2022年以二次函数为背景的综合题

资源描述

《2022年以二次函数为背景的综合题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年以二次函数为背景的综合题（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、学习必备欢迎下载以二次函数为背景的综合题1如图，过 A （1，0）、B （3，0）作 x 轴的垂线，分别交直线y=x+4 于 C、D两点抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、C、D三点（ 1）求抛物线的表达式；（ 2）点 M为直线 OD上的一个动点，过M作 x 轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M ，使得以A、C、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）若 AOC沿 CD方向平移（点C在线段 CD上，且不与点D重合），在平移的过程中AOC与OBD重叠部分的面积记为S，试求 S的最大值【答案】（1）y=-43x2+133x

2、（2）存在点 M的横坐标为：32或33 22或33 22（3）13【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（ 2）由题意，可知MN AC ，因为以A、C、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3 设点 M的横坐标为x，则求出 MN=|43x2-4x| ；解方程 |43x2-4x|=3 ，求出 x 的值，即点M横坐标的值；（ 3）设水平方向的平移距离为t （0 t 3），利用平移性质求出S的表达式： S=-16（t-1 ）2+13；当 t=1 时， s 有最大值为13试题解析：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）抛物线过原点，设抛物线的解析式

3、为：y=ax2+bx3931abab，解得43133ab，抛物线的表达式为：y=-43x2+133x（ 2）存在设直线 OD解析式为 y=kx ，将 D（3，1）代入，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页学习必备欢迎下载求得 k=13，直线 OD解析式为 y=13x设点 M的横坐标为x，则 M （x，13x），N（x，-43x2+133x）， MN=|yM-yN|=|13x- （-43x2+133x）|=|43x2-4x| 由题意，可知 MN AC ，因为以 A、C、M 、N为顶点的四边形为平行四边形，则有 M

4、N=AC=3 |43x2-4x|=3 若43x2-4x=3 ，整理得： 4x2-12x-9=0 ，解得： x=33 22或 x=33 22；若43x2-4x=-3 ，整理得： 4x2-12x+9=0 ，解得： x=32存在满足条件的点M ，点 M的横坐标为：32或33 22或33 22（ 3） C（1，3），D（3，1）易得直线OC的解析式为y=3x，直线 OD的解析式为y=13x如解答图所示，设平移中的三角形为AO C，点 C在线段CD上设 O C与 x 轴交于点 E，与直线OD交于点 P；设 A C与 x 轴交于点 F，与直线OD交于点 Q 设水平方向的平移距离为t （0t 3），则图

5、中 AF=t， F（1+t ，0），Q（1+t ，13+13t ），C（ 1+t ，3-t ）设直线 OC的解析式为y=3x+b，将 C（ 1+t， 3-t ）代入得： b=-4t ，直线 OC的解析式为y=3x-4t 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 27 页学习必备欢迎下载 E（43t ，0）联立 y=3x-4t与 y=13x，解得 x=32t ， P（32t ，12t ）过点 P作 PG x 轴于点 G，则 PG=12t S=SOFQ-S OEP=12OF ?FQ-12OE ?PG=12（1+t ）（13

6、+13t ） -12?43t ?12t=-16（t-1 ）2+13当 t=1 时， S有最大值为13 S的最大值为13考点：二次函数综合题；平行四边形的判定与性质；坐标与图形变化- 平移2九（ 1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1x90）天的售价与销售量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30 元，设销售该商品的每天利润为y 元（ 1）求出 y 与 x 的函数关系式；（ 2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（ 3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800 元？请直接写出结果.【答案】（1）y=2(21802000 150)120

7、12000 5090xxxxx；（2）该商品第45 天时，当天销售利润最大，最大利润是6050 元；（3）该商品在销售过程中，共41 天每天销售利润不低于 4800 元【解析】试题分析：（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（ 2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（ 3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案试题解析：（1）当 1 x50 时， y=（200-2x ）（x+40-30 ） =-2x2+180x+2000，当 50x90 时，y=（200-2x ）（90-30 ）=-1

8、20x+12000 ，综上所述： y=2(21802000 150)12012000 5090xxxxx；（ 2）当 1x50 时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，当 x=45 时， y最大=-2 452+180 45+2000=6050，当 50x90 时， y 随 x 的增大而减小，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 27 页学习必备欢迎下载当 x=50 时， y最大=6000，综上所述，该商品第45 天时，当天销售利润最大，最大利润是6050 元；（ 3）当 1x50 时， y=-2x2+180x+2000

