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1、概率密度函数概率密度函数 定义定义 设设X为一随机变量，若存在非负实函数为一随机变量，若存在非负实函数 f (x) , 使对任意实数使对任意实数 a b ，有，有 则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量， f (x) 称为称为X 的的概概率密度函数率密度函数,简称简称概率密度或密度函数概率密度或密度函数.分布函数分布函数 定义定义 则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量， f (x) 称为称为X 的概的概率密度函数率密度函数,简称概率密度或密度函数简称概率密度或密度函数.1青苗辅导2青苗辅导概率密度函数的性质概率密度函数的性质(1)(1)非负性非负性(2)(2)规范性规范性3青苗辅
2、导密度函数和分布函数的关系密度函数和分布函数的关系积分关系积分关系导数关系导数关系4青苗辅导连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续P(X=a)=0P(a X b)= P(aX b)=P(a X b)=P(aXb) X X取值在某区间的概率等于密度函数在此区间取值在某区间的概率等于密度函数在此区间上的定积分上的定积分 连续型随机变量的分布函数的性质连续型随机变量的分布函数的性质因此，连续型随机变量取任意指定实数值因此，连续型随机变量取任意指定实数值a的概率为的概率为05青苗辅导解解 利用密度函数的性质求出利用密度函数的性质求出 a已知密度函数求概率已
3、知密度函数求概率例例6青苗辅导求：（求：（1）常数）常数a；（；（2） （3）X的分布函数的分布函数（1）由概率密度的性质可知）由概率密度的性质可知所以所以 a1/2 例例 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度 解解7青苗辅导8青苗辅导已知分布函数求密度函数已知分布函数求密度函数（2)X2)X 的密度函数的密度函数（2 2）密度函数为）密度函数为解解 例例9青苗辅导Ex:Ex:已已知连续型随机变量知连续型随机变量X X的概率密度为的概率密度为（2 2） 求求 X X 的分布函数的分布函数10青苗辅导 均匀分布均匀分布若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为则称则称X
4、在区间在区间 （a，b）上服从均匀分布记为）上服从均匀分布记为 X U (a, b)定义定义分布函数分布函数11青苗辅导 0 a bx X“等可能等可能”地取区间（地取区间（a,b）中的值，这里的）中的值，这里的“等可等可能能”理解为：理解为：X落在区间（落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内的中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖于它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。子区间的长度而与子区间的位置无关。 0 a bx（） c d 意义意义12青苗辅导例例 设设在在-1-1，55上服从均匀分布，求方程上服从均匀分
5、布，求方程有实根的概率。有实根的概率。解解 方程有实数根方程有实数根 即即 而而 的密度函数为的密度函数为 所求概率为所求概率为 13青苗辅导 指数分布指数分布若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为定义定义分布函数分布函数则称则称X X服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布. .定义定义分布函数分布函数14青苗辅导f(x)和和F(x)可用图形表示可用图形表示15青苗辅导正态分布正态分布 则称则称X X服从参数为服从参数为若连续型随机变量若连续型随机变量X X的概率密度为的概率密度为16青苗辅导 正态分布的密度函数的性质与图形正态分布的密度函数的性质与图形关于关于 x =
6、 x = 对称对称（- - ， ）升，（）升，（ ，+ + ）降）降单调性单调性对称性对称性拐点拐点中间高中间高两边低两边低y-+x17青苗辅导2，对密度曲线的影响对密度曲线的影响 18青苗辅导正态分布的分布函数正态分布的分布函数F(x)1 x19青苗辅导 标准正态分布标准正态分布定义定义X N（0，1）分布称为标准正态分布）分布称为标准正态分布 密度函数密度函数分布函数分布函数偶函数偶函数 20青苗辅导标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算分布函数分布函数X -x 21青苗辅导标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式公式查表查表例例X N（0，1）22青苗辅导一般正态分布的标准
7、化一般正态分布的标准化定理定理查标准正态分布表概率计算概率计算23青苗辅导一般正态分布的区间概率一般正态分布的区间概率。24青苗辅导设设XN（1，4），求），求 P(0X1.6)解解例例25青苗辅导正态分正态分布的实际应用布的实际应用 已知已知90分以上的分以上的12人，人，60分以下的分以下的83人，若从高分人，若从高分到低分依次到低分依次录取，某人成取，某人成绩为78分，分，问此人能否被此人能否被录取？取？ 某单位招聘某单位招聘155155人，按考试成绩录用，共有人，按考试成绩录用，共有526526人报名，假设报名者的考试成绩人报名，假设报名者的考试成绩分析分析 首先求出首先求出和和然后根
8、据录取率或者分数线确定能否录取然后根据录取率或者分数线确定能否录取26青苗辅导解解 成绩成绩X服从服从 录取率为录取率为 可得可得 得得 查表得查表得 27青苗辅导查表得查表得 . 解得解得 故故 设录取的最低分为设录取的最低分为 则应有则应有 某人某人78分，可分，可被录取。被录取。28青苗辅导 X X的取值几乎都落入以的取值几乎都落入以 为中心，以为中心，以3 3 为半径的为半径的区间内。这是因为：区间内。这是因为：0.9974F(x)3 3 准则准则是小概率事件是小概率事件 29青苗辅导例例设设X X服从参数为服从参数为3 3的指数分布，求它的密度函数的指数分布，求它的密度函数 及及和和解解X X的概率密度的概率密度30青苗辅导
