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1、8.7二重积分二重积分n n一、二重积分的概念与性质一、二重积分的概念与性质n n二、二重积分的计算二、二重积分的计算n n三、积分区域无界的广义二重积分三、积分区域无界的广义二重积分*1曲顶柱体曲顶柱体n n引例引例1：曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.2“分割分割,求和求和,取极限取极限”思想的应思想的应用用n n求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极分割、求和、取极限限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示播放播放3求曲顶柱体体积的具体步骤求曲顶柱体体积的具体步骤用若干
2、个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积4平面薄片的质量平面薄片的质量n n引例引例2：平面薄片的质量平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量近似
3、等于薄片总质量近似等于薄片总质量5二重积分的概念二重积分的概念n n定义定义定义定义：设：设：设：设f f( (x x, ,y y) )是有界闭区域是有界闭区域是有界闭区域是有界闭区域D D上的有界函数上的有界函数上的有界函数上的有界函数, ,将闭区将闭区将闭区将闭区域域域域D D任意分成任意分成任意分成任意分成n n个小闭区域个小闭区域个小闭区域个小闭区域 1 1, , 2 2,n n , ,其中其中其中其中i i表示第表示第表示第表示第i i个小区域个小区域个小区域个小区域, ,也表示它的面积也表示它的面积也表示它的面积也表示它的面积; ;在每个在每个在每个在每个i i上上上上任取一点任取
4、一点任取一点任取一点( ( i i, , i i) ,) ,作乘积作乘积作乘积作乘积 f f( ( i i, , i i) )i i ( (i i=1,2,=1,2,n n), ),并作和并作和并作和并作和 ; ;如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时趋于零时趋于零时趋于零时, ,这和的极限存在这和的极限存在这和的极限存在这和的极限存在, ,则称此极限为函数在闭则称此极限为函数在闭则称此极限为函数在闭则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，区域上的二重积分，区域上的二重积分，区域上的二重积分， 记作
5、记作记作记作叫做被积函数叫做被积函数叫做被积函数叫做被积函数, ,叫做被积表达式叫做被积表达式叫做被积表达式叫做被积表达式, , 叫做面积元素叫做面积元素叫做面积元素叫做面积元素, ,与叫做积分变量，叫做积分变量，叫做积分变量，叫做积分变量，叫做积分区域，叫做积分区域，叫做积分区域，叫做积分区域， 叫做积分和。叫做积分和。叫做积分和。叫做积分和。 6关于二重积分定义的说明关于二重积分定义的说明n n(1)(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的的的的. .n n(2)
6、(2)当在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存当在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存当在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存当在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在在，即二重积分必存在在，即二重积分必存在在，即二重积分必存在. . n n(3)(3)在直角坐标系中在直角坐标系中在直角坐标系中在直角坐标系中, ,若用平行于坐标轴的直线网若用平行于坐标轴的直线网若用平行于坐标轴的直线网若用平行于坐标轴的直线网划分划分划分划分, ,则则则则n n二重积分的几何意义二重积分的几何意义二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二
7、重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时当被积函数小于零时当被积函数小于零时当被积函数小于零时, ,二重积分是柱体体积的负值二重积分是柱体体积的负值二重积分是柱体体积的负值二重积分是柱体体积的负值一般一般一般一般, ,D D上的二重积分等于部分区域上的柱体体积上的二重积分等于部分区域上的柱体体积上的二重积分等于部分区域上的柱体体积上的二重积分等于部分区域上的柱体体积的代数和。的代数和。的代数和。的代数和。D D7二重积分的性质二重积分的性质(15)n n性质性质1（k k为常数）为常数）为常数）为常数） n n性质性质
8、2 n n性质性质3n n性质性质4 若若 为为D的面积的面积,则则n n性质性质5 若在若在D上上则有则有特别地特别地:8二重积分的性质二重积分的性质(67)n n性质性质6(估值不等式估值不等式) 设设M、m分别是分别是f(x,y)在闭在闭区域区域D上的最大值和最小值上的最大值和最小值, 为为D的面积的面积,则则n n性质性质7(二重积分中值定理二重积分中值定理) 设函数设函数f(x,y)在闭区在闭区域域D上连续上连续,则在则在D上至少存在一点上至少存在一点( , ),使使得得9例题与讲解例题与讲解n n例：不做计算例：不做计算例：不做计算例：不做计算, ,估计估计估计估计其中其中其中其中