9、4800，解得 20x70，因此利润不低于4800 元的天数是20 x50，共 30 天；当 50x90 时， y=-120x+12000 4800，解得 x60，因此利润不低于4800 元的天数是50 x60，共 11 天，所以该商品在销售过程中，共41 天每天销售利润不低于4800 元考点：二次函数的应用3如图，抛物线y=13x2+bx+c 与 y 轴交于点C（ 0，-6 ），与 x 轴交于点A，B，且 B点的坐标为（ 3，0）（ 1）求该抛物线的解析式（ 2）若点 P是 AB上的一动点，过点P作 PE AC ，交 BC于 E，连接 CP ，求 PCE面积的最大值（ 3）若点 D为 OA的

10、中点，点M是线段 AC上一点，且 OMD为等腰三角形，求M点的坐标【答案】（ 1） y=13x2+x-6 ；（ 2）最大值为274. （3）（ -3 ，-3 ）或（ -32，-92）【解析】试题分析：（ 1）把 B点和 C点坐标分别代入y=13x2+bx+c 得到关于b、c 的方程组，然后解方程组求出b、c 即可得到抛物线解析式；（ 2）首先求出PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（ 3）分三种情况进行讨论即可.试题解析：（1）把点 C（0，-6 ）， B（3，0）分别代入y=13x2+bx+c 中，得 b=1，c=-6 ，该抛物线的解析式为y=13x2+x-6（ 2）令

11、y=0，即13x2+x-6=0 解得 x1=-6 ，x2=3，A（ -6，0）， SABC=12AB OC=27 设 P点坐标为（ x，0），则 PB=3-xPE AC ，BPE= BAC ，BEP= BCA ， PBE BAC ，2()PBEABCSPBSAB，得 SPBE=13（3-x ）2SPCE=SPCB-SPBE=12PB OC-SPBE=12（ 3-x ） 6-13（3-x ）2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 27 页学习必备欢迎下载=-13（x+32）2+274当 x=-32时， SPCE的最大值为274.

12、（ 3）OMD 为等腰三角形，可能有三种情形：（ I ）当 DM=DO 时，如答图所示DO=DM=DA=3，OAC= AMD=45 ， ADM=90 ，M 点的坐标为（-3， -3 ）；（ II ）当 MD=MO 时，如答图所示过点 M作 MN OD于点 N，则点 N为 OD的中点，DN=ON=32，AN=AD+DN=92，又 AMN为等腰直角三角形，MN=AN=92，M点的坐标为（ -32，-92）；（ III）当 OD=OM 时， OAC为等腰直角三角形，点 O到 AC的距离为226=32，即 AC上的点与点O之间的最小距离为32 323，OD=OM 的情况不存在综上所述，点M的坐标为（

13、-3，-3 ）或（ -32，-92）考点：二次函数综合题4如图，抛物线2yx1c与x轴交于点AB、（点 AB、分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C , 顶点为D, 已知点,A1 0 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页学习必备欢迎下载 . 求点 BC、的坐标； . 判断 CDB 的形状，并说明理由； . 将 COB 沿x轴向右平移t 个单位（ 0t3）得到 QPE . QPE 与 CDB 重叠部分（如图中阴影）面积为S , 求 S与x的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围 . 【答案】（1） B

14、（3，0） C（ 0， 3）；（2） CDB 为直角三角形理由见解析；（3）S=22333 022()19 3332)2(2tttttt 【解析】试题分析：（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B，C 的坐标；（ 2）分别求出CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定CDB为直角三角形；（ 3） COB 沿 x 轴向右平移过程中，分两个阶段：（ I ）当 0t 32时，如答图2 所示，此时重叠部分为一个四边形；（ II ）当32t 3 时，如答图3 所示，此时重叠部分为一个三角形试题解析：（1）点 A（-1，0）在抛物线y=-（x-1 ）2+c 上， 0=-（-1-1

15、）2+c，得 c=4，抛物线解析式为：y=- （x-1 ）2+4，令 x=0，得 y=3， C（0，3）；令 y=0，得 x=-1 或 x=3， B（3， 0）（ 2） CDB为直角三角形理由如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页学习必备欢迎下载由抛物线解析式，得顶点D的坐标为（ 1， 4）如答图 1 所示，过点D作 DM x 轴于点 M ，则 OM=1 ，DM=4 ，BM=OB-OM=2过点 C作 CN DM于点 N，则 CN=1 ，DN=DM-MN=DM-OC=1在 RtOBC 中，由勾股定理得：BC=

