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1、毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破数.角平分拔高 .教师版Page 1 of 16 角平分线辅助线拔高 2014 年中考解决方案学生姓名：上课时间： 2013. .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破数.角平分拔高 .教师版Page 2 of 16 知识点一角平分线性质（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上（3）天然的轴对称模型，三线合一模型知识点二角平分线辅助线秘籍一：往角两边作垂线解读：用角平分线上的点往角两边
2、作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等秘籍二：往角两边截取相等的线段解读：在角两边截取相等的线段，这也是角平分线常用的辅助线，常用于解决线段和差问题秘籍三：过角平分线上的点作垂线解读：过角平分线上的点作垂线，常用于构造三线合一，构造等腰三角形秘籍四：过角平分线上的点作角一边的平行线解读：可以构造等腰三角形，可以记作口诀：“ 角平分线 +平行线，等角三角形现。自检自查必考点角平分线辅助线拔高精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破数.角平分拔高 .教师版Page 3
3、of 16 总结：往角两边作垂线或平行线、及截取等线段，或用四点共圆知识点三角平分线模型模型一两角平分线相交模型解读：这些是三角形角平分线的经典题型，必须让学生掌握这些证明过程类型一：在ABC中，如图1， BPCP、为ABC和ACB的角平分线，P与A为1902PAxyyxABCP推理方法：如图，可得2()180Axy，()180Pxy，化简可得1902PA类型二：如图2， BPCP、为ABC和ACE的角平分线，求P与A之间的关系为12PAxyxyABCPE推理方法：如图，可得 22yxA ， yxP ，化简可得12PA类型三：如图3， BPCP、为CBD和BCE的角平分线，则P与A之间的关系为
4、1902PAyxxyEDPCBA推理方法： 如图 ， 22180xyA，180xyP，化简可得1902PA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破数.角平分拔高 .教师版Page 4 of 16 模型二对角互补模型条件： DOCDOE， AOB+ DCE =180结论： CDCE2cosODOEOC2sincosDOECODCOCESSSOC四边形难度较大，记得经常复习（庆功独家提供，见几何小秘籍）【例 1】在ABC 中，AD平分A， CDAD ，D为垂足， G 为 BC 的
5、中点，求证：DGCB ACDGB【答案】延长 CD 交AB于E， 则得ADCADE， 所以D为 EC 中点，所以 DGAB， 所以DGCB含有角平分线的题目，常以角平分线为对称轴作出全等三角形ACDEGB【练 1】如图所示，在ABC 中， ACAB ，M为 BC 的中点，AD是BAC 的平分线，若CFAD 且交AD的延长线于F，求证12MFACAB MFDCBA【答案】题目中有角平分线和垂直的条件，因此可以考虑将图形补成等腰AEC，之后再证明MF是CBE 的中位线即可如图所示，延长AB、 CF 相交于点E，在AFE和AFC 中，EAFCAF ，AFAF，AFEAFC ，中考满分必做题CEDOB
6、AEMFDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破数.角平分拔高 .教师版Page 5 of 16 故AFEAFC，从而 AEAC ， EFFC 而 CMMB ，故MF是CBE 的中位线，从而111222MFBEAEABACAB【练 2】如图，已知在ABC 中，3ABCC ，12，BEAE求证：2ACABBE 21ECBA【答案】延长BE交 AC 于MAEBE，1234，ABAM，BEEM ACABACAMMC ，2BMBE又345C ，353ABCC553CC5C M
7、BMC2ACABBE 【练3】如图，在ABC 中， ABAC ，BD、AM分别是ABC 、BAC 的平分线， DNBC ，GFBD 求证：14MNBF FNMGDCBA【答案】如图，作DHBC，交AB于H，交AM于RABC 为等腰三角形，且AM平分BACM为 BC 中点，且AMBCBD平分ABC ，且 GFBDFGB 为等腰三角形，且D为 FG 的中点又HDBF12HDBF ，且R为HD中点，即2HDRD可以发现四边形RMND 为矩形，于是RDMN543MABCE12RHFNMGDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 1
