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1、学习必备欢迎下载二次函数综合（动点与三角形）问题一、知识准备：抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式。（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形；（2）抛物线上的点能否构成直角三角形；（3）抛物线上的点能否构成相似三角形；解决这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。二、例题精析【抛物线上的点能否构成等腰三角形】例一 （2013?铜仁地区）如图， 已知直线 y=3x3分别交 x轴、 y 轴于 A、 B两点， 抛物线 y=x2+bx+c经过 A、B 两点，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点（与A 点不重合
2、）（1）求抛物线的解析式；（2）求 ABC 的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使 ABM 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M 的坐标考点 ：二次函数综合题专题 ：综合题分析： （1）根据直线解析式求出点A 及点 B 的坐标，然后将点A 及点 B 的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c 的值，求出抛物线解析式；（2）由（ 1）求得的抛物线解析式，可求出点C 的坐标，继而求出AC 的长度，代入三角形的面积公式即可计算；（3）根据点 M 在抛物线对称轴上，可设点M 的坐标为（1，m） ，分三种情况讨论， MA=BA ， MB=BA ， MB=MA ，求出 m 的值后即可
3、得出答案解答： 解： （1）直线y=3x 3 分别交 x 轴、 y 轴于 A、B 两点，可得 A（1，0） ，B（0， 3） ，把 A、B 两点的坐标分别代入y=x2+bx+c 得：，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载解得：抛物线解析式为：y=x2+2x 3（2）令 y=0 得： 0=x2+2x3，解得： x1=1，x2= 3，则 C 点坐标为：（ 3，0） ， AC=4 ，故可得 SABC=AC OB= 4 3=6（3）抛物线的对称轴为：x=1，假设存在M（ 1，m）满足题意：讨论： 当 MA=A
4、B时，解得：，M1（ 1，） ，M2（ 1，） ； 当 MB=BA时，解得： M3=0，M4=6，M3（ 1， 0） ，M4（ 1， 6） ， 当 MB=MA时，解得： m=1，M5（ 1， 1） ，答：共存在五个点M1（ 1，） ，M2（ 1，） ，M3（ 1，0） ，M4（ 1， 6） ，M5（ 1， 1）使 ABM 为等腰三角形点评： 本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解【抛物线上的点能否构成直角三角形】例二 （2013鞍山）如图， 已知一次函数y=0.5x+2 的图象与 x 轴交于点 A， 与
5、二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y 轴上的一点B， 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴只有唯一的交点C， 且 OC=2（1）求二次函数y=ax2+bx+c 的解析式；（2）设一次函数y=0.5x+2 的图象与二次函数y=ax2+bx+c 的图象的另一交点为D，已知 P 为x 轴上的一个动点，且PBD 为直角三角形，求点P的坐标考点：二次函数综合题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载分析：（1）根据 y=0.5x+2 交 x 轴于点 A，与 y 轴交于点B，即可得出A，B 两点坐标，二次
6、函数 y=ax2+bx+c 的图象与x 轴只有唯一的交点C， 且 OC=2 得出可设二次函数y=ax2+bx+c=a（x 2）2，进而求出即可；（2）根据当 B 为直角顶点，当D 为直角顶点，以及当P 为直角顶点时， 分别利用三角形相似对应边成比例求出即可解答：解：（1） y=0.5x+2 交 x 轴于点 A，0=0.5x+2，x=4，与 y 轴交于点B，x=0，y=2 B 点坐标为：（0，2） ，A（ 4，0） ，B（0，2） ，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴只有唯一的交点C，且 OC=2 可设二次函数y=a（x2）2，把 B（0，2）代入得： a=0.5 二次函数的解析式：y
7、=0.5x22x+2；（2） （）当B 为直角顶点时，过B 作 BP1AD 交 x 轴于 P1点由RtAOB RtBOP1=，=，得： OP1=1，P1（1，0） ，（）作P2DBD，连接 BP2，将 y=0.5x+2 与 y=0.5x22x+2 联立求出两函数交点坐标：D 点坐标为：（5，4.5） ，则 AD=，当 D 为直角顶点时 DAP2= BAO ， BOA= ADP2， ABO AP2D，=，=，解得： AP2=11.25，则 OP2=11.254=7.25，故 P2点坐标为（ 7.25，0） ；（）当P 为直角顶点时，过点D 作 DEx 轴于点 E，设 P3（a，0）则由 RtOB