16、2222=3 +3 =32OBOC；在 RtCND 中，由勾股定理得：CD=2222=1 +1 =2CNDN；在 RtBMD 中，由勾股定理得：BD=22222=4=2 5BMDM BC2+CD2=BD2， CDB为直角三角形（勾股定理的逆定理）（ 3）设直线BC的解析式为y=kx+b ， B（3，0），C（ 0，3），303kbb，解得 k=-1 ，b=3， y=-x+3 ，直线 QE是直线 BC向右平移 t 个单位得到，直线 QE的解析式为： y=- （x-t ）+3=-x+3+t ；设直线 BD的解析式为y=mx+n ， B（3，0），D（1，4），304mnmn，解得： m=-

17、2，n=6， y=-2x+6 连接 CQ并延长，射线CQ交 BD于点 G ，则 G （32，3）在 COB向右平移的过程中：（ I ）当 0t 32时，如答图2 所示：设 PQ与 BC交于点 K，可得 QK=CQ=t ，PB=PK=3-t设 QE与 BD的交点为F，则：263yxyxt，解得32xtyt， F（3-t ，2t ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页学习必备欢迎下载S=SQPE-SPBK-SFBE=12PE ?PQ-12PB?PK-12BE ?yF=123 3-12（3-t ）2-12t ?2t=-

18、32t2+3t ；（ II ）当32t 3 时，如答图3 所示：设 PQ分别与 BC 、BD交于点 K、点 J CQ=t， KQ=t，PK=PB=3-t直线 BD解析式为y=-2x+6 ，令 x=t ，得 y=6-2t ， J（t ，6-2t ） S=SPBJ-SPBK=12PB ?PJ-12PB ?PK=12（3-t ）（6-2t ）-12（3-t ）2=12t2-3t+92综上所述， S与 t 的函数关系式为：S=22333 022()19 3332)2(2tttttt 考点：二次函数综合题5如图， RtABC 的斜边 AB在 x 轴上， AB 4，点 B的坐标为（1， 0），点 C在

19、 y 轴的正半轴若抛物线2(0)yaxbxc a的图象经过点A，B，C（）求y 关于 x 的函数解析式；（）设对称轴与抛物线交于点E ，与 AC交于点 D。在对称轴上，是否存在点P，使以点 P、C、D为顶点的三角形与ADE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。（）若在对称轴上有两个动点P和 Q （点 P在点 Q的上方），且 PQ=33，请求出使四边形 BCPQ 周长最小的点P的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页学习必备欢迎下载【答案】 ( ) y=)3)(1x33-x（）（1，-332）；

20、（1，33）（）P （1，937）【解析】试题分析： ( ) 根据抛物线的对称性确定出点A（3,0 ），设 y=a(x+1)(x-3)，利用相似三角形求出线段OC=3, 得出 C（0，3），然后把点C 的坐标代入函数解析式求出a的值即可，（）求出点E 、D的坐标，然后分当点P在 D下方，当点P在 D下方，两种情况讨论，利用相似三角形的性质可分别确定出点P 的坐标；（）确定点C 关于对称轴 x=1 的对称点C（2，3），过点 B作 BFx 轴，求出直线直线FC 的解析式，令 x=1，可求出满足条件的点P的坐标 .试题解析： ( ) AB=4,B(-1,0)，OA=3 ，点 A（3,0 ）

21、易算得 OC=3, C （0，3）设 y=a(x+1)(x-3)，把点 C的坐标代入函数解析式，得a=33- y=)3)(1x33-x（( ) 由 y=)3)(1x33-x（得抛物线的对称轴为直线x=1.当 x=1 时， y=334, E(1, 334)设直线 AC的解析式为y=kx+b, 由 A（3,0 ），C（0，3）求得 y=3x33-当 x=1 时， y=332, D(1, 332), 则 DE=332设对称轴交x 轴于 H点，则 DH=332.在直角三角形ACO 和 ADP中，易求得AC=23,AD=334, DC=332.当点 P在 D下方，且DP=DA=334时， PDC AD

22、E 。此时，点P的坐标为（ 1，-332）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 27 页学习必备欢迎下载当点 P在 D下方，且DEDPADCD时， CDP ADE ，解得 DP=33.此时，点P的坐标为（ 1，33）（）作点C关于对称轴x=1 的对称点C，则 C（ 2，3）。过点 B作 BF x 轴，使 BF=PQ=33，则 F（-1 ，33）,连结 FC，交对称轴于点P。点 P就为所求的点。设直线 FC 的解析式为y=mx+n。将点 C（ 2，3）和 F（-1，33）代入 y=mx+n得 m=935n932， y=9359

23、32x。当 x=1 时， y=937, 即 P（1，937）考点： 1. 待定系数法求解析式2. 二次函数的图像及性质3. 相似三角形的判定与性质4.轴对称 .6已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线643xy与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A、B ，将 OBA对折，使点O的对应点 H落在直线AB上，折痕交x 轴于点 C（ 1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（ 2）若抛物线的顶点为D，在直线 BC上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（ 3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段 BT上一