8、6 页毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破数.角平分拔高 .教师版Page 6 of 16 1124MNRDHDBF【例 2】在ABC中，3ABAC ，BAC 的平分线交BC 于D，过B作BEAD，E为垂足，求证：ADDECEDBA【答案】延长AC 交BE的延长线于F，过E作 EGBC交 CF 于 G ，容易证得3AFABAC ，且E为BF之中点，故易得 ACCGGF 【练 1】如图所示，在ABC 中，AD是BAC 的平分线，M是 BC 的中点，MEAD且交 AC 的延长线于E，12CECD ，求证2ACBB EMDCBA【答案】如图所示，延长CE 到P，使 EPCE ，连接DP、B
9、P因为2CDCE ，故 CDCP ，则CDPCPD 因为ACBCDPCPD ，故2ACBCPD 因为 BMMC ， CEEP ，故MEBP因为ADME，故ADBP因为AD平分BAP，故ABAP在ABD和APD中，ABAP，BADPAD，ADAD，故ABDAPD，从而ABDAPD，因此2ACBABC 【点评】实质上，本题还是利用了“ 见到角平分线，考虑对称图形” 的思想【练 2】如图，在ABC中，BE是角平分线，ADBE，垂足为D求证：21CCFEGDBAEMDCBAP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页毕业班解决方案
10、模块课程初三数学 .几何模块突破数.角平分拔高 .教师版Page 7 of 16 AEBCD12【答案】如图，延长AD交 BC 于F于因为ABDFBD，BDBD，90ADBFDB，所以 RtRtABDFBD于是2DFB因为1DFBC ，所以21C 【练 3】如图，已知ABC ，12，2ABAC ，ADBD求证： DCAC 21BADC【答案】解法一：如图，取AB的中点E，连接 CE 、DEAEBE，ADBD，DEAB12， AEAC ，AD公共，AEDACD90ACDAED DCAC 解法二：如图，延长AC 到F，使 ACCF ，2AFAC 12，2ABACAF ，AD公共，ADBADF，BD
11、DFBDAD，DFAD， DC 是等腰三角形ADF底边上的中线， DCAC 解法四：如图，取AB、AD的中点E、 G ，连接 EG 、 GC ， EGBD，故AEGABD ADBD，1ABD，1AEG， AGEG 21DFCBEA21BAEDCF21BAEDCGF21BAEDCG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破数.角平分拔高 .教师版Page 8 of 16 12AEAB ，2ABAC ， AEAC 而12， AG 公共，AEGACG EGGCAG ， GCAGGD
12、，ADC 是直角三角形DCAC 【例 3】如图，在ABC 中，3ABAC ，A的平分线交BC 于D，过B作BEAD，垂足为E，求证：ADDEDCBAE【答案】解法一（角分线加中位线）：如图，延长AC 、BE交于F12，AEBF，AFAB，2CFAC 过E作EHAF，交 BC 于H，则12EHCFAC ，1DEH，ACDEHD ACDEHD，ADDE解法二（角分线加中位线）：如图，延长AC 、BE交于 G ，过E作 EHBC交 AG 于H12， AEBG ，3AGABAC ， BEGE 故有 HCHG 2CGABACAC ， HCAC DCHE，ADDE解法三（直角三角形斜边中线）：如图，取AB
13、的中点 G ，连接 EG 交 BC 于F，则 EG 是 Rt ABE 斜边上的中线 AGEG ，21AEG EGAC故 BFCF ，12EGAC，1322EGABAC，有13FGEG ，故F是ABE的重心BD为AE的中线，故ADDE解法四（角平分线定理与面积比例）：如图，延长BE、 AC 交于F12，AEBF，AFAB2ABFABESS而1133ACABAF，13ABCABFSSAD平分BAC ，3BDABCDAC，334BDDCBC ，311442ABDABCABFABESSSS21BAHFEDC21BAEDCGHGCDEFAB12F21BAEDC精选学习资料 - - - - - - - -
14、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破数.角平分拔高 .教师版Page 9 of 16 故12ADAE ，ADDE【练 1】AD是ABC 的角平分线，BEAD交AD的延长线于E，EFAC交AB于F 求证：AFFBD E CF BA【答案】由 “ 角平分线 +垂直 ” 联想到等腰三角形的“ 三线合一 ” ，故恢复等腰三角形延长AC 交BE的延长线于点O ，易证得ABEAOE，所以E为 BO 的中点，又 EFAC，所以EF为ABC 的中位线，故AFFB这道题目是典型的“ 补图 ” ，凸显题目中的条件【练 2】如图所示，A
