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1、微分方程09615停停下下上上目目回回基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.可分离可分离 变量方程变量方程2.齐次方程齐次方程3.线性方程线性方程4.伯努利方程伯努利方程5.全微分方程全微分方程可降阶方程可降阶方程线性微分线性微分方程方程解的结构解的结构欧拉方程欧拉方程特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待待定定系系数数法法特征方程法特征方程法一、知识网络关系图一、知识网络关系图一、知识网络关系图一、知识网络关系图二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回停停下下上上
2、目目回回停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回积分因子：积分因子：为恰当方程为恰当方程. 分项组合法分项组合法 公式法公式法可降阶微分方程可降阶微分方程1. y(n) = f (x) 型的微分方程型的微分方程 令令因此因此即即同理可得同理可得依次通过依次通过 n 次积分次积分, 可得含可得含 n 个任意常数的通解个任意常数的通解 .设设原方程化为一阶方程原方程化为一阶方程设其通解为设其通解为则得则得再一次积分再一次积分, 得原方程的通解得原方程的通解2. y = f (x, y ) 型的微分方程型的微分方程 3. y = f ( y, y ) 型的微分
3、方程型的微分方程 令令故方程化为故方程化为设其通解为设其通解为即得即得分离变量后积分分离变量后积分, 得原方程的通解得原方程的通解停停下下上上目目回回 常系数线性微分方程常系数线性微分方程常系数线性微分方程常系数线性微分方程( (组组组组) )的解法的解法的解法的解法1. 1. 常系数齐次线性方程常系数齐次线性方程常系数齐次线性方程常系数齐次线性方程特征方程：特征方程：特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项停停下下上上目目回回注意：注意： n次代数方程有次代数方程有n个根个根, 而特征方程的每而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各且每一项
4、各一个任意常数一个任意常数.停停下下上上目目回回2. 2. 常系数非齐线性方程常系数非齐线性方程常系数非齐线性方程常系数非齐线性方程分析分析由线性微分方程解的结构定理知，求由线性微分方程解的结构定理知，求(1)的的通解的关键是求与通解的关键是求与(1)对应的齐次线性方程对应的齐次线性方程(2)的通解的通解Y 及及 (1)的一个特解的一个特解y*.二阶常系数非齐次线性方程：二阶常系数非齐次线性方程：对应齐次线性方程对应齐次线性方程:(1)的通解结构的通解结构:如何求如何求(1)的特解？的特解？ 方法：方法：待定系数法待定系数法.类型类型1 k 非特征根非特征根0特征单根特征单根1特征重根特征重根
5、2推导如下：推导如下：设非齐次线性方程设非齐次线性方程(1)的特解为的特解为x的待定的待定多项式多项式代入方程代入方程(1), 得得综上所述：综上所述：注注上述结论可推广到上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程微分方程(k 是重根次数是重根次数). = +i k非特征根非特征根0特征根特征根1类型类型2引理引理解法：解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程量代换可化为常系数微分方程. 欧拉方程欧拉方程形如形如的方程的方程(其中其中 叫叫欧拉方程欧拉方程.为实常数为实常数)特点：特点：各项未知函数导数的阶数与乘
6、积因子自各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同变量的方次数相同作变量变换作变量变换将自变量换为将自变量换为用用表示对自变量表示对自变量求导的运算求导的运算上述结果可以记为上述结果可以记为将上式代入欧拉方程，则化为以将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量为自变量的常系数线性微分方程：的常系数线性微分方程：求出这个方程的解后，求出这个方程的解后，把把 换为换为 ， 即得到原方程的解即得到原方程的解.一般地，一般地，注注 与与(8.6)对应的齐次线性方程的对应的齐次线性方程的特征方程特征方程为：为：停停下下上上目目回回二、常考题型二、常考题型二、常考题型二、常考题型例例例例1 1 填空题
7、填空题填空题填空题分析分析本题并不知本题并不知 具体等于什么，故无法直接具体等于什么，故无法直接由上式算出由上式算出 y(1).解解 依题设，有依题设，有题型题型1基础题基础题停停下下上上目目回回可分离变可分离变量方程量方程停停下下上上目目回回2.解解这是齐次方程这是齐次方程.代入原方程，得代入原方程，得停停下下上上目目回回3.解解停停下下上上目目回回类似题类似题类似题类似题D停停下下上上目目回回_ .解解特征方程：特征方程：特征根：特征根：4.停停下下上上目目回回_ ,其中其中C1，C2为任意常数为任意常数.解解5.停停下下上上目目回回6._ .解解特征方程：特征方程：特征根：特征根：停停下
8、下上上目目回回_ .解解 特征方程：特征方程：特征根：特征根：7.停停下下上上目目回回_ ._,_,_.解解00-1停停下下上上目目回回例例例例2 2 选择题选择题(A) 通解通解(B) 特解特解(C) 是解，但即非通解也非特解是解，但即非通解也非特解(D) 不是解不是解C停停下下上上目目回回解解B停停下下上上目目回回解解A停停下下上上目目回回题型题型2与导数定义有关与导数定义有关例例例例3 3解解停停下下上上目目回回可分离变可分离变量方程量方程停停下下上上目目回回类似题类似题对任意对任意停停下下上上目目回回证证(1) 依题设，由依题设，由停停下下上上目目回回 一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性