24、点，直接写出|QAQO|的取值范围【答案】（ 1）点 C的坐标为（ 3，0）（2）直线 BC上不存在符合条件的点 P，理由见解析（3）0|QAQO| 4【解析】试题分析：（1）利用直线643xy分别求出点A、B的坐标，然后利用勾股定理或相似三角形的性质求出线段OC的长即可得到点C的坐标，然后利用待定系数法可求出精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27 页学习必备欢迎下载抛物线的解析式；（2）利用平行四边形的性质求出符合条件的点P的坐标，然后代入直线 BC的解析式为y= 2x+6 检验即可；（3）当 QA=QO 时，|Q

25、A QO| 的值最小 =0，当 Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时 |QAQO|最大 =4.试题解析：（1）点 C的坐标为（ 3，0）点 A、B的坐标分别为A （8，0），B（0，6），可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x3）（x8）将 x=0，y=6 代入抛物线的解析式，得过 A、B 、C三点的抛物线的解析式为（ 2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点 D的坐标为，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G 直线 BC的解析式为y=2x+6. 解法一：如图，取OA的中点 E，作点 D关于点 E的对称点 P，作 PN x轴于点 N则PEN= DEG ，PNE= DGE ，PE=D

26、E 可得 PEN DEG 由，可得 E点的坐标为（ 4，0） NE=EG= ，ON=OE NE= ， NP=DG= 点 P的坐标为x=时，点 P不在直线BC上直线 BC上不存在符合条件的点P解法二：如图，作OP AD交直线 BC于点 P，连接 AP ，作 PM x轴于点 M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 27 页学习必备欢迎下载OP AD ，POM= GAD ，tan POM=tan GAD ，即解得经检验是原方程的解此时点 P的坐标为但此时，OM GA ，OP AD ，即四边形的对边OP与 AD平行但不相等，直线

28、，5）两点与x 轴另一交点为 B，已知 M （0，1），E（a，0），F（a+1，0），点 P是第一象限内的抛物线上的动点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 27 页学习必备欢迎下载（ 1）求此抛物线的解析式（ 2）当 a=1 时，求四边形MEFP 面积的最大值，并求此时点P的坐标（ 3）若 PCM 是以点 P为顶角顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由【答案】（1）y=-x2+4x+5(2) 15316，点 P坐标为（94，14316） (3)【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求

29、出抛物线的解析式；（ 2）首先求出四边形MEFP 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标；（ 3）四边形PMEF 的四条边中， PM 、EF长度固定，因此只要ME+PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值如答图 3 所示，将点 M向右平移 1 个单位长度（EF的长度），得 M1（1，1）；作点 M1关于 x 轴的对称点M2，则 M2（1， -1 ）；连接 PM2，与 x 轴交于 F 点，此时 ME+PF=PM2最小试题解析：（1）对称轴为直线x=2，设抛物线解析式为y=a（x-2 ）2+k将 A（ -1 ，0），C（0， 5）代入得：9045akak，解得

30、19ak， y=- （x-2 ）2+9=-x2+4x+5（ 2）当 a=1 时， E（1，0），F（2，0），OE=1 ，OF=2 设 P（ x，-x2+4x+5），如答图 2，过点 P作 PN y 轴于点 N，则 PN=x ，ON=-x2+4x+5， MN=ON-OM=-x2+4x+4S四边形 MEFP=S梯形 OFPN-SPMN-SOME=12（PN+OF ） ON-12PN MN-12OMOE=12（x+2）（-x2+4x+5）-12x （-x2+4x+4）-1211=-x2+92x+92=- （x-94）2+15316当 x=94时，四边形MEFP的面积有最大值为15316，精

31、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 27 页学习必备欢迎下载把 x=94时， y=- （94-2 ）2+9=14316此时点 P坐标为（94，14316）（ 3） M （0，1），C（0，5）， PCM 是以点 P为顶点的等腰三角形，点 P的纵坐标为3令 y=-x2+4x+5=3，解得 x=26点 P在第一象限， P（2+6， 3）四边形PMEF的四条边中， PM 、EF 长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值如答图 3，将点 M向右平移1 个单位长度（EF的长度），得 M1（1，1）；作点

32、 M1关于 x 轴的对称点M2，则 M2（1， -1）；连接 PM2，与 x 轴交于 F点，此时ME+PF=PM2最小设直线 PM2的解析式为y=mx+n，将 P（2+6，3），M2（1，-1 ）代入得：2631()mnmn，解得： m=4 645，n=-4 615， y=4 645x-4 615当 y=0 时，解得x=654 F（654，0） a+1=654， a=614 a=614时，四边形PMEF 周长最小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 27 页学习必备欢迎下载考点：二次函数综合题8如图，在平面直角坐标系中，

