2022年线性控制系统教案3极零点与稳定性

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1、第三章多变量系统的极点、零点和稳定性Poles, Zeros and Stability of Multivariable Feedback Systems 本章内容：? 传递函数的 Smith-McMillan标准形? 传递函数的极点和零点? 传递函数的矩阵分式描述(MFD) ? 系统的内稳定? 奈奎斯特稳定判据3.1 Introduction 多变量系统的传递函数矩阵transfer-function matrix 1( )()( )ijG sC sIABDgs( )ijgs是有理真分式 (rational proper fraction) ，对多变量系统的研究很多时候采用状态空间模型。最

2、基本的 两个系统 的连接 (connection)：串联 (series)、并联 (parallel)和反馈 (feedback) 连接。一个反馈系统如图2.1(c) 【P85】 ，有关系式1112221212( ),( ),yG s uyG s uuuyyu则111211121( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )y sIG s G sG s u sG s IG s G su s(注意乘积的顺序 )回差 (return difference) ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页1221( )(

3、 ),( )( )IG s G sIGs G s回比 (return ratios)：1221( )( ),( )( )G s GsGs G s3.2 传递函数的Smith-McMillan形式对极点、零点的一般化研究，需要Smith-McMillan标准形式 . 单模阵 (幺模阵 , unimodular) ：( )U s与1( )Us都是多项式矩阵. 或det( )U sc常数 (与 s无关 ) 初 等 矩 阵 (elementary matrix) ： 单 位 矩 阵 经 过 一 次 初 等 变 换(elementary operations)后的矩阵。初等变换： 交换两行或列；用常数乘

4、以某行或列；某行或列乘一多项式加到另一行上。两个矩阵等价，( )P s 与( )Q s 等价，记为( ) ( )P sQ s ：11( )( )( )( )( )( )lrP sLsLs Q s RsRsLL定理 3.1： 任意 多项式矩阵 等价于一个伪对角多项式，形式为 Smith标准型Smith form (pseudo-diagonal polynomial matrix) ：12( ) ( )diag( ),( ),( ),0,0rP sS ssssLL( )is是首一 (monic) 多项式，是( )P s 的不变因子，且满足：1( )( ),1,2,1iissirL(整除特性 di

5、visibility property) ( )is是( )P s 的不变因子 (invariant factors) 。012( )1,( ),( ),( ),iDsDsDsDsLL行列式因子精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页1( )( ) /( )iiisDsDs. determinantal divisors 例 1：化下面多项式矩阵为Smith 标准形式(怎样化标准形？ )1234221011( ),( ),010110( ),0111( ),0131ssP sP ssssP ssssP sssss5222

6、112( )123,123P sssssssss定 理3.2 (Smith-McMillan form) :如 果( )G s是有理函数矩阵rational matrix， 具 有 一 般 秩 r ， 则 可 以通 过 系 列 初 等 变换 化 为Smith-McMillan 标准形 ：1212( )( )( )( ) ( )diag,0,0( )( )( )rrsssG sM ssssLL11( )( ),1,2,1( )( )iiiissirssL解释一般秩： Normal rank 例 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3

7、页，共 13 页222222113232428( )323222412ssssssssG sssssssss210322( ) ( )0100sssG sM ss3.3 传递函数的极点和零点Poles and Zeros of a transfer function matrix 定义1212( )( )( )( ) ( )diag,0,0( )( )( )rrsssG sM ssssLL极点多项式：12( )( )( )( )rp ssssL零点多项式：12( )( )( )( )rz ssssL( )p s与( )z s的根 (roots)称为传递函数( )G s的极点和零点传递函数( )

8、G s 的极点和零点的含义：极点：( )G s 的分母中有因子(以该点为根 ) 零点：( )G s 的分子中不一定有因子，但该点使( )G s的秩下降，但重数不能这样简单确定。极点多项式( )p s的次数称为传递函数( )G s的 McMillan次(degree) 零点：通常称为传递(输)零点(transmission zeros) 上面例 2 中，零点 2, 极点-1, -1, -2, 都是简单的 (simple)。推论：如果( )G s是方的，则det( )( ) /( )G sc z sp s。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

