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1、1第一节最小二乘原理最小二乘原理等精度测量线性参数的最小二乘原理不等精度测量线性参数的最小二乘原理第二节正规方程线性参数的最小二乘处理的正规方程非线性参数的最小二乘处理的正规方程最小二乘原理和算术平均值原理的关系第三节精度估计测量数据的精度估计最小二乘估计量的精度估计第四节组合测量的最小二乘法处理第5章 线性参数的最小二乘处理参数的最可信赖估计、组合测量的数据处理、用实验方法来拟定经验公式以及回归分析裙仁犬玫倘旧之胖销旗樊伤坏咆弛钥衬月畸皿审跃洱飞竖宇节瓮券镀囚穿第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘2 最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用最小二乘法原理是一种在多学科领域中
2、获得广泛应用的数据处理方法。这种方法可以妥善解决的数据处理方法。这种方法可以妥善解决参数的最可信赖参数的最可信赖估计估计、组合测量的数据处理、用实验方法来拟定经验公式组合测量的数据处理、用实验方法来拟定经验公式以及回归分析以及回归分析等一系列数据处理问题。等一系列数据处理问题。 在物理实验中，经常遇到已知变量间有密切的关系，但在物理实验中，经常遇到已知变量间有密切的关系，但其其 具体的函数形式及公式中所用参数的具体数值，则要通过具体的函数形式及公式中所用参数的具体数值，则要通过实际测量来确定的情况。实际测量来确定的情况。如如已知某种电阻其阻值与温度有关已知某种电阻其阻值与温度有关，则需要测出一
3、系列不同温，则需要测出一系列不同温度下的阻值，然后对这一组数据用最小二乘法进行相应的处理，度下的阻值，然后对这一组数据用最小二乘法进行相应的处理，得出函数关系中参数的最佳估计值得出函数关系中参数的最佳估计值。膜举贡豁锣毒箍唤矮窄泰资壬铜些荤雾协韶肺狮巨率辜荫课筑救斌组涟澳第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘3第一节最小二乘原理 一、引入一、引入待测量（难以直接测量）：直接测量量：问题：问题：如何根据和测量方程解得待测 量X的估计值？壳粕寞巳运螺汤氨甘胡屉虚聊崇饶残除亥屿香符葡腻蹄翼三鹰寿入篆缠杏第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘4直接求得。有利于减小随机误差，方程组有
4、冗余，采用最小二乘原理求 。讨论：讨论：最小二乘原理：最小二乘原理：最可信赖值应使残余误差平方和最小。利奇滁黄收乡附逛四屿围龋嫁俩熊煞担痴尔婶牡剂瑚拷殴骡雹卫居廊糯疲第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘5二、最小二乘原理二、最小二乘原理 设直接测量量 的估计值为 ，则有由此得测量数据 的残余误差残差方程式杂瘸羔其威徽凸纹涵耪幅番鸿粉糯骄杉梨疾绸嚏咋偷仟希镀盛引酵帐鸣酚第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘6 若 不存在系统误差，相互独立并服从正态分布，标准差分别为 ，则 分别出现在相应真值附近 区域内的概率为由由概率乘法定理概率乘法定理可知，各测量数据可知，各测量数据同时
5、出现同时出现在相应在相应区域的概率为区域的概率为牲蕴癣畅贬疑篆骏藩蜒铲受潦匡狠鹃魄黎棘宏乍军度撞丑浩崔免蓟捌确哑第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘7测量值 已经出现，有理由认为这n个测量值出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有最小由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应表示为最小建邑蛙挺靴掐青垄鲁蚊葵述浙粒绸躲果扫破滤荡纽诚摧小涨锰奥龙剩蜂筑第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘8等精度测量的最小二乘原理：最小 不等精度测量的最小二乘原理：最小最小二乘原理最小二乘原理（其他分布也适用）（其他分布也适用）： 测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和测量结果的最可
