《2022年指数运算与指数函数——必修一函数复习学案知识》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年指数运算与指数函数——必修一函数复习学案知识（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、八、指数运算与指数函数知识要点1、指数运算公式2、分数指数幂（1）tsaa=_ ；nma=_ （2）tsa )(=_ ；nma=_ （3）tsaa_ ；（4）sab_ 。3、根式运算 :nna_ ；nna)(=_ 二、指数函数1、定义：一般的 ,) 10(aaayx且叫做_ 2、指数函数的图像及性质在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x)31(y， （2）x)21(y（3）x2y， （4）x3y， （5）x5y结论：1a10a图像性质当 x0 时， y_1；当 x0 时， y_1；当 x0 时，y_1. 在 实 数 集 上 是_函数在 实 数 集 上 是_函数图像位于 x 轴上方；图像过
2、顶点（0，1）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 基础自测1 (课本改编题 )化简(2)612(1)0的值为 _答案7 解析(2)612(1)0(26)1212317. 2 若函数 y(a21)x在( ，) 上为减函数，则实数a 的取值范围是 _ 答案(2，1)(1，2) 解析由 y(a21)x在( ，) 上为减函数，得 0a211，1a22，即 1a2或2a0，且 a 1) 的定义域和值域都是 0,2，则实数 a
3、_. 答案3 解析当 a1 时，x0,2，y0，a21因定义域和值域一致，故a212，即 a3. 当 0a0，且 a1) 的图像可能是() 答案D 解析当 a1 时，yax1a为增函数，且在 y 轴上的截距为 011a1，排除 A，B. 当 0a1 时，yax1a为减函数，且在 y 轴上的截距为 11a0，且 a1) ，f(2)4，则() Af(2)f(1) Bf(1)f(2) Cf(1)f(2) Df(2)f(2) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15
4、页 - - - - - - - - - 答案A 解析f(x)a|x|(a0，且 a1) ，f(2)4，a24，a12，f(x)12|x|2|x|， f(2)f(1)，故选 A. 典型例题题型一： 指数的化简与计算例 1. 将下列各式用另一种形式表示出来54a，345a1，4322ba，865-a32b例 2. 化简下列各式（1）337，29，443（2） （232a21b） （-621a31b） （-361a65b）（3）410001.0+3227-216449+5 .191（4）4332baabba练习： （1）5. 0972+21.0+3127102+0（2）21211mm2mm（3）（1
5、0aa2a3234a例 3. 已知21a+21a=3，求下列各值（1）1a+a （2）2a+2a（3）212123-23aaaa变式训练：2k)12k()12k(222等于( ) A2k2B.)12k(2C.1)-(2k2-D.2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 练习：244)(xxxf，若10a，求(1)1()()(afafxf的值（2）)10011000(.)10013()10012()10011(ffff
6、的值（二） 指数函数题型一：判断指数函数例1.若函数xaaxf) 12)(3(是指数函数，求 a的值。例2.指数函数 f（x）图象经过点（ 2，9） ，求 f（1）及 f（-2）题型二. 指数型函数1. 定义域、值域例 1. 求出下列函数的定义域和值域(1) y=2x12（2）y=2xx221（3） y=x4-1x2+1 （4）f（x）=222xx变式训练： （1）求函数216xy的定义域和值域解：由题意可得2160x，即261x ，20x ，故2x函数( )f x的定义域是2，令26xt，则1yt，又2x，20x 2061x ，即01t 011t，即01y函数的值域是01 ，评注：利用指数函
7、数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - (2)设，求函数的最大值和最小值解：设，由知，函数成为，对称轴，故函数最小值为，因端点较距对称轴远，故函数的最大值为2. 单调性例1.求函数的单调区间（ 1）y=x2x251(2) y=7x2x23例2.y=x4-1x2+5 定义域、值域、单调性3. 奇偶性例1.f（x）=2eexx判断函数奇偶性在（ 0，+）时 f（x）的单调性例 2、
8、若函数是奇函数，求的值解：为奇函数，即，则，变式训练：已知函数f(x)11xxaa(a0且 a1).(1) 求 f(x)的定义域和值域； (2)讨论 f(x)的奇偶性； (3)讨论 f(x)的单调性 . 例 3、判别函数21121xxf的单调性及奇偶性，并证明。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 4. 图象例 1. (1)bayx过一、三、四象限，是确定a、b 范围(2) 函数) 11)(1(aabayx且图象在第
