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1、2.1.1.22.1.1.2类比推理类比推理一一.复习复习: 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理思维过程称为推理;从结构上说从结构上说,推理一般由前提推理一般由前提和结论两个部分组成和结论两个部分组成; 前提是推理所依据的命题前提是推理所依据的命题,是已知的事实是已知的事实(或假设或假设),结论是根据前提推得的结论是根据前提推得的命题命题(即由已知推出的判断即由已知推出的判断).1.什么叫推理什么叫推理?推理由哪几部分组成推理由哪几部分组成?2.合情推理的主要形式有合情推理的主要形式有 和和 .3.归纳推理是从归纳推理是从 事实中概括出
2、事实中概括出 结论结论的一种推理模式的一种推理模式.归纳推理的思维过程大致是归纳推理的思维过程大致是:猜测一般性结论猜测一般性结论实验、观察实验、观察概括、推广概括、推广4.归纳推理包括归纳推理包括 和和 。归纳归纳类比类比个别个别一般一般不完全归纳法不完全归纳法完全归纳法完全归纳法5.归纳推理的特点归纳推理的特点:(1). 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论该结论超越了前提所包容的范围。超越了前提所包容的范围。(3). 归纳推理是一种具有创造性的推理归纳推理是一种具有创造性的推理.
3、通过通过归纳推理得到的猜想归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起可以作为进一步研究的起点点,帮助人们发现问题和提出问题。帮助人们发现问题和提出问题。(2). 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验还需经过逻辑证明和实践检验.因此因此,它不能作为数学证明的工具。它不能作为数学证明的工具。例例1、由下图可以发现什么结论？、由下图可以发现什么结论？1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，例例2、已知数列、已知数列an中，中，a1=1，且，且 an+1= (n=1,2,)试归纳出这个数列
4、的通项公式。试归纳出这个数列的通项公式。 纠正典型错误纠正典型错误 归纳推理的结论不一定正确归纳推理的结论不一定正确费马猜想：费马猜想：任何形如任何形如 +1 +1（nNN* *）的数都是质数）的数都是质数反例：反例： 从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：他的思路是这样的：茅草是齿形的茅草是齿形的；茅草能割破手茅草能割破手.我需要一种
5、能割断木头的工具；我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？这个推理过程是归纳推理吗？例例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：等式的性质：(1) a=ba+c=b+c;(2) a=b ac=bc;(3) a=ba2=b2;等等。等等。猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：(1) aba+cb+c;(2) ab acbc;(3) aba2b2;等等。等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？问：这样猜想出的结论是否一定正确？ 类比推理的定义类比推理的定义可能存在生命可能存在生命 这种由两类对象具有某些类似
6、特这种由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推推出另一类对象也具有这些特征的推理称为理称为类比推理类比推理（简称（简称类比类比）简言）简言之，之，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的一般步骤：类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。即检验猜想。即 观察、比较观察、比较联想、类推联想、类
7、推猜想新结论猜想新结论例例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合的集合.圆圆弦弦直径直径周长周长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积圆的性质圆的性质球的性质球的性质圆心与弦圆心与弦(不是直径不是直径)的中点的中点的连线垂直于弦的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长距圆
8、心较近的弦较长圆的切线垂直于过切点的半圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心线必经过圆心球心与截面圆球心与截面圆(不是大圆不是大圆)的的圆点的连线垂直于截面圆圆点的连线垂直于截面圆与球心距离相等的两截面圆与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆不等，距球心较近的截面圆较大截面圆较大球的切面垂直于过切点的半球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点的直线必经过切点经
9、过切点且垂直于切面的直经过切点且垂直于切面的直线必经过球心线必经过球心 类比推理举例类比推理举例可以从不同角度确定类比对象：可以从不同角度确定类比对象：构成几何体的元素数目：四面体构成几何体的元素数目：四面体 三角形三角形 直角三角形直角三角形C903个边的长度个边的长度a，b，c 2条直角边条直角边a，b和和1条斜边条斜边c类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理,试试给出空间中四面体性质的猜想给出空间中四面体性质的猜想3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体PDFPDEEDF90 4个面的面积个面的面积S1，S2，S3和和S 3个个“直角面直角面” S1，S2，S3和和1个个“斜面斜面” S例例4.在平面上在平面上,设设ha,hb,hc是三角形是三角形ABC三条边三条边上的高上的高.P为三角形内任一点为三角形内任一点,P到相应三边的距到相应三边的距离分别为离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论我们可以得到结论:试通过类比试通过类比,写出在空间中的类似结论写出在空间中的类似结论. 平面上平面上 空间中空间中图图形形结结论论证证法法ABCPpapbpcABCDP证证法法