33、O为原点，平行四边形ABCD的边 BC在 x 轴上， D点在y 轴上， C点坐标为（ 2，0）， BC=6 ，BCD=60 ，点E是 AB上一点， AE=3EB ， P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c 过点 D，B，C三点（ 1）请直接写出点B、D的坐标： B（）， D（）；（ 2）求抛物线的解析式；（ 3）求证： ED是 P的切线；（ 4）若点 M为抛物线的顶点，请直接写出平面上点N的坐标，使得以点B，D，M ，N为顶点的四边形为平行四边形【答案】（ 1）（ -4，0）； D （ 0，23）；（ 2）y=-34x2-32x+2 3；(3) 证明见解析；（ 4）点 N的坐标为（ -

34、5 ，34）、（ 3，1734）、（ -3，-34）【解析】试题分析：（ 1）先确定 B （-4 ，0），再在 RtOCD 中利用 OCD 的正切求出OD=23，可得 D（0，23）；（ 2）利用交点式，待定系数法可求抛物线的解析式；（ 3）先计算出CD=2OC=4 ，再根据平行四边形的性质，结合相似三角形的判定可得AED COD ，根据相似三角形的性质和圆周角定理得到CD为 P的直径，于是根据切线的判定定理得到ED是 P的切线；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 27 页学习必备欢迎下载（ 4）利用配方得到y=-34（

35、x+1）2+9 34，根据平行四边形的性质和点平移的规律，利用分类讨论的方法确定N点坐标试题解析：（1） C（2，0）， BC=6 ， B（-4 ，0），在 RtOCD 中， tan OCD=ODOC，OD=2tan60 =2 3， D（0，2 3）（ 2）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（ x-2 ），把 D（ 0，2 3）代入得a4（ -2 ） =2 3，解得 a=-34，抛物线的解析式为y=-34（x+4）（ x-2 ）=-34x2-32x+2 3；（ 3）在 RtOCD 中， CD=2OC=4 ，四边形ABCD为平行四边形， AB=CD=4 ，AB CD ， A=BCD=60 ， A

36、D=BC=6 ， AE=3BE ， AE=3 ，32AEOC,6342ADCD，AEADOCCD， DAE= DCB ， AED COD ， ADE= CDO ， ADE+ ODE=90 CDO+ ODE=90 ， CD DE ，DOC=90 ， CD为 P的直径， ED是 P的切线；（ 4）存在 y=-34x2-32x+2 3=-34（x+1）2+9 34， M （-1 ，9 34），精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 27 页学习必备欢迎下载 B（-4 ，0）， D（0，2 3），如图 2，当 BM为平行四边形BDMN

37、的对角线时，点D向左平移4 个单位，再向下平移2 3个单位得到点B，则点M （-1 ，9 34）向左平移4 个单位，再向下平移2 3个单位得到点N1（-5 ，34）；当 DM为平行四边形BDMN 的对角线时，点B向右平移3 个单位，再向上平移9 34个单位得到点M ，则点 D （0，2 3）向右平移3 个单位，再向上平移9 34个单位得到点N2（ 3，1734）；当 BD为平行四边形BDMN 的对角线时，点M向左平移3 个单位，再向下平移9 34个单位得到点B，则点 D （0，2 3）向右平移3 个单位，再向下平移9 34个单位得到点N3（ -3 ，-34），综上所述，点N的坐标为（ -5，

38、34）、（ 3，17 34）、（ -3，-34）考点：二次函数综合题9如图 1 所示，已知抛物线y=-x2+4x+5 的顶点为 D，与 x 轴交于 A、B两点，与 y 轴交于 C点， E为对称轴上的一点，连接CE ，将线段CE绕点 E按逆时针方向旋转90后，点 C的对应点C恰好落在y 轴上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 27 页学习必备欢迎下载（ 1）直接写出D点和 E点的坐标；（ 2）点 F 为直线 CE 与已知抛物线的一个交点，点 H是抛物线上C与 F 之间的一个动点，若过点H作直线 HG与 y 轴平行，且与直线C

39、E 交于点 G，设点 H的横坐标为m （0 m 4），那么当m为何值时， SHGF：SBGF=5：6？（ 3）图 2 所示的抛物线是由y=-x2+4x+5 向右平移1 个单位后得到的，点T（5，y）在抛物线上，点P是抛物线上O与 T 之间的任意一点，在线段OT上是否存在一点Q ，使 PQT是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1) D点的坐标是（2， 9），点 E的坐标是（2， 3） (2) m1=352， m2=352 (3) （ 1，1）或（ 3，3）或（ 2，2）【解析】试题分析：（1）首先根据抛物线y=-x2+4x+5 的顶点为D，求出点D的

