排列组合经典课件

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1、1a从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.2.组合的定合的定义: :从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.3.3.排列数公式排列数公式: :4.4.组合数公式合数公式: :1.1.排列的定排列的定义: :排列与排列与组合的区合的区别与与联系系: :与与顺序有关的序有关的为排列排列问题, ,与与顺序无关的序无关的为组合合问题. .2a一一. .特殊元素和特殊位置特殊元素和特殊位置优先策略先策略例例1.由由0,1,2,3,4,5可以可以组成多少个没有重复数字成多少个没有重复数字 五位奇

2、数五位奇数. 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安先安 排排,以免不合要求的元素占了以免不合要求的元素占了这两个位置两个位置先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_由分步由分步计数原理得数原理得=288位置分析法和元素分析法是解决排列位置分析法和元素分析法是解决排列组合合问题最常用也是最基本的方法。最常用也是最基本的方法。3a 7 7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里, ,若两若两种葵花不种在中种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆，也不种在两端的花盆里里，问有多少不同的种法？有多少不

3、同的种法？练习题4a二.相邻元素捆绑策略例例2. 72. 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相其中甲乙相邻且丙丁相且丙丁相 邻, , 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法. .甲甲乙乙丙丙丁丁由分步由分步计数原理可得共有数原理可得共有种不同的排法种不同的排法=480解：解：要求某几个元素必要求某几个元素必须排在一起的排在一起的问题, ,可以用可以用捆捆绑法来解决法来解决问题. .5a练习题5个男生个男生3个女生排成一排个女生排成一排,3个女生个女生要排在一起要排在一起,有多少种不同的排法有多少种不同的排法? 共有 =4320种不同的排法.6a三三. .不相不相邻问题插空策略插空策略例例

4、3 3. .解解: :分两步分两步进行第一步排行第一步排2 2个相声和个相声和3 3个独唱共个独唱共 有有 种，种， 第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6个元素中个元素中间包含首尾两个空位共有包含首尾两个空位共有种种 不同的方不同的方法法 由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种相相相相独独独独独独元素不相元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素可先把没有位置要求的元素进行排行排队再把不相再把不相邻元素插入中元素插入中间和两端和两端7a某班新年某班新年联欢会原定的会原定的5 5个个节目已排成目已排成节目目单，开演前又增加了两个新开演前又增加了两个新节目目. .如果将

5、如果将这两个新两个新节目插入原目插入原节目目单中，且两个新中，且两个新节目不相目不相邻，那么，那么不同插法的种数不同插法的种数为（ ）30练习题8a四四. .定序定序问题倍倍缩空位插入策略空位插入策略例例4.74.7人排人排队, ,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人人顺序一定共有多序一定共有多 少种不同的排法少种不同的排法解:（空位法空位法）设想有想有7 7把椅子把椅子让除甲乙丙以外除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其余的三个种方法，其余的三个位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法，种坐法，则共有共有 种种 方法方法 1思考思考: :可以先可以先让甲乙丙就坐甲乙丙就坐吗? ?（插入法插

6、入法) )先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人, ,共有共有1 1种排法种排法, ,再再 把其余把其余4 4四人四人依次依次插入共有插入共有 方法方法4*5*6*74*5*6*79a练习题期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序? ( (倍倍缩法法) )对于某几个元素于某几个元素顺序一定的排列序一定的排列问题, ,可先把可先把这几个元素与其他元素一起几个元素与其他元素一起进行排列行排列, ,然后用然后用总排列数除以排列数除以这几个元几个元素之素之间的全排列数的全排列数, ,则共有不同排法种数共有不同排法种数是：是： 定序定序问题可以用倍可以用倍缩法，法，还可可转化化为占位插

7、占位插入模型入模型处理理10a五五. .重排重排问题求求幂策略策略例例5.5.把把6 6名名实习生分配到生分配到7 7个个车间实习, ,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法解解: :完成此事共分六步完成此事共分六步: :把第一名把第一名实习生分配生分配 到到车间有有 种分法种分法. .7 7把第二名把第二名实习生分配生分配 到到车间也有也有7 7种分法，种分法， 依此依此类推推, ,由分步由分步计数原理共有数原理共有 种不同的排法种不同的排法 一般地一般地n不同的元素没有限制地安排在不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数个位置上的排列数为 种种 n nm m11a 某某8 8层大楼

8、一楼大楼一楼电梯上来梯上来8 8名乘客人名乘客人, ,他他们 到各自的一到各自的一层下下电梯梯, ,下下电梯的方法梯的方法（ ）练习题12a六六. .排列排列组合混合合混合问题先先选后排策略后排策略例例6.6.有有5 5个不同的小球个不同的小球, ,装入装入4 4个不同的盒内个不同的盒内, , 每盒至少装一个球每盒至少装一个球, ,共有多少不同的装共有多少不同的装 法法. .解解: :第一步从第一步从5 5个球中个球中选出出2 2个个组成复合元共成复合元共 有有_种方法种方法. .再把再把5 5个元素个元素( (包含一个复合包含一个复合 元素元素) )装入装入4 4个不同的盒内有个不同的盒内有