9、一、三、四象限，则必有（）1, 10.baA0, 10 .baB1,1.baC0, 1.baD(3) 函数 y=3x2+3 恒过定点例 2. (1)已知函数xxf2)(，在同一坐标系中画出下列图象122xx与122xx与xx22 与xx22 与|22xx与|2|2xx与(2)画出 y=1x2，x212y，22xy图象，并由图象指出单调区间变式训练： (1)画出 y=xxax10a的图象，并指出其单调性(2)为了得到函数935xy的图象，可以把函数3xy的图象（） A向左平移 9 个单位长度，再向上平移5 个单位长度B向右平移 9 个单位长度，再向下平移5 个单位长度C向左平移 2 个单位长度，
10、再向上平移5 个单位长度D向右平移 2 个单位长度，再向下平移5 个单位长度分析：注意先将函数935xy转化为235xt，再利用图象的平移规律进行判断解：293535xxy，把函数3xy的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移5 个单位长度，可得到函数935xy的图象，故选（ C） 题型三. 单调性应用1、比较指数幂大小名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 例 1、 （1）8. 143与6. 243（2）3285与
11、 1 （3）3 .031与3. 03（4）2277 .0与变式训练： (1)26 .0与3234（2）6. 05 .0与5.06.0(3)5.02与25.0（4）3121、3221、3251例 2、已知函数2( )f xxbxc满足(1)(1)fxfx，且(0)3f，则()xf b与()xf c的大小关系是 _分析：先求bc，的值再比较大小，要注意xxbc，的取值是否在同一单调区间内解：(1)(1)fxfx，函数( )f x的对称轴是1x故2b，又(0)3f，3c函数( )f x在1，上递减，在1 ， 上递增若0x，则321xx ，(3 )(2 )xxff；若0x，则321xx，(3 )(2
12、)xxff综上可得(3 )(2 )xxff，即()()xxf cf b评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论（二）求值域或最值例1.函数) 10(aaaxfx且，在区间 1，2上最大值比最小值大2a，求 a 的值例2.已知函数12541xxxf，求函数在区间 0,2上的最大值和最小值。（三）解函数方程或不等式1、 解方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - -
13、 - - - - - 例 1. (1) x4+1x2-3=0 (2) x91+x31-2=0 (3)x41+1x21+a=0有正数解，求 a的范围例 2、x2=1x3变式训练：解方程223380xx解：原方程可化为29(3 )80390xx，令3 (0)xtt，上述方程可化为298090tt，解得9t或19t（舍去） ，39x，2x，经检验原方程的解是2x评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根2、解不等式例 1. 2x2212 例 2. 若10aa且，解关于 x 的不等式xxaa2821。变式训练：解不等式x22aax- 122aa例 3. 0xx0x12)(21xxf若
14、1)(0xf则0x 的取值范围综合练习例 1.函数121ax2x2y的定义域恒为 R，则 a 的取值范围例 2. )10(122aaaayxx且在区间 -1,1上有最大值 14，则 a 的值例 3. 1 , 1,31)(xxfx，函数3)(2)()(2xafxfxgg 最小值为)(a(1)求)(a; (2)是否存在实数 m、n，同时满足下列条件：3nm; 当)(a定义域为 n，m时，值域为2n，2m，若存在，求出m、n 值；若不存在，说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
15、 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 例4（1）已知mxfx132)(是奇函数，求常数 m的值；（2）画出函数|13|xy的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程kx|13|无解？有一解？有两解？解： （1）常数 m=1 （2）当k0时，直线 y=k与函数|13|xy的图象无交点 ,即方程无解 ; 当k=0或k1时, 直线y=k与函数|13|xy的图象有唯一的交点，所以方程有一解; 当 0k1 时, 直线 y=k 与函数|13|xy的图象有两个不同交点，所以方程有两解。例 5、15、已知函数 f（x）=a122x（aR） ，（1） 求证：对任何 aR，f（x）为增函数
16、（2） 若 f（x）为奇函数时，求a 的值。例 6、16、定义在 R 上的奇函数)(xf有最小正周期为2，且) 1 ,0(x时，142)(xxxf（1）求)(xf在1，1上的解析式；（2）判断)(xf在（0，1）上的单调性；（3）当为何值时，方程)(xf=在 1 , 1x上有实数解 . 解（1）xR 上的奇函数0)0(f又2 为最小正周期0)1() 1()12()1 (ffff名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 设
