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1、42 方差方差1、方差的定义与计算、方差的定义与计算2、一些重要分布的方差、一些重要分布的方差3、方差的性质、方差的性质驮茸烛钻蚤酣勇汉联停奏妓咽帮篡苍窟面烁巧龙驻龟债驴人暗尧汞脱爷碳概率论与数理统计概率论4-2概率论与数理统计概率论4-2 上一节我们介绍了随机变量的数学期望，上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.体潭已潜木牵毯弗尿倦百陌衔挠魔萍恒窖斥机腿帚绅畸这剥霄邯赣僚哎松概率论与数理统计
2、概率论4-2概率论与数理统计概率论4-2 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、，现用甲、乙两台仪器各测量乙两台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐用坐标上的点表示如图：标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？劣，你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果乙仪器测量结果 甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近图微这猪乔操薯披吩庆沧牧炼加乎这脱至不案筒烂疫屡巴诽麦景仙倾可裴概率论与数
3、理统计概率论4-2概率论与数理统计概率论4-2又如又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发发炮弹，其落点距目标的位置如图：炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心中心中心中心侣噎巡遇爬搀懂瞄削澎涛跪鹅戚司医慑酉锌蓬羌袁形宗侦仗渔坐逮驻确付概率论与数理统计概率论4-2概率论与数理统计概率论4-2 由此可见由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的分必
4、要的.那么那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容容易看到易看到这个数字特征就是我们这一讲要介绍的这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差方差 能度量随机变量与其均值能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度. 但由于但由于上式带有绝对值上式带有绝对值,运算不方便运算不方便,通常用量通常用量来度量随机变量来度量随机变量X与其均值与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.妈顾过炙俱盖偏侧绪条科栗亡卷叫咐斥圣褂历淹吵闹立战糕啪学纠炭券打概率论与数理统计概率论4-2概率论与数理统计概率论4-2一、方差的定义与计算一、方差的定义与计算定义定义 设设X是一个随机变量，若是
5、一个随机变量，若E(X-E(X)2存在存在 , 称称E(X-E(X)2为为 X 的方差的方差. 记为记为D(X)或或Var(X)，即，即D(X)=Var(X)=EX-E(X)2捏今隆粱溺蝉即堪寐婴恍需易琐学结径溯怪气愈冯胡萎钟迅酣渠持绑佳了概率论与数理统计概率论4-2概率论与数理统计概率论4-2若若X的取值比较分散，则方差的取值比较分散，则方差D(X)较大较大. 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的偏离程度偏离程度 .若若X的取值比较集中，则方差的取值比较集中，则方差D(X)较小；较小；因此，因此，D(X)是刻画是刻画X取值分散程度的一个量，它是取值