9、_种方法种方法. .根据分步根据分步计数原理装球的方法共有数原理装球的方法共有_解决排列解决排列组合混合合混合问题,先先选后排是最基本后排是最基本的指的指导思想思想.13a练习题一个班有一个班有6 6名名战士士, ,其中正副班其中正副班长各各1 1人人现从中从中选4 4人完成四种不同的任人完成四种不同的任务, ,每人每人完成一种任完成一种任务, ,且正副班且正副班长有且只有有且只有1 1人人参加参加, ,则不同的不同的选法有法有_ _ 种种19219214a七.元素相同问题隔板策略例例7.有有1010个运个运动员名名额，在分，在分给7 7个班，每个班，每班至少一个班至少一个, ,有多少种分配方

10、案？有多少种分配方案？ 解：因解：因为10个名个名额没有差没有差别，把它，把它们排成排成一排。相一排。相邻名名额之之间形成个空隙。形成个空隙。在个空档中在个空档中选个位置插个隔板，个位置插个隔板，可把名可把名额分成份，分成份，对应地分地分给个个班班级，每一种插板方法，每一种插板方法对应一种分法一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班将将n n个相同的元素分成个相同的元素分成m m份（份（n n，m m为正整数）正整数）, ,每份至少一个元素每份至少一个元素, ,可以用可以用 块隔板，插入隔板，插入n n个元素排成一排的个元素排成一排的 个空隙中，所有分法数个空隙中，所有分

11、法数为m-1n-115a练习题 10 10个相同的球装个相同的球装5 5个盒中个盒中, ,每盒至少一每盒至少一个，有多少装法？个，有多少装法？16a八八. .平均分平均分组问题除法策略除法策略例8. 6本不同的本不同的书平均分成平均分成3堆堆,每堆每堆2本共有本共有 多少分法？多少分法？解解: 分三步取分三步取书得得 种方法种方法,但但这里出里出现 重复重复计数的数的现象象,不妨不妨记6本本书为ABCDEF 若第一步取若第一步取AB,第二步取第二步取CD,第三步取第三步取EF 该分法分法记为(AB,CD,EF),则 中中还有有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)

12、(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有共有 种取法种取法 ,而而 这些分法些分法仅是是(AB,CD,EF)一种分法一种分法,故共故共 有有 种分法。种分法。平均分成的平均分成的组,不管它不管它们的的顺序如何序如何,都是一都是一种情况种情况,所以分所以分组后要一定要除以后要一定要除以 (n为均分的均分的组数数)避免重复避免重复计数。数。17a1. 将将13个球个球队分成分成3组,一一组5个个队,其它两其它两组4 个个队, 有多少分法？有多少分法？2.2.某校高二年某校高二年级共有六个班共有六个班级，现从外地从外地转 入入4 4名学生，要安排到名学生，要安排到该年年级的两个班的两个班级且每

13、且每班安排班安排2 2名，名，则不同的安排方案种数不同的安排方案种数为_ 练习题18a九. 合理分类与分步策略例例9.9.在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演名演员, ,其中其中8 8人能人能 够唱歌唱歌,5,5人会跳舞人会跳舞, ,现要演出一个要演出一个2 2人唱人唱 歌歌2 2人伴舞的人伴舞的节目目, ,有多少有多少选派方法派方法? ?解：10演演员中有中有5人只会唱歌，人只会唱歌，2人只会跳舞人只会跳舞 3人人为全能演全能演员。以只会唱歌的以只会唱歌的5 5人是否人是否选上唱歌人上唱歌人员为标准准进行研究行研究 只会唱只会唱的的5 5人中没有人人中没有人选上唱歌人上唱歌人员共有共

14、有_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有1 1人人选上唱歌人上唱歌人员_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有2 2人人选上唱歌人上唱歌人员有有_ _ 种，由分种，由分类计数数原理共有原理共有_种。种。+ + +19a本本题还有如下分有如下分类标准：准：* *以以3 3个全能演个全能演员是否是否选上唱歌人上唱歌人员为标准准* *以以3 3个全能演个全能演员是否是否选上跳舞人上跳舞人员为标准准* *以只会跳舞的以只会跳舞的2 2人是否人是否选上跳舞人上跳舞人员为标准准都可都可经得到正确得到正确结果果解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分

15、步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。20a 从从4 4名男生和名男生和3 3名女生中名女生中选出出4 4人参加某个座人参加某个座 谈会，若会，若这4 4人中必人中必须既有男生又有女生，既有男生又有女生，则不同的不同的选法共有法共有_ _ 3434 练习题21a十十. .构造模型策略构造模型策略 例例1 10.0.马路上有路上有编号号为1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的的 九只路灯九只路灯, ,现要关掉其中的要关掉其中的3 3盏, ,但不能关但不能关 掉相掉相邻的的2 2盏或或3 3盏, ,也不能关掉两端的也不能关