9、 4 页，共 13 页3.4 矩阵分式描述Matrix Fraction Description (MFD) 设( )G s 是严格真 (strictly proper)有理传递函数，( )L s 和( )R s 是单模阵，( )G s 可化为 Smith-McMillan标准型：1212( )( )( )( )( )( )( )( )diag,0,0( )( )( )( )rrG sL s Ms R ssssL sR ssssLL12121( )( )( )( )diag,0,0( )( )( )( )( )rrsssM ssssNs DsLL12( )diag( ),( ),( ),0,0

10、rNssssLL12( )diag( ),( ),( ),1,1rDssssLL111( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )G sL s Ms R sL s NsRs DsN s D s上 式 被 称 为( )G s的 右 矩 阵 分 式 描 述 (right matrix fraction description). (同理有左矩阵分式描述) ( )N s-分子矩阵 (numerator matrix) ( )D s-分母矩阵 (denominator matrix) (1) z is a zero of ( )G sif and only if ( )N zloses

11、 rank (2) p is a pole of ( )G sif and only if ()D ploses rank MFD 表示不是唯一的11( )( )( )( )( )( )( )G sN s X sD s X sN s D s%定义：右互质 (right coprime) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页如果( )( )( )N sN s U s%( )( )( )D sD s Us%只对单模阵( )U s成立，则称( )N s与( )D s 右互质这时称1( )( )( )G sN s D s是不

12、可约的 (irreducible) 怎样判定( )N s与( )D s右互质？存在多项式矩阵( ),( )X s Y s使得( )( )( )( )X s N sY s D sI。如果1( )( )( )G sN s D s是不可约的 (irreducible)， 则( )G s的极点多项式：( )det( )p sD s. 3.5 状态空间实现State Space Realization 显然有1adj()( )()det()CsIA BG sC sIABDDsIA定理3.3：设( )G s有最小实现(,)A B C D，( )p s是( )G s的首一极点多项式，则( )p ssIA例

13、3：最小实现12( )3ssGsss(1)(3)1( )(2)(2)(3)ssG ss sss0103 11, , , 6516 31ABCD3.6 多少零点？ How Many Zeros? 有零点的非方形传递函数是特殊的，一般的非方形传递函数无零点例 4：怎样判定下面传递函数是否有零点？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页132411( )563142sssssGssssssSISO 传递函数情况：1111( )mmmnnnsb sbG sksa saLL零点和极点：有m 个有限 (finite) 零点，有 n

14、个有限极点如果nm，在无穷远处 (at infinity) 有nm个零点如果nm，在无穷远处 (at infinity) 有nm个极点( )G s 在s的极点和零点，通过()(1/)HG在0的极、零点来定义 . 传递函数是方阵情况：定理 3.4：如果( )G s是方阵，那么它的极点和零点一样多11( )(),( )()mniiiiz sszp ssp11(1/)(1),(1/)(1)mnmniiiizzpp11det()(1) /(1)mnnmiiiiHkzp设()H在 0 有z个零点，p个极点，则zpnm总的极点数与总的零点数相等：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

15、结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页ffppzz非方形传递函数上面结论不成立。例 5：13( )24ssGsss有两个极点，没有零点。关于零点的进一步讨论(further discussion) 设()G s是方形，维数mm，最小实现：12( )()CBCABG sDC sIABDssL2()HDCBCABL若rank D，则()H在0 至少有 m个零点这样( )Gs至少有 m个零点在无穷远处因此至多 nm个有限零点但当 m时，一般情况，()Gs的秩在无穷远处不下降，所以得( )Gs有 n 个有限零点。若0D，()Gs至多有nm个有限零点，至少m 个零点在无穷远处当rankC

16、Bm时，恰有nm个有限零点当rankCBmd时，至多有nmd 个有限零点更精确计算有限零点的数目需要检查马可夫(Markov) 参 数 ：1iCAB.更详细讨论Kailath(1980), MacFarlane (1976)-IJC 3.7 内部稳定性Internal Stability 定义：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页指数稳定 (exponentially stable)：( )Gs正则 且没有 闭右半复平面(CRHP)极点 . 内部稳定 (internally stable)：图 2.2【P103】所示

