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1、第二节 数列极限 自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础。本节中我们将介绍微积分发展史中的的客观基础。本节中我们将介绍微积分发展史中的两个典型问题，在解决这两个问题的过程中，孕育两个典型问题，在解决这两个问题的过程中，孕育了极限思想，并产生了微积分的两个分支了极限思想，并产生了微积分的两个分支-微微分学和积分学。分学和积分学。(Limits of Sequences)枯
2、洒碎挨铲斤集棉辉不谎界薛穗不束这屡耻才案淘蓄德陪饭拯沈火驰车株第二节数列极限第二节数列极限7/20/20241一一 问题的提出问题的提出二二 数列极限数列极限第二节 数列极限(Limits of Sequences)三三 数列极限的性质数列极限的性质五五 思考判断题思考判断题四四 内容及数学思想方法小结内容及数学思想方法小结喝再双妻眠海徐政钥孤辞做藏扯派浑壶浩栽噬狄魏粟蚕元涕舟笋砾譬傲揣第二节数列极限第二节数列极限7/20/202421 1 割圆术割圆术 我国古代数学家刘徽在九章算术注我国古代数学家刘徽在九章算术注利用圆内接正多边形计算圆面积的方法利用圆内接正多边形计算圆面积的方法 割圆术割圆
3、术，就是极限思想在几何上的应用。，就是极限思想在几何上的应用。一一 问题的提出问题的提出(Introduction)哀谋律赴防竿哥授缠趁宁迪潭甫梁莱枷椰鲁状病株影淑汛遮考拢闸炼赴枉第二节数列极限第二节数列极限7/20/20243正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率边形得到圆周率 的近似值为的近似值为3.1416铡躲右厄镇夹奥日仆苟诫小憋肥丸磅亥殷柞医宝视做爸吏舒障骗赴衰戒当第二节数列极限第二节数列极限7/20/20244二 数列的极限1 1
4、 数列数列LL,21nxxx数列的通项数列的通项nx例如例如xyO.(Limits of Sequences)哑裹腻期萨坊春哀眼瘪椿珠勉祟喉掷障素蹋册讥础蓟谤囤稿嘶持撂渺茬届第二节数列极限第二节数列极限7/20/20245注：注： 1）数列对应着数轴上一个点列，可看作）数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取一动点在数轴上依次取2）数列是以自然数为定义域）数列是以自然数为定义域的函数的函数逐聚侨卷评纽尔虏随兽欠赊阔豆殴芍炭碧掌惧呵读停劳敖淳斥告搞柑憨患第二节数列极限第二节数列极限7/20/202462 数列极限的定义数列极限的定义从前面的实例可以看出，他们具有一个共同的从前面的实例
5、可以看出，他们具有一个共同的属性属性-收敛性收敛性。正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积抛开具体含义，抽象得到数学模型抛开具体含义，抽象得到数学模型-数列极限数列极限。疚误庞衬薯钢叔菏咆际脱修呵坐自离泪拥也帜翱蛋廓羔双粕班今湿痊篇咖第二节数列极限第二节数列极限7/20/20247播放播放图形演示图形演示帖撅轧杭岿砍布云锑憾犊谩唇旱肤卤刁砷首脾表债饥述许呜薛的昧疼庭聪第二节数列极限第二节数列极限7/20/20248通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:极限的粗略定义极限的粗略定义).( n1xn玫膊森汰捶妨苛酞闪滥凋涧秃豢银箕躺施瘴亨耻仑谊篆
6、哨酌慑聚誉撩哑翰第二节数列极限第二节数列极限7/20/20249一般地，).( naxn殖甥粟动虫幌挎符化朔挣军菠跟滨砚净舌耽拢嘛减硫巩衔翅蹋恭燕暂来幢第二节数列极限第二节数列极限7/20/202410极限的精确定义极限的精确定义如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数e e( (不论它多么不论它多么小小),),总存在正数总存在正数N, ,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx, ,不等式不等式e e - - axn都成立都成立, ,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限, ,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a, ,记为记为 ,limaxnn= = 或或).( na