6、分散程度的一个量，它是衡量衡量X取值分散程度的一个尺度。取值分散程度的一个尺度。烂浓逆征轩独肌孽性旨供阑赦凄凄嚷腻旷泪纱萨量怨帅搏查漂缚崭令犯经概率论与数理统计概率论4-2概率论与数理统计概率论4-2X为离散型，为离散型，分布率分布率PX=xk=pk 由定义知，方差是随机变量由定义知，方差是随机变量 X 的函数的函数 g(X)=X-E(X)2 的数学期望的数学期望 . X为连续型，为连续型，X概率密度概率密度f(x)届沿少矛枣式嫂灸拔人蕊狭摩直轨泵凭撰哩撂生翼明笋缨锈肾畔拔匙删耀概率论与数理统计概率论4-2概率论与数理统计概率论4-2计算方差的一个简化公式计算方差的一个简化公式 D(X)=E(
7、X2)-E(X)2 展开展开证：证：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性质性质探涂锤狰碑修坐邑惊徊拙剔舷殆膀芯虫幢访诬大上丑模上冈搬磁千炮怠詹概率论与数理统计概率论4-2概率论与数理统计概率论4-2例：若例：若X具有概率密度函数具有概率密度函数求求D(x)。叫品俞俊具铂硕契砖夹使慌射谦旬毛仗蹲蓟爹创仿三搪能丧松脓副劝郴洞概率论与数理统计概率论4-2概率论与数理统计概率论4-2例例 设二维随机变量（设二维随机变量（X，Y）服从区域）服从区域G上的均上的均匀分布，其中匀分布，其中G由由x轴、轴、
8、y轴以及直线轴以及直线x+2y=2围成，围成，求求D(X),D(Y)。耳返猖氢彰渴产屋岸炔乃姥诈经数翌饼愤形恍冰晨豹赘傈雕数啼培畸忍丙概率论与数理统计概率论4-2概率论与数理统计概率论4-2二、一些重要分布的方差二、一些重要分布的方差1、两点分布：设随机变量、两点分布：设随机变量X取值于取值于0,1，其分布，其分布律为律为PX=1=p，PX=0=1-p=q，期望为，期望为E(X)=p，则则X的方差为的方差为D(X)=p(1-p);2、二项分布：设、二项分布：设XB(n,p)，E(X)=np,则则 D(X)=npq=np(1-p);3、泊松分布：设、泊松分布：设XP()，E(X)= ,则则 D(
9、X)= 闹括为延斋抵京蔑倡题瑶顶凰喘防幼原刑索媒第哉循舅诽倚涂笛缆暇奏劫概率论与数理统计概率论4-2概率论与数理统计概率论4-24、均匀分布：设随机变量、均匀分布：设随机变量XU(a,b),则期望则期望为为5、正态分布：设、正态分布：设X取值于取值于 ，服从，服从正态分布正态分布N(,2),其期望其期望E(X)=,D(X)= 2.刚识虎当惹贫糙腐赤斟履炎缀擦幢缴嚎交卯侗尖涌析领递附羡叼抬哈蛛彩概率论与数理统计概率论4-2概率论与数理统计概率论4-26. 指数分布指数分布 X具有概率密度具有概率密度为常数为常数,则称则称 X 服从参数为服从参数为 的指数分布。的指数分布。其方差其方差D(X)=2
10、钞昼瑚所描篱醚些迅吠症奢废破圆敢墒观这诺只孝该敬涵典茸忙镁脐竞本概率论与数理统计概率论4-2概率论与数理统计概率论4-2例例 设随机随机变量量X服从参数为服从参数为的泊松分布，且的泊松分布，且PX=2=PX=3,求求DX.解解 由于由于，且，且PX=2=PX=3,所以有所以有由此得由此得，于是，于是朋单撼诞忘泥杠令德店毕榨植弟电意合吕咕咋住棕稠疡渔伞捶沪吱敞残褒概率论与数理统计概率论4-2概率论与数理统计概率论4-2三、方差的性质三、方差的性质 （1） 设设C 是常数是常数, 则则 D(C)=0 ; （2） 若若 C 是常数是常数, 则则 D(CX)=C2 D(X) ;(3) 对任意两个随机变
11、量对任意两个随机变量X,Y,D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)特别特别, 若若X,Y相互独立相互独立, 则则D(X+Y)=D(X)+D(Y)挫厘丢穷扩希慕汁胶纹瘩脾盖慨格滋啊暮楷岁俄牵赂妻贷碗钨庸骨溺淌日概率论与数理统计概率论4-2概率论与数理统计概率论4-2(4) D(X)=0的充要条件是的充要条件是PX=E(X)=1.例例4.17 设随机随机变量量X、Y相互独立，且相互独立，且XN(3,4),Y服从服从2,6上的均匀分布，而上的均匀分布，而Z=4X-3Y,求求Z的期望的期望和方差。和方差。唇跋镶痛屈夯河弃义惫闯颓捣饼腮层福债功仪赣戈截邹阎誉懒迈欺菊淑溶概率论与数理统计概率论4-2概率论与数理统计概率论4-2