17、 反馈系统 是内部稳定的，当且仅当传递函数11122122( )( )( )( )( )euHsHsHsHsHs，111121221222eHHueHHu是指数稳定的。(相对于 外部稳定 )这是称(),()GsKs是内部稳定的，或()Ks镇定( )Gs。( )G s1e( )K s1u2y1y2u2e求出(注意正反馈条件下) 1111()()( )()()euIKGIKGKHsG IKGIGK两点说明：(1) 定义中排除了()Gs与( )Ks不稳定的极零点相消；(2) 检验四个传函()ijHs都是指数稳定的。内部稳定 -指反馈系统，指数稳定-指传递函数。定理 3.5：如果( )Ks指数稳定，则

18、图2 所示反馈系统内部稳定当且仅当121()()HsGIKG指数稳定。(存在( )Ks指数稳定时， 称( )Gs是可强镇定的strong stabilizable) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页证明：11121( )()( )HsIKGIKGIKHs1211( )( )( )HsHs K s12221( )()( )( )HsIG IKGKIHs K s定理3.6：如果( )Ks指数稳定，则121()()HsGIKG指数稳定当且仅当(1) det()()IGs Ks在闭右半平面上没有零点(包括无穷远点incl

19、uding infinity) ；(2) 21( )Hs在( )Gs的闭右半平面极点处解析(analytic)( 包括无穷远极点 )。【更详细 (细致 )的结果】例 6：11( ),( )21sKsG sss1det1( )( )2sGs Kss121(1)(1)sGKGss因此，( )Ks不能镇定( )Gs. 负反馈：( )Ks换为( )Ks. 设计者应遵循的原则：不能引入右半平面的极零点对消.3.8 一般 Nyquist 稳定判据The Generalized Nyquist Stability Criterion 取反馈()KskI(负反馈 )，并设det( )IkGs在闭右半平面上有o

20、p个极点和cp个零点，则由幅角原理(the principle of the argument) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页arg det( )2()coIkG spp:注意：()IkGs的极点就是( )G s的极点闭环系统稳定性分析：闭环系统稳定0cp如果( )is是( )G s的特征值，则1( )iks是( )IkGs的特征值det( )1( )iIkG sksargdet( )arg1( )iIkG sks所以判定稳定性问题转化为计算1( )iks的 Nyquist 图围绕原点的圈数问题，进一步得(

21、 )iks绕10j点的圈数问题(与经典判据一样了 )。( )is的图被称为 特征轨迹 characteristic loci例 7：(取1k) 01( )101Gsss，1,2( )(1) /(1)sss1,2()(1) /(1)jjj下面的问题：数圈1()j和2()j一起形成一个封闭曲线(如图 2.3【P108】) 是一个单位圆。所以1k时系统稳定，1k时系统不稳定。22(1)(1)(1)det( )1(1)(1)ssksIkG skss精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页定理 3.7 (Generalized

22、Nyquist Theorem) 如果( )G s有op个不稳定Smith-McMillan极点， 则具有回比为( )kGs的闭环系统稳定， 当且仅当()kGs的特征轨迹 一起 逆时针包围10j点op圈，假设没有隐藏不稳定模(没有极零点对消)。例 8：11( )621.25(1)(2)ssG ssss1,223124()2.5(1)(2)jjsjj见书中图 2.4【P109】 （附下图：1,2( )s的 Nyquist 图）分析：1,20,()(31) / 50.4,0.8s1,2,( )0s, 再计算一个点 (确定分支 ). 设2124()jj，取精选学习资料 - - - - - - - -

23、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页1，则2,2 / 120.11785mm. 0.11785时, 取(2)jj1,2()0.33610.0941,0.81880.3946jj当k变化时系统的稳定性: 1/0.8k系统稳定0.81/0.4k系统不稳定0.41/0k系统稳定01/0.53k系统不稳定0.531/ k系统稳定- 总结 Summary ? 掌握多项式矩阵的Smith 标准形及传递函数的Smith-McMillan标准形 (会求 )；? 掌握传递函数的极点和零点的概念；? 掌握传递函数的左、右互质及矩阵分式描述；? 熟练掌握系统的内稳定概念及相关运算；? 了解一般奈奎斯特稳定判据；? 尝试使用计算机绘制特征轨迹，并判别系统稳定性。- 作业： 2.4, 2.5, 2.10 附 加 作 业 ： 设11111212221222( )yuyuWWuWsyuWWu， 求 出( )yuWs并证明( )yuWs指数稳定的充要条件是( )euHs指数稳定。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页