9、D D是椭圆闭区域是椭圆闭区域是椭圆闭区域是椭圆闭区域 n n解解解解10直角坐标下计算二重积分直角坐标下计算二重积分n n应用计算应用计算“平行截面面积为已知的立体求体平行截面面积为已知的立体求体积积”的方法，可以在直角坐标下计算二重积的方法，可以在直角坐标下计算二重积分。分。n nX-型积分区域型积分区域D：X型型其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.11a ax xb bX-型积分区域上计算二重积型积分区域上计算二重积分分n n将二重积分的值看作以将二重积分的值看作以D为底为底,以以z=f(x,y)为曲为曲面的面的“曲顶柱体曲顶柱体”体积。体积。应用计算应用计算应用计算应用计
10、算“ “平行截平行截平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积体求体积体求体积” ”的方法的方法的方法的方法, ,垂直垂直垂直垂直x x轴作平行截面。轴作平行截面。轴作平行截面。轴作平行截面。得得12Y-型积分区域上计算二重积分型积分区域上计算二重积分n nY-型积分区域型积分区域D：Y型型垂直垂直垂直垂直y y轴作平行截面轴作平行截面轴作平行截面轴作平行截面13其它类型的积分区域其它类型的积分区域n nX型区域的特点型区域的特点:穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线轴的直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点.n n
11、Y型区域的特点型区域的特点:穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直线轴的直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点.n n若区域如图，则必须分割若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分在分割后的三个区域上分别使用积分公式别使用积分公式14例题与讲解例题与讲解n n例：改变积分例：改变积分的次序的次序n n解：解：积分区域如图积分区域如图15例题与讲解例题与讲解n n例：改变积分例：改变积分的次序的次序n n解：解：积分区域如图积分区域如图16例题与讲解例题与讲解n n例：改变积分例：改变积分的次序的次序n n解：解：原式原式17例题与讲解例题与讲解n n例：求积分例：
12、求积分其中其中D是由抛物线是由抛物线 y=x2和和x=y2围成的成的闭区域。区域。 n n解：解：18例题与讲解例题与讲解n n例：求积分例：求积分其中其中D是以是以(0,0)、(1,1)、 (0,1)为顶点的三角形区域。为顶点的三角形区域。n n解：解：19例题与讲解例题与讲解n n例：计算积分例：计算积分 n n解：解：20例题与讲解例题与讲解n n例：求由下列曲面所围成的立体体积例：求由下列曲面所围成的立体体积例：求由下列曲面所围成的立体体积例：求由下列曲面所围成的立体体积 n n解解解解曲面围成的立体如图：曲面围成的立体如图：曲面围成的立体如图：曲面围成的立体如图：一个三角形一个三角形
13、一个三角形一个三角形. .21利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分22极坐标下化二次积分极坐标下化二次积分()n n若积分区域特征如下若积分区域特征如下图图23例题与讲解例题与讲解n n例：写出积分例：写出积分例：写出积分例：写出积分 在极坐标下二次积分形式在极坐标下二次积分形式在极坐标下二次积分形式在极坐标下二次积分形式, ,其中积分区域其中积分区域其中积分区域其中积分区域 n n解解解解24极坐标下化二次积分极坐标下化二次积分(2)n n若积分区域特征如下若积分区域特征如下图图25极坐标下化二次积分极坐标下化二次积分(3)n n若积分区域特征如下图若积分区域特征如下图n n极坐标系
14、下区域的面积极坐标系下区域的面积26例题与讲解例题与讲解n n例：计算例：计算例：计算例：计算 其中其中其中其中D D 是由中心在原点是由中心在原点是由中心在原点是由中心在原点, ,半径半径半径半径为为a a的的的的圆圆周所周所周所周所围围成的成的成的成的闭闭区域。区域。区域。区域。 n n解解解解27例题与讲解例题与讲解(泊松积分泊松积分)n n例：求广义积例：求广义积例：求广义积例：求广义积分分分分n n解解解解由上例结论以及对称性知由上例结论以及对称性知由上例结论以及对称性知由上例结论以及对称性知28例题与讲解例题与讲解n n例：计算例：计算例：计算例：计算其中其中其中其中 D D为由圆
15、为由圆为由圆为由圆 及直线及直线及直线及直线 所围成所围成所围成所围成的平面闭区域。的平面闭区域。的平面闭区域。的平面闭区域。 n n解解解解29例题与讲解例题与讲解n n例：计算例：计算例：计算例：计算其中积分区域为其中积分区域为其中积分区域为其中积分区域为 n n解解解解30小结小结n n二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）Y型型X型型n n二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式31练习练习(1)32练习练习(2)33练习练习(3)34练习解答练习解答35练习解答练习解答36练习解答练习解答37练习解答练习解答38练习解答练习解答39练习解答练习解答40练习解答练习解答41练习解答练习解答如图所示42练习解答练习解答如图所示43练习解答练习解答44练习解答练习解答45练习解答练习解答46练习解答练习解答47练习解答练习解答48