17、x （ 1 ， 0 ） ， 则 x （ 0 ， 1 ） ，)(142142)(xfxfxxxx142)(xxxf（ 2） 设x1x21,) 14)(14()22()22()()(21122212221xxxxxxxxxxfxf=0) 14)(14()21)(22(212121xxxxxx在（ 0，1）上为减函数。（3）)(xf在（0，1）上为减函数。)0()()1 (fxff即)21,52()(xf同理)(xf在（1，0）时，)52,21()(xf又0)1()0() 1(fff当)21,52()52,21(或0时)(xf在1，1内有实数解。例 7、已知函数abxfxx122是 R 上的奇函数。
18、（1）求实数ba,的值； （2）若对任意实数 t，不等式02222ktfttf恒成立，求实数 k 的取值范围。千思百练(一 指数运算 ) 1、化简32)5(43的结果为（B ）A5 B5C5D5 2、将322化为分数指数幂的形式为（A ）A212B312C212D652*3、化简1111132168421212121212，结果是（A ）A、11321122B、113212C、13212D、13211224、13256)71(027.0143231=_19 5、321132132)(abbababa=_6561ba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
19、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 6、48373)27102(1.0)972(032221=_。100 7、)31()3)(656131212132bababa=_。a98、4160.250343216232 2428200549（） （）（）（）=_。100 9、已知),0(),(21baabbax求122xxab的值。a210、若32121xx，求23222323xxxx的值。31(二 指数函数 )1、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b，则 n 年后这批设备的
20、价值为（D ）A、(1%)nabB、(1%)anbC、 1( %) nabD、 (1%)nab2、若21(5)2xfx，则(125)f。0 3、若21025x，则10x等于（A ）A、15B、15C、150D、16254、某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是（A ）A、减少7.84%B、增加7.84%C、减少9.5%D、不增不减5、已知指数函数图像经过点)3 , 1(p，则)3(f2716、方程 2|x|+x=2 的实根的个数为 _2_ 7、 直线ay3与函数)10(1aaayx且的图像有两个公共点， 则 a的取值范围是 _ 。)31
21、,0(8、当0x时，函数2( )1xf xa的值总是大于 1，则 a的取值范围是 _22aa或_ 9、若01x，则下列不等式中成立的是（B ）xxxA2155 .xxxB5215.xxxC2155.xxxD5521.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 10、当a0时，函数yaxb和 ybax的图象只可能是（ A ）11、 （2005 福建理 5）函数bxaxf)(的图象如图，其中a、b 为常数，则下列结论正确的是
22、（D ）A0, 1 baB0, 1 baC0, 10baD0, 10ba12、下列函数中，值域为, 0的函数是（D ）xyA23.12.xyB12.xyCxyD221.13、设集合2|3 ,|1,xSy yxR Ty yxxR ，则ST是（C ）A、B、TC、SD、有限集14、 （2005 湖南理 2）函数 f(x)x21的定义域是（A）A、0 ,B、0， ）C、 （ ，0）D、 （ ， ）15、若函数0322xx，求函数xxy4222的最大值和最小值。 2 和-96 16、已知3,2x，求11( )142xxf x的最小值与最大值。221113( )142122124224xxxxxxxf
23、x, 3,2x, 1284x. 则当122x,即1x时,( )f x有最小值43；当28x,即3x时，( )f x有最大值 57。17、若函数0322xx，求函数xxy4222的最大值和最小值。 2 和-96 18、已知3,2x，求11( )142xxf x的最小值与最大值。221113( )142122124224xxxxxxxf x, 3,2x, 1284x. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 则当122x
24、,即1x时,( )f x有最小值43；当28x,即3x时，( )f x有最大值 57。19、如果函数)10(122aaaayxx且在1 , 1上的最大值为 14，求实数 a的值。3a或31a20、若函数3234xxy的值域为 1,7 ，试确定 x的取值范围。243 2323 23xxxxy，依题意有22(2 )3 237(2 )3 231xxxx即1242221xxx或，224021,xx或由函数2xy的单调性可得(,01,2x。21、设1.50.90.4812314,8,2yyy，则（C ）A、312yyyB、213yyyC、132yyyD、123yyy22、设.)32(,)32(2.15.