9、方程由常数变易公式，得由常数变易公式，得停停下下上上目目回回解解(2)停停下下上上目目回回由展开式的唯一性，得由展开式的唯一性，得停停下下上上目目回回解解关于关于y非线性非线性关于关于x为线性方程为线性方程题型题型3与求导法有关与求导法有关例例例例4 4停停下下上上目目回回通解：通解：停停下下上上目目回回类似题类似题类似题类似题答案：答案：停停下下上上目目回回例例5解解一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程停停下下上上目目回回由常数变易公式，得由常数变易公式，得停停下下上上目目回回类似题类似题类似题类似题解解知识点：知识点： 梯度；梯度； 散度；散度； 多元复合函数求导；多元复合函数求导； 可降
10、阶微分方程可降阶微分方程.停停下下上上目目回回PQR停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回可分离变量方程可分离变量方程停停下下上上目目回回答案：答案：答案：答案：停停下下上上目目回回4.解解知识点：知识点： 多元复合函数求偏导数多元复合函数求偏导数二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回将将代入代入停停下下上上目目回回例例6(03年考研年考研)停停下下上上目目回回解解(1)代入方程代入方程知识点：知识点： 反函数，复合函数求导法反函数，复合函数求导法 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程停停下下上上目目回回的通解为的通解为代入代
11、入，得得停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回类似题类似题(05年考研年考研)解解停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回其特征方程为其特征方程为特征根：特征根：于是此方程的通解为于是此方程的通解为从而原方程的通解为从而原方程的通解为停停下下上上目目回回解解一阶线性方程一阶线性方程题型题型4与积分法有关与积分法有关例例例例7 7停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回例例8 设设解解知识点：知识点： 曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件; 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程.停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回类似题类似题类似题类似题
12、解解停停下下上上目目回回解解停停下下上上目目回回xyot1xyo1t停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回例例例例9 9解解 知识点：知识点： 曲线积分与路径无关的曲线积分与路径无关的 四个等价命题；四个等价命题； 含参数的二阶常系数非含参数的二阶常系数非 齐次线性微分方程齐次线性微分方程.停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回类似题类似题答案：答案：知识点：知识点： 曲线曲线积分与路径无积分与路径无 关的四个等价命题；关的四个等价命题； 伯努利方程伯努利方程.例例10解解由题设和高斯公式得由题设和高斯公式得停停下下上上目目回回题型题型5解解线性方程线性方程知识点：知识
13、点： 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 定积分几何应用定积分几何应用旋转体体积旋转体体积 一元函数的最值一元函数的最值与微积分的几何应用有关与微积分的几何应用有关例例例例1111停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回例例12解解知识点：知识点： 重积分的几何应用重积分的几何应用 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 曲面片的面积曲面片的面积 一阶可分离变量方程一阶可分离变量方程停停下下上上目目回回oxyz停停下下上上目目回回(截面法截面法)oxyz停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回题型题型6解解知识点：知识点： 原函数原函数 定积分几何意义定积分几何意义 二阶常系数齐次线性
14、微分方程二阶常系数齐次线性微分方程两函数存在某种关系两函数存在某种关系例例例例1313停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回类似题类似题类似题类似题停停下下上上目目回回2.答案：答案：停停下下上上目目回回题型题型7与级数有关的问题与级数有关的问题停停下下上上目目回回例例例例1414知识点：知识点： 一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程; 幂级数求和幂级数求和.解解停停下下上上目目回回 的通解为的通解为停停下下上上目目回回的特解为的特解为代入代入，得得故故有特解：有特解：的通解为：的通解为：停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回类似题类似题解解停停下下上上目目回回2.解解线性方程线性
15、方程停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回3.解解特征方程：特征方程：特征根：特征根：所给方程的通解：所给方程的通解：停停下下上上目目回回4.(07年考研年考研)解解(1)停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回(2) 依题设，知依题设，知停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回解解例例15停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回(方法方法1)证证停停下下上上目目回回停停下下上上目目回回(方法方法2)例例16 求欧拉方程求欧拉方程的通解的通解解解 作变量变换作变量变换原方程化为原方程化为即即或或(1)或或(1)方程方程(1)所对应的齐次线性方程为所对应的齐次线性方程为其特征方程其特征方程特征方程的根为特征方程的根为所以齐次线性方程的通解为所以齐次线性方程的通解为设方程设方程(1)的特解为的特解为代入方程代入方程(1)，得，得故方程故方程(1)的通解为的通解为特征方程的根为特征方程的根为变量代回，得所给欧拉方程的通解变量代回，得所给欧拉方程的通解结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！119
