2024第一章 矢量分析346 6、高斯公式、高斯公式( (散度定理散度定理) )n1=-n2n1n2 对于有限大体积对于有限大体积v，可将其按可将其按如图方式进行分割，对每一小体如图方式进行分割，对每一小体积元有积元有式中式中s s为为v v的外表面的外表面 该公式表明了区域该公式表明了区域V V 中场中场A A与边界与边界S S上的场上的场A A之间的关系。之间的关系。高斯公式高斯公式7/20/2024第一章 矢量分析35在由在由 围成的圆柱形区域，对围成的圆柱形区域，对矢量矢量 验证散度定理。

19、验证散度定理。【例题例题1.3.1】7/20/2024第一章 矢量分析361 1、矢量的环流、矢量的环流 环流的计算3 3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；反）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；反之，则矢量场存在涡漩运动之，则矢量场存在涡漩运动反映矢量场漩涡源分布情况。反映矢量场漩涡源分布情况。1.4 1.4 矢量场的矢量场的环流环流 旋度旋度环流的定义：环流的定义：在场矢量在场矢量 空间中，取一有向闭合路空间中，取一有向闭合路径径 ，则称，则称 沿沿 积分的结果称为矢积分的结果称为矢量量 沿沿 的环流。即：的环流。即：讨论：讨论：1 1）线元矢量）线元矢量 的定义；

20、的定义；2 2）7/20/2024第一章 矢量分析37M2. 2. 环流面密度环流面密度在场矢量在场矢量 空间中，围绕空间某点空间中，围绕空间某点M M取取一面元一面元S S，其边界曲线为其边界曲线为C C，面元法线方面元法线方向为向为 ，当面元面积无限缩小时，可定义，当面元面积无限缩小时，可定义 在点在点M M处沿处沿 方向的环量面密度方向的环量面密度 表示矢量场表示矢量场 在点在点M M处沿处沿 方向的漩涡源密度；方向的漩涡源密度；7/20/2024第一章 矢量分析38式中：表示矢量场旋度的方向；式中：表示矢量场旋度的方向；3. 3. 矢量场的矢量场的旋度旋度 旋度是一个矢量，模值等于环量

21、密度的最大值；方向为旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用最大环量密度的方向。用 表示，即：表示，即：在直角坐标系下在直角坐标系下7/20/2024第一章 矢量分析391 1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；2 2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；点处的漩涡源密度；4. 4. 旋度的物理意义旋度的物理意义 3) 3) 点点P P 的旋度的大小是该点环流密度的最大值。的旋度的大小是该点环流密度的最大值。4) 4) 点点P P 的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。

22、的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。7/20/2024第一章 矢量分析401) 1) 在直角坐标系下：在直角坐标系下：5. 5. 旋度的计算旋度的计算7/20/2024第一章 矢量分析412、圆柱坐标系7/20/2024第一章 矢量分析423、在球坐标系7/20/2024第一章 矢量分析43【例题例题1.4.1】 求矢量场求矢量场 沿沿xyxy平面内一闭合回路平面内一闭合回路C C的线积分，此闭的线积分，此闭合回路由（合回路由（0 0，0 0）和（）和（ ）之间的一段）之间的一段抛物线抛物线 和两段平行于坐标轴的直线和两段平行于坐标轴的直线段组成。再计算段组成。再计算 的旋度。的旋度。7/2

23、0/2024第一章 矢量分析446. 6. 斯托克斯定理斯托克斯定理对于有限大对于有限大面面积积s s，可将其按如图方式进可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有行分割，对每一小面积元有证明：证明： 意义：矢量场的旋度在曲面上的积意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。曲线上的线积分。由由旋度的定义旋度的定义得证！得证！7/20/2024第一章 矢量分析451.5 标量场的梯度标量场标量场 空间某一区域定义一个空间某一区域定义一个标量函数标量函数, ,其值随空间其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称坐标的变化

24、而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一标量场。如温度场该区域存在一标量场。如温度场, ,电位场电位场, ,高度场高度场等等例如，在直角坐标下，例如，在直角坐标下，7/20/2024第一章 矢量分析461. 1. 等值面（线）等值面（线） 由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若标量函数为标量函数为 ，则等值面方程为：，则等值面方程为：2. 2. 方向性导数方向性导数 考虑标量场中两个等值面考虑标量场中两个等值面 定义标量函数定义标量函数 沿给定方向沿给定方向 的方向的变化率的方向的变化率为标量场为标量场 在在P P点点沿沿 方向的方向的

25、方向性导数。方向性导数。其其大小与方向大小与方向 有关。有关。7/20/2024第一章 矢量分析473 3、梯度、梯度 由方向性导数的定义可知：沿等值由方向性导数的定义可知：沿等值面法线面法线 的方向性导数最大。的方向性导数最大。故故标量场标量场 在在P P点的梯度是一个矢量点的梯度是一个矢量大小：最大方向性导数大小：最大方向性导数方向：最大方向性导数方向：最大方向性导数所在的方向所在的方向可得可得在在直角坐标系中梯度的计算公式直角坐标系中梯度的计算公式7/20/2024第一章 矢量分析484 4、梯度的物理意义、梯度的物理意义1)1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函、标量场的梯度为一