7、xn如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注注但但N不是不是的函数的函数如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数e e载氮囱谢诉汐翘某效对挟捉闭烟搭雀汰醉铜被孰抓宫媚躲牙仓捐阮舱嗣厄第二节数列极限第二节数列极限7/20/202411具有任意性，确定性具有任意性，确定性N具有存在性，相应性具有存在性，相应性4）数列的极限与前面的有限项无关）数列的极限与前面的有限项无关。3）极限的精确定义极限的精确定义任意任意存在存在廊尔靴抢腮榔哭寒讣惑包五茎喷起痒榨锡辗臆哦楔葫垄彝愿行踩缮汝娘伍第二节数列极限第二节数列极限7/20/2024123 几何解释几何解释,limaxn
8、n= = 痹捞逻锣斌樱而厨蔡记坠樊味滚餐羌涩扳蹋韵汞徊死柔同玫茶娱靖烁琳戎第二节数列极限第二节数列极限7/20/2024134 用数列极限的定义证明极限用数列极限的定义证明极限.例例1证证所以所以,毁浚耘弗祈讹住率仍耳茁贵狗教睫侧佩渊兆瘟陨矢扦狭细审哭泅狙相辩条第二节数列极限第二节数列极限7/20/202414例例2证明证明所以所以,说明说明常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.拖桓磁盲享闭厅淮漫拴安霍二倘烯及涕莫陀古钨匙娶菲棺功槽诱钙倡栓光第二节数列极限第二节数列极限7/20/202415例例3证证捏样虏脉图饺斥画暇返腋穿愈勇镰锑酒叉豆咋淳艰凰卵贷济英压舞毖华纶第二节数列极限第二
9、节数列极限7/20/2024161 唯一性唯一性定理定理1 1 收敛的数列只有一个极限收敛的数列只有一个极限. .证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.三三 数列极限的性质数列极限的性质师抢秦似恨铂盔堪榜界帖借馏雨汀警丁迫吨煎幅问墒怠腊怪裁题田愉缩使第二节数列极限第二节数列极限7/20/202417例例4 证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.祸帜魁八袍畦孵础汪局戊搓获丝素被谎跺瞄墒峨吧宣念挑阻浓梦斜逞烩嘻第二节数列极限第二节数列极限7/20/2024182 有界性有界性例如例如,limaxnn= = 沁层捎钟楷
10、丛绽鲜妹刮欣卫旗智溉微意盾跨幼祖祖约忌仲傍尹瞎渝殿普见第二节数列极限第二节数列极限7/20/202419定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证注注1 有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.注注2 2 无界数列必定发散无界数列必定发散. .注注3 3 有界数列不一定收敛有界数列不一定收敛. .鲸朔栋叉棉氓峻篮糜纶里刁增娃圈笆垄里迁弘苹链面贼简饯炽朴枕礁榔瓷第二节数列极限第二节数列极限7/20/202420定理定理3 3 收敛的数列的保号性收敛的数列的保号性. .证证妮浆外胀谰妖吸讳材攀野侮盖客握芍伤裳窄负哄期疡锨蛙谜扼昧釉岳惶恬第二节数列极限第二节数列极限
11、7/20/2024214 4 收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系. .撕窘介哮饭樊券至叁同波犁只膳阁诅般罩奈阐以旷寺弯侵探套县屹睛蹬探第二节数列极限第二节数列极限7/20/202422定理定理4 4 收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系. .由定义由定义,慌傣概循臻貉绦必坯陷多彩粤缩怠烟穴染癸拇椭窥脊勇畦牡千第歼最所镑第二节数列极限第二节数列极限7/20/202423四四 内容小结及数学思想方法内容小结及数学思想方法数列极限数列极限: :极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性，唯一性有界性，唯一性.思想方法思想方法 腔绵湍柠壶傈线捉掘入榷纬班战诗短唉蜒蔑忱荆刨恃谁烽肚除韭藕骚碌化第二节数列极限第二节数列极限7/20/202424五五 思考判断题思考判断题下列定义是否可作为数列极限的定义；下列定义是否可作为数列极限的定义；1、对任意的对任意的2、对任意的、对任意的聪铝雍耕赁诫垛氯且营罩词拙叫骚碘陇珠毛醋胡挟逗胡殖更者言竣菊这济第二节数列极限第二节数列极限7/20/202425
