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1、第十章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 7/20/2024高等数学D101二重积分概念1三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的定义与性质 第十章 7/20/2024高等数学D101二重积分概念1解法解法: 类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底：底： xoy 面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面侧面：
2、侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念11)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念14)“取极限”令机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面继续物理的引例7/20/2024高等数学D101二重积分概念12. 平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上
3、占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .度为设D 的面积为 ,则若非常数 , 仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小区域 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念12)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念1两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“大化小, 常代变, 近似和,取极限”曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机
4、动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念1二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I , 使可积可积 , 在D上的二重积分二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念1引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20
5、/2024高等数学D101二重积分概念1二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续, 则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如, 在D :上二重积分存在 ;在D 上 二重积分不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念1三、二重积分的性质三、二重积分的性质( k 为常数) 为D 的面积, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念1特别, 由于则5. 若在D上6. 设D 的面积为 ,则有机动 目
6、录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念17.(二重积分的中值定理)证证: 由性质6 可知,由连续函数介值定理, 至少有一点在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念1例例1. 比较下列积分的大小:其中解解: 积分域 D 的边界为圆周它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位从而于直线的上方, 故在 D 上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念1例例2. 判断积分的正负号.解解: 分积分域为则原式 =猜想结果为负
7、但不好估计 .舍去此项机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念1例例3. 估计下列积分之值解解: D 的面积为由于积分性质5即: 1.96 I 2D机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念1四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念1同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念1内容小结内容
8、小结1. 二重积分的定义2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念1被积函数相同, 且非负, 思考与练习思考与练习解解: 由它们的积分域范围可知1. 比较下列积分值的大小关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念12. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则的大小顺序为 ( )提示: 因 0 y 1, 故故在D上有机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念13. 计算解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念14. 证明:其中D 为解解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念1参考题参考题1. 估计 的值, 其中 D 为解解: 被积函数D 的面积的最大值的最小值机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念12. 判断的正负.解：解：当时，故又当时，于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/20/2024高等数学D101二重积分概念1