15、D是ABC 中BAC 的外角平分线，CDAD 于D，E是 BC 的中点， 求证DEAB且1()2DEABAC EDCBA【答案】如图所示，延长BA到F，使 AFAC ，连接DF在ADC 和ADF中， ACAF ，FADCAD ，ADAD，故ADCADF，从而 C 、D、F三点共线，且D是 CF 的中点，DE是CFB 的中位线，故DEAB，且11()22DEFBABAC【练 3】如图所示，在ABC 中，AD平分BAC ，ADAB， CMAD 于M，求证2ABACAM MDCBAD E O CF BAFEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
16、 -第 9 页，共 16 页毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破数.角平分拔高 .教师版Page 10 of 16 【答案】如图所示，延长AB、 CM 相交于P取PB的中点 N ，连接 MN ，则 NMBD，故ANMABDADBAMN ，则 AMAN 容易证明APMACM，故 APAC 因此22ABACABAPABANNPABANBNANAM 【例 4】已知在ABC 中，90A，B的平分线交AC 于E， 交 BC 边上的高AH于D， 过D作 DFBC交 AC 于F，求证：AEFC HFDCBAE【答案】解法一：如图，由E向 BC 作垂线 EQ ，垂足为 Q ，连接 DQ 又AEAB，
17、12， QEAE ， BABQ ，BD公共ABDQBD，BQDBAD 又90BADHAC，90CHAC，BADC ，故CBQD ， DQFC而 DFQC， DFCQ 为平行四边形，故QDFC 又BAEBQE，QEBAEB 而AEBQDE ，故QEDQDE， QEQD 而 QEAE ， AEFC 解法二：如图，作EGBC ，交 BC 于 G 12，AEAB， EGAE 又190AED，290BDH，AEDBDH而BDHADE，故AEDADEAEAD， ADEG 又 DFBC，AFDECG RtRtADFEGC， AFEC ，即 AEEFFCEF AEFC 解法三：如图，过F作 FGBC ，垂足为
18、 G 过D作 DQAB ，垂足为 Q 又 DHHG ， DFHG，12， DHDQFG 90QADABC，90GCFABC，QADGCF ， RtRtAQDCGF， ADFC 又190AED，290BDH，而BDHADEAEDADE，ADAE，故AEFC解法四：如图，延长BA到 Q ，使 BQBC ，连接 EQ ，NPMDCBABAHFEDCQ21GBAHFEDC21GBAHFEDC21QBHD21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破数.角平分拔高 .教师版Page 1
19、1 of 16 过D作 DGAB交 EQ 于 G ，显然BCEBQE ECEQ ，DEFDEG 又2EDGEDF，DE公共，FDEGDE， EFEG ， FCQG 显然 AQGD 为平行四边形， QGAD 由另证 1 可知ADAE，故 AEFC 【练 1】如图所示，在ABC 中，90BAC， ADBC 于D，BCA 的角平分线交AD与F，交AB于E， FG 平行于 BC 交AB于 G 4AE，14AB，则 BG_GFEDCBAHGFEDCBA【解析】角平分线、直角过E作EH垂直 BC 交 BC 于H点，易证AECEHC；由角度分析易知AEFAFE，即AEAF；则有EHEAAF；又可证AGFBH
20、E，则14410AGEB，则1064BG【答案】 4 【练 2】如图，在 ABC 中，90BAC，BD平分ABC 交 AC 于D， AEBC 于E交BD于 G ， FG AC 交 BC 于F，连接DF求证：DFBCGFEDCBA【答案】先证 AGB FGB ，再证 FDBADB【练 2】如图所示， 在 RtABC 中，90CCHAB，于H，AG 平分BAC ，交 CH 于D，交 BC 于 G ，在 BC 上取 BECG ，连接ED，证明：CDE 是直角三角形HEGDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页毕业班解
21、决方案模块课程初三数学 .几何模块突破数.角平分拔高 .教师版Page 12 of 16 【答案】过G 做 GF 垂直AB于F；由角的关系易得CDGCGD ，即 CGCD ；易证ACGAFG； CGGFCD ；CEGB，HCBFGB；综合得到，CGEGFB，得证【练 3】在直角三角形ABC 中，90C，A的平分线交BC 于D自 C 作 CGAB交AD于E，交AB于 G 自D作DFAB于F，求证： CFDE GABCDEF1221FEDCBAGQGABCDEF12【答案】解法一(四点共圆 +垂径定理 )：如图90ACDAFD，CDECED 4 点共圆，ACFADF又12，290ADF，190AC