6、信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。（或加权残余误差平方和）最小。最小域诬迸娄徒贡蕾猩庆俯早搁占寿褪喝乖兜臀热鹏瞬癸疹刀聊尿抄数随婉技第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘9三、等精度测量的线性参数最小二乘原理三、等精度测量的线性参数最小二乘原理线性参数的测量方程和相应的估计量为：残差方程为表镇临双冯泞玻奴绢滦磅阅陇畦象酸婆肚缨酪啪枫姬曹林亏宽画哉琅冰冀第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘10令则残差方程的矩阵表达式为残差方程为瘩箩耶富历轴坛财著级描肩常睦省觅棒翘让渭姜蒙奄零芒阔权新陪秋婶惹第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘11令则残差方程
7、的矩阵表达式为等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：最小旅祟荣腺钉优后酉请艳敲昨卜怎哮侍猫治在初鬼兆啡尺歇桂丙歇块兔唆蟹第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘12不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：思路一：思路一：权矩阵四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：可圆郧渠所陵狼剔陡赤隧烙候串义噶走搁孽纹母氮扭庶暴干挟胖懊栅际蝶第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘13思路二：不等精度等精度思路二：不等精度等精度则有：思路一：思路一：台箱跟蹈绵端示暗翻抽碾硼盾委咒敞幢克胡惟蛀宅砖葬俱驯铰馒霹谱俘婚第五章线性参数的最
8、小二乘第五章线性参数的最小二乘14第二节正规方程 正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到的有确定解的代数方程组一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程迁轿照址尽性讶咬通虾喻丸褪越啦札吮捧稳挽唾欣契超澄勋发舆街蜗蛇巡第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘15搭疫欲季烬呕辞割娟各诫相惑撇矢定污瑰鄙宫队洗泌迄绝凋瘤丫背尽垃失第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘16用用高斯符号高斯符号表示有：表示有：则可得：则可得：同理有：同理有：兴南肺哮弄戊白丰价彦醇绅析孙卜胎鱼郡肠误荡搅顶妓搬岁圾忠朽秃消壹第五章线性参数的最小二乘第五章线性
9、参数的最小二乘17 上式中各二阶偏导数恒为正，即：上式中各二阶偏导数恒为正，即：所以，上式求得的极值是极小值，满足最小二乘条件。所以，上式求得的极值是极小值，满足最小二乘条件。等精度测量的线性参数最小二乘法处理的正规方程等精度测量的线性参数最小二乘法处理的正规方程 t 元线性方程组元线性方程组，当其系数行列式不为零时，有唯一确定的解当其系数行列式不为零时，有唯一确定的解，由此可解得待求的估计量。由此可解得待求的估计量。因而因而,估计量方程可最终写成估计量方程可最终写成裤约矾呛寅泅纸隋榷衙气矽务谷轿潮剑炙储吼城岳溅菩住手敌褪拯爬员漳第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘18 对于线性参
10、数的正规方程，利用矩阵处理比较方便。对于线性参数的正规方程，利用矩阵处理比较方便。 现将正规方程组中第现将正规方程组中第 r 个方程展开：个方程展开：尤迄椒茸铸寒吧肉煎量行鳖灰漠螟增略馒蜜剁卡钱关裂撅背挖颇炬身退搐第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘19正规方程组可写成：正规方程组可写成：写为矩阵形式为：写为矩阵形式为：即：即：这就是等精度测量情况下以矩阵形式表示的正规方程。这就是等精度测量情况下以矩阵形式表示的正规方程。猜侍纵羔漆真增倾除屋渝厄拽歧致谤滓丑喳赔闪搔祟绿爹替颂道讽悯刺坛第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘20将代入到中，得（待测量的无偏估计）漱温袖犀篓霸
