《3.3逆矩阵及其求法【春苗教育】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.3逆矩阵及其求法【春苗教育】（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3 逆阵及其求法逆阵及其求法1.逆矩阵的概念及其求法逆矩阵的概念及其求法2.逆矩阵的性质逆矩阵的性质1优讲借鉴定义定义10 对于对于n阶方阵阶方阵A,若有一个若有一个n阶方阵阶方阵B,使使AB=BA=E,则称方阵则称方阵A可逆可逆,并称方阵并称方阵B为为A的的逆阵逆阵,记作记作A 1.注注: 如果方阵如果方阵A可逆可逆,则逆阵是唯一的则逆阵是唯一的.设设B、C 均为均为A的逆阵的逆阵,则则逆阵是唯一的逆阵是唯一的.一、逆矩阵的概念及其求法一、逆矩阵的概念及其求法则则B=A 1.B=BE=B(AC)=(BA)C =EC=C2优讲借鉴定理一定理一 若方阵若方阵A可逆可逆,则则|A| 0.证证
2、A可逆可逆有有A 1,使使AA 1=E|A|A 1|=|E|=1|A| 03优讲借鉴定理二定理二 若若|A| 0,则方阵则方阵A可逆可逆,且且其中其中A*称为方阵称为方阵A的的伴随方阵伴随方阵,它是它是|A|的各的各个元素的代数余子式所构成的如下方阵个元素的代数余子式所构成的如下方阵:4优讲借鉴证证设设5优讲借鉴=E由逆阵的定义有由逆阵的定义有:同样同样注注: AA*=A*A=|A|E6优讲借鉴推论推论 若若AB=E(或或BA=E),则则B=A 1.证证|A|B|=|E|=1|A| 0A 1存在存在B=EB=(A 1A)B=A 1(AB)=A 1E=A 17优讲借鉴2.若若A可逆可逆,则则A
3、1也可逆也可逆,且且(A 1) 1=A证证由推论得由推论得二、逆矩阵的性质二、逆矩阵的性质1.若若A可逆可逆,则有则有|A 1|=|A| 1证证AA 1=E|A|A 1|=1|A 1|=|A| 1A 1A=E(A 1) 1=A|A 1|=|A| 1 0 A 1可逆可逆8优讲借鉴3.若若A可逆可逆,数数 0,则则 A可逆可逆,且且( A) 1=证证由推论得由推论得4.若若A、B为同阶方阵为同阶方阵,且均可逆且均可逆,则则AB亦可逆亦可逆,且且(AB) 1=B 1A 1证证由推论得由推论得:| A|= n|A| 0 A可逆可逆=E|AB|=|A|B| 0AB可逆可逆(AB)(B 1A 1)=A(B
4、B 1)A 1=AEA 1=AA 1=E(AB) 1=B 1A 19优讲借鉴证证由推论得由推论得另外另外,定义定义:当当|A| 0时时, A0=E, A k=(A 1)k. k为正整数为正整数5.若若A可逆可逆,则则A 也可逆也可逆,且且(A ) 1=(A 1) |A |=|A| 0 A 可逆可逆A (A 1) =(A 1A) =E =E(A ) 1=(A 1) 有有: A A =A + , (A ) =A. , 为整数为整数 10优讲借鉴例例1 求方阵求方阵 的逆阵的逆阵.解解:=2 0A可逆可逆11优讲借鉴A13=7, A21=2, A22= 2, A23= 2, A31= 1, A32=
5、2, A33=112优讲借鉴例例2 求求X:解解: 方程两端左乘矩阵方程两端左乘矩阵,得得13优讲借鉴得得解解:方程两端右乘矩阵方程两端右乘矩阵14优讲借鉴例例3 设方阵设方阵A满足满足A2 A 2E=0,证明证明:A, A+2E都可逆都可逆,并求它们的逆阵并求它们的逆阵.证证A2 A 2E=0A(A E)=2E|A| 0A可逆可逆15优讲借鉴A2 A 2E=0(A+2E)(A 3E)+4E=0|A+2E| 0 A+2E可逆可逆16优讲借鉴利用逆阵可用于解线性方程组利用逆阵可用于解线性方程组: AX=B若若A可逆可逆,则则X=A 1B例例4 解线性方程组解线性方程组解解: 把方程组写为把方程组写为: AX=B其中其中17优讲借鉴|A|=15 0A可逆可逆求得求得X=A 1B18优讲借鉴19优讲借鉴例例5 设设A为一个三阶方阵为一个三阶方阵, A*为为A的的伴随矩阵伴随矩阵,求求|(3A) 1 2A*|解解:A*=|A|A 1|(3A) 1 2A*|A 1|=|A| 1=2|(3A) 1 2A*|20优讲借鉴