26、矢量，且是坐标位置的函数；数；2)2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。增加率。7/20/2024第一章 矢量分析491 1）在直角坐标系中：）在直角坐标系中：2 2）在柱面坐标系中：）在柱面坐标系中：3 3）在球面坐标系中：）在球面坐标系中：5 5、直角、圆柱和球坐标系中梯度的表达式、直角、圆柱和球坐标系中梯度的表达式7/20/2024第一章 矢量分析50【例题例题1.5.1】 求求 在点在点M M（2,-1,1)2,-1,1)处的梯处的梯 度，以

27、及在矢量度，以及在矢量 方向导数。方向导数。7/20/2024第一章 矢量分析516 6、微分算子的定义、微分算子的定义 微分算子微分算子 是一个是一个“符号符号”矢量，矢量，梯度散度1、直角坐标系7/20/2024第一章 矢量分析52旋度注意注意：算子在上述的定义与规定下可以将它看成一矢：算子在上述的定义与规定下可以将它看成一矢量来按照矢量代数规则进行运算，但又不能完全将它量来按照矢量代数规则进行运算，但又不能完全将它与一普通矢量等同，因为它的分量是微分算符而不是与一普通矢量等同，因为它的分量是微分算符而不是真实矢量的分量。这样，两个普通矢量代数运算的某真实矢量的分量。这样，两个普通矢量代数

28、运算的某些性质对就不成立。些性质对就不成立。从以上的过程中可以清楚地看出，算子确实把对矢量从以上的过程中可以清楚地看出，算子确实把对矢量函数的微分运算转变为矢量算子与矢量的代数运算。函数的微分运算转变为矢量算子与矢量的代数运算。例如例如：普通矢量有普通矢量有 ，但是，但是， ， 即算子进行运算时，除了上面的定义与规定外，还必须对包含即算子进行运算时，除了上面的定义与规定外，还必须对包含有算子的算式做进一步的补充定义。有算子的算式做进一步的补充定义。7/20/2024第一章 矢量分析53（1 1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在 别的特性？别的特性？（2 2

29、）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它 矢量场的激励源？矢量场的激励源？（3 3）如何唯一的确定一个矢量场？）如何唯一的确定一个矢量场？ 现在我们考虑如下问题现在我们考虑如下问题7/20/2024第一章 矢量分析541 1 、定理内容：、定理内容： 空间区域空间区域V V上的任意矢量场，如果它的散度、上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加，即：无散矢量场的叠加，即： 其中其中 为无散场，为无散场， 为无旋场。为

30、无旋场。 1.7 亥姆霍兹定理7/20/2024第一章 矢量分析55HelmholtzHelmholtz定理明确回答了上述三个问题。即定理明确回答了上述三个问题。即任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无散场，由旋涡源激发；并且满足：散场，由旋涡源激发；并且满足：另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：7/20/2024第一章 矢量分析56已知已知矢量矢量F F 的通量源密度的通量源密度矢量矢量F F 的旋度源密度的旋度源密度场域边界条件场域边界条件电荷密度电荷密度 电流密度电流密度J J场域边界条件场域边界条件研究电

31、磁场的一条主线。研究电磁场的一条主线。亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义在电磁场中在电磁场中（矢量矢量A A 唯一地确定）唯一地确定）7/20/2024第一章 矢量分析57例：判断矢量场的性质例：判断矢量场的性质=0 0=0=0=0 07/20/2024第一章 矢量分析58根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均 为零的矢量场。为零的矢量场。2 2、 矢量场的分类矢量场的分类1) 1) 调和场调和场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内

32、，处处有：内，处处有： 和和 则在该区域则在该区域V V内，场内，场 为调和场。为调和场。 7/20/2024第一章 矢量分析591) 1) 为矢量场通量源密度；为矢量场通量源密度； 保守场场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。保守场场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。 讨论：讨论：2) 2) 有源无旋场有源无旋场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处内，处处 ，但，但在某些位置或整个空间内，在某些位置或整个空间内， ，则称在，则称在该区域该区域V V内，场内，场 为有源无旋场。为有源无旋场。 2)2)有源无旋场为有源无旋场为保守场保守场，其重要性质为：，其重要性质为： 7/20/2

33、024第一章 矢量分析60说明：式中说明：式中 为矢量场漩涡源密度。为矢量场漩涡源密度。 3) 3) 无源有旋场无源有旋场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处内，处处 ，但，但在某些位置或整个空间内，有在某些位置或整个空间内，有 ，则，则称在该区域称在该区域V V内，场内，场 为无源有旋场。为无源有旋场。 7/20/2024第一章 矢量分析61 有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有旋场之和，有旋场之和， 即：即：4) 4) 有源有旋场有源有旋场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域 V V 内，内， 在某些位置或整个空间内，有在某些位置或整个空间内，有 则在该区域则在该区域V V内，场内，场 为有源有旋场。为有源有旋场。 7/20/2024第一章 矢量分析62拉普拉斯运算拉普拉斯运算 标量场标量场 的梯度的梯度 是一个是矢量场，如果再对是一个是矢量场，如果再对 求散度，即求散度，即 ，称为标量场，称为标量场 的拉普拉斯运算，记的拉普拉斯运算，记为，为，7/20/2024第一章 矢量分析631.2 1.4 1.7 1.8 1.14 1.27第一章 习题 (6个)