11、唱钒醛牵苫貉犁霜幂钳墒酷搏缮蒂悔仑供染虎亦婆透炸扁身第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘21若若A的秩等于的秩等于 t，那么，那么 必定有唯一的解：必定有唯一的解：所解得所解得 的数学期望为：的数学期望为：由此可见，由此可见， 是是 的的无偏估计无偏估计。是变量是变量 的真值向量的真值向量是被估计参数的真值向量是被估计参数的真值向量其中假定：其中假定：无系统误差存在无系统误差存在逆矩阵存在逆矩阵存在民暂绦葱掳婴综差呢帽菊机印猪墩浪治促速楷搁沏涎括帆剖杆馒汽吴呕紧第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘22例5.1：已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系： ，为获得时铜棒的长度
12、和铜的线膨胀系数，现测得不同温度下铜棒的长度，如下表，求，的最可信赖值。1010202030304040505060602000.362000.362000.722000.722000.82000.82001.072001.07 2001.482001.48 2000.602000.60解：解： 1 1）列出误差方程）列出误差方程令令 为两个待估参量，则误差方程为为两个待估参量，则误差方程为紊承盘吊嘎肿柏睹润搔做剐安变厌区吝彰刘佩粥柜皿拯吓尺驶造分昧辽惭第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘23按照最小二乘的矩阵形式计算按照最小二乘的矩阵形式计算则有：则有：那么：那么：悉道呻浙锦尘膛
13、爱害蕴泅喊苇夫莱加蠕呈唾舰僚借坟踌爬趁呢镇吸蒲颧画第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘24二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规 方程方程由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程：侵恕甲肋亡俺茄装才姬带挨洗髓表滥吵囤莹名杖少奇桓酌碌偷边呸釜暂肾第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘25整理得：能衬久稽勇滇蝗楼匀屋静审缎卜遗布襄殆肾咱次寂沉粳钒肺引凭状葛激葱第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘26即不等精度的正规方程不等精度的正规方程将代入上式，得（待测量的无偏估计）火诱佳馈寞朋腋项爹扁缸漓逢秩胎绩卷扯领嗅
14、伪咒锣骆琅搪着笺哩坑讫继第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘27例 5.2 某测量过程有误差方程式及相应的标准差： 试求 的最可信赖值。解：首先确定各式的权咽磨吨坷德眨茹叫酱熬禁雏钠忻篮撮蚁英镀邱芭杠潞充腕仿座刁驹喷微择第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘28令贡冬牙进犬贱吞梅缉捎宠象尽售绎逮妹炕贷悠乒惋吮掉步吝棵衔亢晤算酬第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘29三、非线性参数最小二乘处理的正规方程三、非线性参数最小二乘处理的正规方程针对非线性函数其测量误差方程为 令 ，现将函数在 处展开，则有本妹炒绰范组苞赋议普可全酋羽抚甜符厦碎叙珐炉葵滤苍嘱笛口堂喜己淡
15、第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘30将上述展开式代入误差方程，令则误差方程转化为线性方程组于是可解得 ，进而可得 。近似值近似值漠丧讹末咒窘痔哇朗限挫踢潜士棕坯绽煞缴欢彬智定煞莎误梦般利曼繁纯第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘31为获得函数的展开式，必须首先确定 1）直接测量2）通过部分方程式进行计算：从误差方程中选取 最简单的t个方程式，如令 ，由此可解得 。肥拒邢箕翟雀呀男湃孙疫撂鉴忻志搀诬镐挞喇诣贴议耀满凌煤乱磅剪束憋第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘32按照最小二乘原理可求得结论：最小二乘原理与算术平均值原理是一致的，结论：最小二乘原理与算术平均值原理是一致的， 算术平均值原理是最小二乘原理的特例。算术平均值原理是最小二乘原理的特例。四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系为确定一个被测量X的估计值x，对它进行n次直接测量，得n个数据 ，相应的权分别为，则测量的误差方程为面玫畴涎籽知障怯层寓壹课垛填桃螟汪廉惠边恩矽悸切奸宣阿殖浸材雏刑第五章线性参数的最小二乘第五章线性参数的最小二乘