40、坐标是多少即可；然后设点E 的坐标是（ 2，m ），点 C 的坐标是（0，n），根据 CEC 是等腰直角三角形，求出E点的坐标是多少即可（ 2）令抛物线y=-x2+4x+5 的 y=0 得：x2-4x-5=0 可求得 A、B的坐标，然后再根据SHGF：SBGF=5：6，得到：56HMBN，然后再证明HGM ABN ，HGHMABBN，从而可证得56HGAB，所以 HG=5 ，设点 H （m ，-m2+4m+5 ），G （m ，m+1 ），最后根据HG=5 ，列出关于m的方程求解即可；（ 3）分别根据P、 Q、 T 为直角画出图形，然后利用等腰直角三角形的性质和一次函数的图象的性质求得

41、点Q的坐标即可试题解析：（1）抛物线y=-x2+4x+5=- （x-2 ）2+9 D点的坐标是（2，9）； E为对称轴上的一点，点 E的横坐标是： -42=2，设点 E的坐标是（ 2，m ），点 C的坐标是（ 0，n），将线段CE绕点 E按逆时针方向旋转90后，点C的对应点C恰好落在y 轴上， CEC 是等腰直角三角形，222222252520522nmmmn解得31mn或79mn（舍去），点 E的坐标是（ 2，3），点 C的坐标是（ 0，1）综上，可得D点的坐标是（2，9），点 E的坐标是（ 2，3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

42、 - - -第 18 页，共 27 页学习必备欢迎下载（ 2）如图 1 所示：令抛物线y=-x2+4x+5 的 y=0 得： x2-4x-5=0 ，解得： x1=-1， x2=5，所以点 A（-1 ，0），B（5，0）设直线 CE的解析式是y=kx+b，将 E（2，3），C（ 0，1），代入得123bkb，解得：11kb，直线 CE的解析式为y=x+1，将 y=x+1 与 y=-x2+4x+5，联立得：2145yxyxx，解得：1145xy，2210xy，点 F 得坐标为（ 4，5），点 A（-1 ，0）在直线 CE上直线 CE的解析式为y=x+1， FAB=45 过点 B、H分别作

43、 BN AF、HM AF，垂足分别为N、M HMN=90 ， ADN=90 又 NAD= HNM=45 HGM ABNHGHMABBN， SHGF：S BGF=5：6，56HMBN56HGAB，即566HG， HG=5 设点 H的横坐标为m ，则点 H的纵坐标为 -m2+4m+5 ，则点 G的坐标为（ m ，m+1 ）， -m2+4m+5-（ m+1 ）=5解得： m1=352，m2=352（ 3）由平移的规律可知：平移后抛物线的解析式为y=- （x-1 ）2+4（x-1 ）+5=-x2+6x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19

44、页，共 27 页学习必备欢迎下载将 x=5 代入 y=-x2+6x 得： y=5，点 T 的坐标为（ 5，5）设直线 OT的解析式为y=kx，将 x=5，y=5 代入得； k=1，直线 OT的解析式为y=x，如图 2 所示：当PTx 轴时， PTQ为等腰直角三角形，将 y=5 代入抛物线y=-x2+6x 得： x2-6x+5=0 ，解得： x1=1，x2=5点 P的坐标为（ 1，5）将 x=1 代入 y=x 得： y=1，点 Q的坐标为（ 1，1）如图 3 所示：由可知：点P的坐标为（ 1，5） PTQ为等腰直角三角形，点 Q的横坐标为3，将 x=3 代入 y=x 得； y=3，点 Q得

45、坐标为（ 3，3）如图 4 所示：设直线 PT解析式为 y=kx+b，直线 PT QT， k=-1 将 k=-1 ，x=5，y=5 代入 y=kx+b 得： b=10，直线 PT的解析式为y=-x+10 将 y=-x+10 与 y=-x2+6x 联立得： x1=2，x2=5点 P的横坐标为2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 27 页学习必备欢迎下载将 x=2 代入 y=x 得， y=2，点 Q的坐标为（ 2，2）综上所述：点Q的坐标为（ 1，1）或（ 3， 3）或（ 2，2）考点：二次函数综合题10如图， E的圆心