22、F，故 CFDE 解法二（证菱形）：如图，连接EFAD是BAC 的平分线，DCAC ，DFAB，CDDF，ADCADF CGAB，DFAB，CEDF，CEDFDE ，CDECED ，CDCEDF，四边形 CEFD 是菱形CFDE解法三（三线合一）：如图12，90ACDAFD，AD公共，ACDAFDACAF，CDDFAD是 CF 的中垂线，故CFDE 解法四（截长补短）：如图，延长FDAC、交于 Q ，连接 BQ 12， DCAC ，DFAB，CDFD显然 RtRtDCQDFB，CQBF又90QFBBCQ，CFBQ、 、4 点共圆，CFBQ为等腰梯形，ABQ为等腰三角形12，ADBQ而 CFBQ
23、，ADCF【拓展】 如图，在 RtABC 中，AD是斜边 BC 上的高，BE是ABC 的平分线，AD交BE于 O ，EFAD于F，求证：AFOD FHEGDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破数.角平分拔高 .教师版Page 13 of 16 BAQFEDCO21【答案】解法一：如图，过A作 AQBE ，交 BC 于 Q ，垂足为H，连接 OQ 190AEO，290BOD，12，AOEBOD，AEOAOE AQ 是 OE 的中垂线又12， AHQH ， AOQE
24、是菱形（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）， AEOQ， AEOQ ，FAEDOQ ， RtRtAFEODQAFOD解法二：如图，过O 作 OGAB12， ODBC ， OGOD 190AEO，290BOD，AEOBOD 而BODAOE ，AEOAOE ， AEAO EFDC，AEFC 90CCAD，90GAOCAD，CGAO ，故AEFGAO RtRtAEFOAG， OGAF ， AFOD BAQHFEDCO21BAGFEDCO21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突
25、破数.角平分拔高 .教师版Page 14 of 16 【例 5】已知90AOB，OM是AOB的平分线将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动，点P不与点O重合 . （1）如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，在（ 1）的条件下，设CD与OP的交点为点G，且32PGPD，求GDOD的值；（3）若直角RPS的一边与射线OB交于点D，另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、D、E为顶点的三角形与OCD相似， 请画出示意图； 当1OD时，直接写出OP的长. （ 09 年昌平一模）GMSRPCDBOA【答案】（
26、1）PC与PD的数量关系是相等过点P作PHOA，PNOB，垂足分别为点HN、90AOB，易得90HPN190CPN，而290CPN，12OM是AOB的平分线，PHPN，又90PHCPND，PCHPDNPCPD（2）PCPDQ，90CPD，345，45POD，3POD又GPDDPO，PODPDGGDPGODPD中考真题拔高321GNSHODACMPBR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破数.角平分拔高 .教师版Page 15 of 16 32PGPD，32GDPGODPD
27、（3）如图 1 所示，若PR与射线OA相交，则1OP；如图 2 所示，若PR与直线OA的交点C与点A在点O的两侧，则21OPSRBPMCADO图1GERS图2ODACMPBE【例 6】（ 1 ） 如 图1 ，BP为ABC的 角 平 分 线 ，PMAB于M，PNBC于N，30 ,23ABBC，请补全图形，并求ABP与BPC的面积的比值；（2）如图 2，分别以ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，CD与BE相交于点O，判断AOD与AOE的数量关系，并证明；（3）在四边形ABCD中，已知BCDC，且ABAD，对角线AC平分BAD，请直接写出B和D的数量关系 . （ 10
28、年昌平二模）OABC图1图2PCMEBAD【答案】（1）解：如图1 所示 . BP为ABC的角平分线，PMAB于M，PNBC于N，PMPN12ABPSAB PM, 12BPCSBC PN, 30,23ABBC，3023ABPBPCSABSBC. （2）答：AOD与AOE的数量关系为相等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破数.角平分拔高 .教师版Page 16 of 16 证明：如图2，过点A作AMDC于M, ANBE于N, ABD和ACE都是等边三角形，,60ADABACAEDABCAEoBACCAB, DACBAEDACBAEDCBE, DACBAESS12DACSDCAM, 12BAESBE AN, AMAN点A在DOE的角平分线上AODAOE（3）答：180BDoMNNOABC图1图2PCMEBAD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页