8、P3RtEP3D 得：，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载，方程无解，点 P3不存在，点 P的坐标为： P1（1，0）和 P2（7.25， 0） 点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解【抛物线上的点能否构成相似三角形】例三 （2013?恩施州） 如图所示， 直线 l：y=3x+3 与 x 轴交于点A， 与 y 轴交于点B 把 AOB沿 y 轴翻折，点A 落到点 C，抛物线过点B、C 和 D（3，0） （1）
9、求直线BD 和抛物线的解析式（2）若 BD 与抛物线的对称轴交于点M，点 N 在坐标轴上，以点N、B、D 为顶点的三角形与MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标（3）在抛物线上是否存在点P，使 SPBD=6？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载考点：二次函数综合题分析：（1）由待定系数法求出直线BD 和抛物线的解析式；（2）首先确定 MCD 为等腰直角三角形，因为BND 与MCD 相似，所以 BND 也是等腰直角三角形如答图1 所示，符合条件的点N 有
10、3 个；（3）如答图2、答图 3 所示，解题关键是求出PBD 面积的表达式，然后根据SPBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解解答：解： （1）直线l：y=3x+3 与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点B，A（ 1，0） ，B（0，3） ；把 AOB 沿 y 轴翻折，点A 落到点 C， C（1，0） 设直线 BD 的解析式为： y=kx+b ，点 B（0，3） ，D（3，0）在直线BD 上，解得 k=1， b=3，直线 BD 的解析式为： y=x+3设抛物线的解析式为：y=a（x1） （x3） ，点 B（0，3）在抛物线上，3=a （ 1） （ 3） ，解得： a=1，抛物线的解析式为：y=
11、（x 1） （x3）=x24x+3（2）抛物线的解析式为：y=x2 4x+3=（x2）21，抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2， 1） 直线 BD：y= x+3 与抛物线的对称轴交于点M，令 x=2，得 y=1，M（2，1） 设对称轴与x 轴交点为点F，则 CF=FD=MN=1 ， MCD 为等腰直角三角形以点 N、B、D 为顶点的三角形与MCD 相似， BND 为等腰直角三角形如答图 1 所示：（I）若 BD 为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载N1（0，
12、0） ；（II）若 BD 为直角边， B 为直角顶点，则点N 在 x 轴负半轴上，OB=OD=ON2=3，N2（ 3，0） ；（III ）若 BD 为直角边， D 为直角顶点，则点N 在 y 轴负半轴上，OB=OD=ON3=3，N3（0， 3） 满足条件的点N 坐标为：（ 0，0） ， （ 3，0）或（ 0， 3） （3）假设存在点P，使 SPBD=6，设点 P坐标为（ m，n） （I）当点 P位于直线BD 上方时，如答图2 所示：过点 P作 PEx 轴于点 E，则 PE=n，DE=m 3SPBD=S梯形PEOB SBODSPDE=（3+n）?m 3 3（m3）?n=6，化简得： m+n=7
13、，P（m，n）在抛物线上，n=m24m+3，代入 式整理得： m23m 4=0，解得： m1=4，m2=1，n1=3， n2=8，P1（4，3） ，P2（ 1，8） ；（II）当点 P 位于直线 BD 下方时，如答图3所示：过点 P作 PEy 轴于点 E，则 PE=m，OE=n，BE=3nSPBD=S梯形PEOD+SBODSPBE=（3+m） ?（ n）+ 3 3（3n） ?m=6，化简得： m+n=1 ，P（m，n）在抛物线上，n=m24m+3，代入 式整理得： m23m+4=0，=70，此方程无解故此时点P 不存在综上所述，在抛物线上存在点P，使 SPBD=6，点 P的坐标为（ 4，3）或
14、（ 1，8） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、 相似三角形的判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论的数学思想第（ 2） （3）问均需进行分类讨论，避免漏解三、形成训练1 （2013?湘西州）如图，已知抛物线y=x2+bx+4 与 x 轴相交于A、 B 两点，与y 轴相交于点 C，若已知A 点的坐标为A（ 2，0） （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点 C 的坐标，连接AC 、BC
