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1、信息学院信息学院 罗捍东罗捍东第五节第五节 曲线凸性、拐点与渐近线曲线凸性、拐点与渐近线问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方4.5.1 曲线凸性与拐点曲线凸性与拐点1信息学院信息学院 罗捍东罗捍东定义：定义：设函数设函数y=f(x)在在(a，b )内可导，如果曲线内可导，如果曲线y=f(x)上任意一点的切线都在曲线的上方，则称该曲线为上任意一点的切线都在曲线的上方，则称该曲线为上上凸的（凸弧）凸的（凸弧），称区间，称区间(a，b )为该曲线的为该曲线的上凸
2、区间上凸区间；如果曲线如果曲线y=f(x)上任意一点的切线都在曲线的下方，则上任意一点的切线都在曲线的下方，则称该曲线为称该曲线为下凸的（凹弧）下凸的（凹弧） ，称区间，称区间(a，b )为该曲线为该曲线的的下凸区间下凸区间或或凹区间凹区间。规范的定义：规范的定义：如果函数如果函数y=f(x)在在(a，b )内任意内任意两点两点x1，x2都满足：都满足：则称该曲线为则称该曲线为上凸。上凸。如果函数如果函数y=f(x)在在(a，b )内任意两点内任意两点x1，x2都满都满足：足：则称该曲线为则称该曲线为下凸。下凸。2信息学院信息学院 罗捍东罗捍东定理定理1 1：设函数设函数y=f(x)在在(a，
3、b )内二阶可导内二阶可导,则有则有(1)若在若在(a，b )内有内有 ，曲线，曲线y=f(x)在在(a，b )内内下凸下凸。(2)若在若在(a，b )内有内有 ，曲线，曲线y=f(x)在在(a，b )内内上凸上凸。3信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例1 1：解：解：注意到注意到,4信息学院信息学院 罗捍东罗捍东定义：定义：注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.证：证：由可导函数取极值的条件由可导函数取极值的条件.5信息学院信息学院 罗捍东罗捍东拐点的求法拐点的求法6信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例2 2：解：解：凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点7信
4、息学院信息学院 罗捍东罗捍东注意注意: : 曲线的上凸区间为曲线的上凸区间为 ，下，下凸区间为凸区间为 和和 ，拐点为（，拐点为（0，1）和）和 。8信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例3 3：解：解：9信息学院信息学院 罗捍东罗捍东考研题欣赏考研题欣赏（2004年年3，4）设）设 ，则，则 (A)x=0是是f(x)的极值点的极值点，但但(0,0)不是曲线不是曲线y=f(x)的拐点。的拐点。(B)x=0不是不是f(x)的极值点的极值点，但但(0,0)是曲线是曲线y=f(x)的拐点。的拐点。(C)x=0是是f(x)的极值点的极值点，且且(0,0)是曲线是曲线y=f(x)的拐点。的拐点。(D)x=0
5、不是不是f(x)的极值点的极值点，(0,0)也不是曲线也不是曲线y=f(x)的拐点。的拐点。答案：答案：(C)10信息学院信息学院 罗捍东罗捍东4.4.2 曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义: :1.1.垂直渐近线垂直渐近线11信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例1:两条有垂直渐近线两条有垂直渐近线: : 解：解：12信息学院信息学院 罗捍东罗捍东2.2.水平渐近线水平渐近线例例2:有两条水平渐近线有两条水平渐近线: :解：解：13信息学院信息学院 罗捍东罗捍东3.3.斜渐近线斜渐近线斜渐近线求法斜渐近线求法:14信息学院信息学院 罗捍东罗捍东注意注意:15信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例3 3
6、：解：解：16信息学院信息学院 罗捍东罗捍东17信息学院信息学院 罗捍东罗捍东考研题欣赏考研题欣赏（2000年年3，4）曲线）曲线 （A）仅有水平渐近线。仅有水平渐近线。（B）仅有铅直渐近线。仅有铅直渐近线。（C）既有既有铅直又有铅直又有水平渐近线。水平渐近线。（D）既有既有铅直又有铅直又有斜渐近线。斜渐近线。答案：答案：(D)18信息学院信息学院 罗捍东罗捍东考研题欣赏考研题欣赏（2003年年3,4）曲线）曲线的单调区间、极值、渐近线。的单调区间、极值、渐近线。19信息学院信息学院 罗捍东罗捍东4.4.3 函数作图函数作图利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第
7、二步20信息学院信息学院 罗捍东罗捍东第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势近线以及其他变化趋势;第五步第五步21信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例1 1：解：解：定义域为定义域为 x 0。非奇非偶函数。非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.22信息学院信息学院 罗捍东罗捍东列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点23信息学院信息学院 罗捍东罗捍东作图作图24信息学院信息学院 罗捍东罗捍东25信息学院信息学院 罗捍东罗捍东例例2 2：解：解：偶函数偶函数, 图形关于图形关于y轴对称轴对称.定义域为定义域为R。26信息学院信息学院 罗捍东罗捍东列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:拐点拐点极大值极大值拐点拐点27信息学院信息学院 罗捍东罗捍东28