46、 E(3，0) ，半径为 5，E与 y 轴相交于A、B两点 ( 点 A在点 B的上方 ) ，与 x 轴的正半轴相交于点C；直线 l 的解析式为y=34x 4，与 x 轴相交于点D；以 C为顶点的抛物线经过点B. (1) 求抛物线的解析式；(2) 判断直线l 与 E的位置关系，并说明理由；(3) 动点 P在抛物线上，当点P到直线 l 的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离.【答案】（1）y=-116x2+x-4 ；（2）直线l 与 E 相切与 A(3) 抛物线上的动点P 的坐标为（ 2，-94）时，点P到直线 l 的距离最小，其最小距离为315【解析】试题分析：（1）连接AE ，由已知得：AE

47、=CE=5 ，OE=3 ，利用勾股定理求出OA的长，结合垂径定理求出OC的长，从而得到C点坐标，进而得到抛物线的解析式；（ 2）求出点D 的坐标为（ -163，0），根据 AOE DOA ，求出 DAE=90 ，判断出直线 l 与 E相切与 A（ 3）过点 P作直线 l 的垂线段PQ ，垂足为 Q，过点 P作直线 PM垂直于 x 轴，交直线l于点M设M（m，34m+4 ），P（ m ， -116m2+m-4），得到PM=34m+4-（ -116m2+m-4）=116m2-14m+8=116（ m-2）2+314，根据 PQM 的三个内角固定不变，得到PQ最小 =PM最小sin QMP=P

48、M最小sin AEO=31445=315，从而得到最小距离试题解析：（1）如图 1，连接 AE ，由已知得：AE=CE=5 ，OE=3 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 27 页学习必备欢迎下载在 RtAOE中，由勾股定理得，OA=2222534AEOE， OC AB ，由垂径定理得，OB=OA=4 ，OC=OE+CE=3+5=8， A（0，4），B（0，-4 ），C（8，0），抛物线的顶点为C，设抛物线的解析式为y=a（x-8 ）2，将点 B的坐标代入上解析的式，得64a=-4，故 a=-116， y=-116

49、（x-8 ）2， y=-116x2+x-4 为所求抛物线的解析式，（ 2）在直线l 的解析式y=34x+4 中，令 y=0，得34x+4=0，解得 x=-163，点 D的坐标为（ -163，0），当 x=0 时， y=4，点 A在直线 l 上，在 RtAOE和 RtDOA中，34OEOA，34OAOD，OEOAOAOD， AOE= DOA=90 ， AOE DOA ， AEO= DAO ， AEO+ EAO=90 ， DAO+ EAO=90 ，即 DAE=90 ，因此，直线l 与 E相切与 A（ 3）如图 2，过点 P作直线 l 的垂线段 PQ ，垂足为 Q ，过点 P作直线 PM垂直于 x

50、轴，交直线 l 于点 M 设 M （ m ，34m+4 ），P（m ，-116m2+m-4），则PM=34116m+4-（ -116m2+m-4）=116m2-14m+8=116（m-2）2+314，当 m=2时， PM取得最小值314，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 27 页学习必备欢迎下载此时， P（2，-94），对于 PQM ， PM x 轴， QMP= DAO= AEO ，又 PQM=90 ， PQM 的三个内角固定不变，在动点P运动的过程中，PQM 的三边的比例关系不变，当 PM取得最小值时，PQ也取

51、得最小值，PQ最小 =PM最小sin QMP=PM最小sin AEO=31445=315，当抛物线上的动点P的坐标为（ 2，-94）时，点 P到直线 l 的距离最小，其最小距离为315考点：二次函数综合题11如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（ a0 ）与 x 轴交于 A，B两点（点A 在点 B的左侧），与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（ 1，0），且 OC=OB ，tan ACO= （ 1）求抛物线的解析式；（ 2）若点 D 和点 C关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 下方的抛物线上有一点P，过点P作 PHAD 于点 H，作 PM 平行于 y 轴交直线AD 于点

52、M，交 x轴于点 E，求 PHM 的周长的最大值；（ 3）在（ 2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得 NEP为锐角，在线段EB 上是否存在点G，使得以E， N，G 为顶点的三角形与 AOC相似？如果存在，请求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线的解析式为y=x23x4 （2）当 a=1 时， PM 有最大值，最大值为4 （3）存在，点G 的坐标为（，0）或（， 0）【解析】试题分析：（1）先由锐角三角函数的定义求得C 的坐标，从而得到点B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x4），将点 C的坐标代入求解即可；（ 2）先

53、求得抛物线的对称轴，从而得到点D（3， 4），然后可求得直线AD 的解析式y= x1，故 BAD=45 ，接下来证明 PMD 为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设P（a，a2 3a4），M（ a1），则 PM=a2+2a+3，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH 的周长 =（1+）PM 求解即可；（ 3）当 EGN=90 时，如果或，则 AOC EGN，设点 G 的坐标为（ a，0），则 N（ a，a23a 4），则 EG=a 1，NG=a2+3a+4，然后根据题意列方程求解即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