16、掉两端的2 2 盏, ,求求满足条件的关灯方法有多少种？足条件的关灯方法有多少种？解：把此解：把此问题当作一个排当作一个排队模型在模型在6 6盏 亮灯的亮灯的5 5个空隙中插入个空隙中插入3 3个不亮的灯个不亮的灯 有有_ _ 种种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决22a练习题某排共有某排共有1010个座位，若个座位，若4 4人就坐，每人左右人就坐，每人左右两两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？都有空位，那么不同的坐法有多少种？12023a小小结：解排列解排列组合的常用策略合的常用策略作作业：课时作作业24a小结 本本节

17、课，我，我们对有关排列有关排列组合的几种常合的几种常见的的解解题策略加以复策略加以复习巩固。排列巩固。排列组合合历来是学来是学习中的中的难点，通点，通过我我们平平时做的做的练习题，不，不难发现排列排列组合合题的特点是条件的特点是条件隐晦晦，不易不易挖掘，挖掘，题目多目多变，解法独特，数字，解法独特，数字庞大，大，难以以验证。同学。同学们只有只有对基本的解基本的解题策略熟策略熟练掌握。根据它掌握。根据它们的条件的条件, ,我我们就可以就可以选取不同取不同的技巧来解决的技巧来解决问题. .对于一些比于一些比较复复杂的的问题, ,我我们可以将几种策略可以将几种策略结合起来合起来应用把复用把复杂的的问

18、题简单化，化，举一反三，触一反三，触类旁通，旁通，进而而为后后续学学习打下打下坚实的基的基础。25a十一十一. .实际操作操作穷举策略策略例例15.15.设有有编号号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和的五个球和编号号1,21,2 3,4,53,4,5的五个盒子的五个盒子, ,现将将5 5个球投入个球投入这五五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的恰好有两个球的编号与盒子的号与盒子的编号相同号相同,.,. 有多少投法有多少投法 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子个与盒子对号有号有_种种 还剩下剩下3球球3盒序号不能盒序号不能

19、对应， 利用实际操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球, 3,4,5号盒号盒3号球装号球装4号盒号盒时，则4,5号球有只有号球有只有1种种装法装法3 3号盒号盒4 4号盒号盒5 5号盒号盒34526a十一十一. .实际操作操作穷举策略策略例例15.15.设有有编号号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和的五个球和编号号1,21,2 3,4,53,4,5的五个盒子的五个盒子, ,现将将5 5个球投入个球投入这五五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的恰好有两个球的编号与盒子的号与盒子的编号相同号相同,.,. 有多少投法有多

20、少投法 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子个与盒子对号有号有_种种 还剩下剩下3球球3盒序号不能盒序号不能对应， 利用实际操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球, 3,4,5号盒号盒3号球装号球装4号盒号盒时，则4,5号球有只有号球有只有1种种装法装法, 同理同理3号球装号球装5号盒号盒时,4,5号球有号球有也也只有只有1种装法种装法,由分步由分步计数原理有数原理有2 种种 27a对于条件比于条件比较复复杂的排列的排列组合合问题，不易用，不易用公式公式进行运算，往往利用行运算，往往利用穷举法或画出法或画出树状状图会收到意想不到的会收到意想不到的结果果练习题1.1. 同一寝室同

21、一寝室4 4人人, ,每人写一每人写一张贺年卡集中起来年卡集中起来, ,2.2. 然后每人各拿一然后每人各拿一张别人的人的贺年卡，年卡，则四四张3.3. 贺年卡不同的分配方式有多少种？年卡不同的分配方式有多少种？ (9)2.2.给图中区域涂色中区域涂色, ,要求相要求相邻区区 域不同色域不同色, ,现有有4 4种可种可选颜色色, ,则 不同的着色方法有不同的着色方法有_种种21345727228a我我们班里有班里有4343位同学位同学, ,从中任抽从中任抽5 5人人, ,正、正、副班副班长、团支部支部书记至少有一人在内的至少有一人在内的抽法有多少种抽法有多少种? ?练习题29a1.1.从从4 4名男生和名男生和3 3名女生中名女生中选出出4 4人参加某个座人参加某个座 谈会，若会，若这4 4人中必人中必须既有男生又有女生，既有男生又有女生，则不同的不同的选法共有法共有_ _ 3434 练习题2. 3 3成人成人2 2小孩乘船游玩小孩乘船游玩,1,1号船最多乘号船最多乘3 3人人, 2, 2 号船最多乘号船最多乘2 2人人,3,3号船只能乘号船只能乘1 1人人, ,他他们任任选 2 2只船或只船或3 3只船只船, ,但小孩不能但小孩不能单独乘一只船独乘一只船, , 这3 3人共有多少乘船方法人共有多少乘船方法. .272730a