15、并求线段 BC 所在直线的解析式；（3）试判断 AOC 与COB 是否相似？并说明理由；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ 为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由考点 ：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C 坐标；令y=0，可求出点B 坐标再利用待定系数法求出直线BD 的解析式；（3）根据，AOC= BOC=90 ，
16、可以判定 AOC COB；（4）本问为存在型问题若ACQ 为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解解答：解： （1）抛物线y=x2+bx+4 的图象经过点A（ 2，0） ， （2）2+b （ 2）+4=0，解得： b=，抛物线解析式为y=x2+x+4，又 y=x2+x+4=（ x3）2+，对称轴方程为：x=3（2）在 y=x2+x+4 中，令 x=0，得 y=4， C（0，4） ；令 y=0，即x2+x+4=0，整理得x26x16=0，解得： x=8 或 x=2，A（ 2，0） ，B（8，0） 设直线 BC 的解析式为y=kx+b ，把 B（8，0） ，C（0，4）的
17、坐标分别代入解析式，得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载，解得 k=，b=4，直线 BC 的解析式为： y=x+4（3）可判定 AOC COB 成立理由如下：在 AOC 与COB 中，OA=2 ，OC=4，OB=8 ，又 AOC= BOC=90 ， AOC COB（4）抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点 Q（3，t） ，则可求得：AC=，AQ=，CQ=i）当 AQ=CQ 时，有=，25+t2=t28t+16+9，解得 t=0，Q1（ 3，0） ；ii）当 AC=AQ 时，有=，t2= 5，此方程
18、无实数根，此时 ACQ 不能构成等腰三角形；iii ）当 AC=CQ 时，有=，整理得： t2 8t+5=0，解得： t=4，点 Q 坐标为： Q2（3，4+） ，Q3（3，4） 综上所述，存在点Q，使 ACQ 为等腰三角形，点Q 的坐标为： Q1（3，0） ，Q2（ 3，4+） ，Q3（3，4） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载点评： 本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点难点在于第 （ 4）问，符合条件的等腰三角形ACQ可能有
19、多种情形，需要分类讨论2 ：已知：直线112yx与y轴交于 A，与x轴交于 D，抛物线212yxbxc与直线交于 A、E 两点，与x轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为（1，0） （ 1）求抛物线的解析式； （2）动点 P 在x轴上移动，当PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标3、如图，抛物线212222yxx与x轴交于AB、两点，与y轴交于C点（ 1）求ABC、 、三点的坐标；（2）证明ABC为直角三角形；（3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使ABP是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
20、- - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载4、如图，已知抛物线224233yxx的图象与x 轴交于 A，B两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴与x 轴交于点D 点 M从 O点出发，以每秒1 个单位长度的速度向B运动，过M作 x 轴的垂线，交抛物线于点P，交 BC于 Q （1）求点 B和点 C的坐标；（2）设当点M运动了 x（秒）时，四边形OBPC 的面积为 S，求 S与 x 的函数关系式，并指出自变量 x 的取值范围（3）在线段BC上是否存在点Q，使得 DBQ 成为以BQ 为一腰的等腰三角形？若存在，求出点 Q的坐标，若不存在，说明理由5、 （09 年成都） 在平面
21、直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a xc a与 x 轴交于 A、B两点 ( 点 A在点 B的左侧 ) ， 与 y 轴交于点 C， 其顶点为 M,若直线 MC 的函数表达式为3ykx,与 x 轴的交点为N，且 COS BCO 3 1010。(1) 求此抛物线的函数表达式；(2) 在此抛物线上是否存在异于点C的点 P，使以 N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； (3) 过点 A作 x 轴的垂线， 交直线 MC于点 Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页