54、- - - - -第 23 页，共 27 页学习必备欢迎下载解：（1）点 A 的坐标为（ 1，0）， OA=1又 tanACO= ， OC=4 C（0， 4） OC=OB ， OB=4 B（4，0）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x4）将 x=0，y=4 代入得： 4a=4，解得 a=1，抛物线的解析式为y=x23x4（ 2）抛物线的对称轴为x= ，C（0， 4），点 D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称， D（3， 4）设直线 AD 的解析式为y=kx+b将 A（1， 0）、D（3， 4）代入得：，解得 k=1，b=1，直线 AD 的解析式y=x 1直线 AD 的一次项系

55、数k=1， BAD=45 PM 平行于 y 轴， AEP=90 PMH=AME=45 MPH 的周长 =PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM设 P（ a，a23a 4），M（ a1），则 PM=a 1（ a2 3a4） =a2+2a+3， PM=a2+2a+3=（ a1）2+4，当 a=1 时， PM 有最大值，最大值为4 MPH 的周长的最大值=4 （1+）=4+4（ 3）如图 1 所示；当 EGN=90 设点 G 的坐标为（ a，0），则 N（a，a23a4） EGN= AOC=90 ，时， AOC EGN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

56、 - - - - - -第 24 页，共 27 页学习必备欢迎下载= ，整理得： a2+a8=0解得： a=（负值已舍去）点 G 的坐标为（，0）如图 2 所示：当 EGN=90 设点 G 的坐标为（ a，0），则 N（a，a23a4） EGN= AOC=90 ，时， AOC NGE=4，整理得： 4a2 11a17=0解得： a=（负值已舍去）点 G 的坐标为（，0） EN在 EP的右面， NEG90 如图 3 所示：当 ENG=90时，EG =EG =（1）=点 G 的横坐标 =4.03 4，点 G 不在 EG上故此种情况不成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

57、归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 27 页学习必备欢迎下载综上所述，点G 的坐标为（， 0）或（，0）考点：二次函数综合题12如图，在 ABC中， AB AC 10cm，BD AC于点 D，且 BD 8cm点 M从点 A出发，沿 AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点 B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ AC ，直线 PQ交 AB于点 P、交 BC于点 Q、交 BD于点 F连接 PM ，设运动时间为t 秒 (0 t 5)(1) 当 t 为何值时，四边形PQCM 是平行四边形？(2) 设四边形PQCM 的面积为 ycm2，

58、求 y 与 t 之间的函数关系式；(3) 是否存在某一时刻t, 使 S四边形 PQCM916SABC？若存在 , 求出 t 的值；若不存在，说明理由；(4) 连接 PC ，是否存在某一时刻t ，使点 M在线段 PC的垂直平分线上？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由【答案】 (1) 、103；(2) 、 y=225t8t+40 ；(3) 、t=52；(4) 、 t=2017.【解析】试题分析： (1) 、根据平行四边形的性质进行求解；(2) 、过 P作 PE AC ，交 AC于 E，根据 PQ AC得出 PBQ ABC ，根据相似比求出函数关系式；(3) 、首先求出 ABC的面积，然

59、后求出y 的值，解出方程得出x 的值； (4) 、假设存在某一时刻t ，然后根据 AHM 和 ADB相似进行以及HMP 的勾股定理进行解答.试题解析： (1) 、当310t时，四边形PQCM 是平行四边形；(2) 、过 P作 PE AC ，交 AC于 E， PQAC ， PBQ ABC ， PBQ是等腰三角形，PQ=PB=t ，,BABPBDBFBFt54， FD8t54，又 MC=AC-AN=10-2t，40852)548)(210(212ttttty(3) 、 S ABC=4021BDAC, 当 y916SABC245时，245408522tt，即01758042tt，解得235,2521

60、tt（舍去）(4) 、假设存在某一时刻t，使点 M在线段 PC的垂直平分线上，则MP=MC，过 M作 MH AB，交 AB于 H，则 AHM ADB ，ABAMADAHBDHM10268tAHHM,56,58tAHtHMtttHP511105610精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 27 页学习必备欢迎下载在 RtHMP 中，1004453751110582222ttttMP，又222440100210tttMC, 由22MCMP解得：0,172021tt（舍去），当1720t时，点 M在线段 PC的垂直平分线上. 考点： (1) 、动点问题； (2) 、三角形相似的应用.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 27 页

展开阅读全文

2022年以二次函数为背景的综合题

最新文档