25、 1ba那么实数 a、b与 1 的大小关系正确的是( D ) A. 1abB. 1baC. ab1D. ba123、311213,32,2的大小顺序有小到大依次为_ 。13121323224、设, 10ba则下列不等式正确的是（C ）babaA.babbB.aabaC.ababD.25、函数1)1(222)(xaxxf在区间),5上是增函数，则实数a 的取值范围是( C ) A. 6,+)B. ),6(C. 6,(D. )6 ,(26、函数),0,0()(11babababaxfxxxx的单调性为（A ）A增函数B减函数C常数函数D与 a, b 取值有关27、 已知函数( )f xxx22.
26、() 用函数单调性定义及指数函数性质证明: ( )f x是区间),0(上的增函数；() 若325)(xxf，求 x的值. 解：() 设210xx，)22()22()()(221121xxxxxfxf)2121()22(2121xxxx2112212222)22(xxxxxx2121212)12)(22(xxxxxx4 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 210xx，022222121xxxx，1202121xx
27、xx01221xx，0221xx0)()(21xfxf)()(21xfxf.( )f x是区间),0(上的增函数8分() 325)(xxfxx22325x03242xx0423)2(2xx0)42)(12(xx0) 12(x042x42x2x12分28、已知函数22513xxy，求其单调区间及值域。令13Uy,225Uxx，则y是关于U的减函数，而U是, 1 上的减函数，1,上的增函数，22513xxy在, 1 上是增函数，而在1,上是减函数，又2225(1)44Uxxx, 22513xxy的值域为410,328、如果函数)(xf在区间aa24, 2上是偶函数，则 a=_1_ 29、函数212
28、1xxy是（A ）A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数30、若函数141)(xaxf是奇函数，则 a=_2131、若函数141)(xaxf是奇函数，则 a=_2132、2( )1( )(0)21xF xf xx是偶函数，且( )fx不恒等于零，则( )fx( A ) A、是奇函数B、可能是奇函数，也可能是偶函数C、是偶函数D、不是奇函数，也不是偶函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 33、设函数
29、2( )21xf xa, (1) 求证:不论 a 为何实数( )f x总为增函数 ; (2) 确定 a的值 ,使( )f x为奇函数及此时( )f x的值域 . 解： (1) ( )f x的定义域为 R, 12xx , 则121222()()2121xxf xf xaa=12122 (22 )(1 2 )(12 )xxxx, 12xx , 1212220,(12 )(12 )0xxxx,12()()0,f xf x即12()()f xf x,所以不论 a 为何实数( )f x总为增函数 . (2) ( )f x为奇函数 , ()( )fxf x,即222121xxaa, 解得: 1.a2( )
30、1.21xfx(3)由(2)知2( )121xf x, 211x,20221x, 220 ,1()121xf x所以( )f x的值域为( 1,1).34、已知函数1( )(1)1xxaf xaa, (1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明( )fx是R上的增函数。（1）定义域为xR,且11()( ),( )11xxxxaafxf xf xaa是奇函数；（2）1222( )1,11,02,111xxxxxafxaaaa即( )f x的值域为1,1 ；（3）设12,x xR,且12xx ，12121212121122()()011(1)(1)xxxxxxxxaaaaf xf xaaaa(分母大于零，且12xxaa) ( )fx是R上的增函数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -
