变量之间的相关关系两个变量的线性相关实用教案

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1、问题问题(wnt)提提出出1.1.函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式(xngsh).(xngsh).对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系. .2.2.在中学校园里，有这样一种说法：在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”.”按照这种说法，似乎学生按照这种说法，似乎学生(xu sheng)(xu sheng)的物理成的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成

2、绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？间的关系是函数关系吗？第1页/共33页第一页，共34页。3.3.我们不能通过一个人的数学成绩是多少我们不能通过一个人的数学成绩是多少(dusho)(dusho)就准确地断定其物理成绩能达到多少就准确地断定其物理成绩能达到多少(dusho)(dusho)，学习兴趣、学习时间、教学水平等，学习兴趣、学习时间、教学水平等，也是影响物理成绩的一些因素，但这两个变量是也是影响物理成绩的一些因素，但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系.

3、.类似于这样的两个变量之间的关系，有必要从理类似于这样的两个变量之间的关系，有必要从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义进行合理估计，将有着非常重要的现实意义. .第2页/共33页第二页，共34页。知识知识(zh shi)探究（一）：变量之间的相关关探究（一）：变量之间的相关关系系思考思考1 1：考察下列问题中两个变量之间的关系：考察下列问题中两个变量之间的关系：（1 1）商品销售收入与广告支出经费；）商品销售收入与广告支出经费；（2 2）粮食产量与施肥量；）粮食产量与施肥量；（3 3）人体内的脂肪含量）人

4、体内的脂肪含量(hnling)(hnling)与年龄与年龄. . 这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？ 思考思考2 2：“名师出高徒名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系学水平之间的关系(gun x)(gun x)是函数关系是函数关系(gun x)(gun x)吗吗？你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关？你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系系(gun x)(gun x)的成语吗？的成语吗？第3页/

5、共33页第三页，共34页。思考思考3 3：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关称之为相关(xinggun)(xinggun)关系，那么相关关系，那么相关(xinggun)(xinggun)关关系的含义如何？系的含义如何？ 自变量自变量(binling)(binling)取值一定时，因变量取值一定时，因变量(binling)(binling)的取值带有一定随机性的两个变量的取值带有一定随机性的两个变量(binling)(binling)之间的关系，叫做相关关系之间的关系，叫做相关关系. .第4页/共33页第四页，共34页。思考思考5 5

6、：相关：相关(xinggun)(xinggun)关系与函数关系的异关系与函数关系的异同点？同点？不同点：不同点： 一、函数关系是一种确定的关系；而相关关一、函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系。函数关系是自变量与函数之间系是一种非确定关系。函数关系是自变量与函数之间的关系，这种关系是两个的关系，这种关系是两个(lin )(lin )非随机变量的关非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。二、函数关系是一种二、函数关系是一种(y zhn)(y zhn)因果关系，而因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关相关关

7、系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。系。相同点：相同点：均是指两个变量的关系均是指两个变量的关系第5页/共33页第五页，共34页。 在现实生活中存在着大量的相关关系在现实生活中存在着大量的相关关系(gun (gun x)x)，如何判断和描述相关关系，如何判断和描述相关关系(gun x)(gun x)，统计，统计学发挥着非常重要的作用，变量之间的相关关系学发挥着非常重要的作用，变量之间的相关关系(gun x)(gun x)带有不确定性，这需要通过大量的数带有不确定性，这需要通过大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断科学的判断. .

8、 对具有相关关系的两个变量进行统计对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析的方法叫回归(hugu)(hugu)分析分析. . 相关关系是进行相关关系是进行(jnxng)(jnxng)回归分析的基础，回归分析的基础，同时，也是散点图的基础同时，也是散点图的基础. .第6页/共33页第六页，共34页。知识知识(zh shi)(zh shi)探究（二）：散点图探究（二）：散点图 【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本中，研究人员获得了一组样本(yngbn)数据：数据： 其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂其中

9、各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量肪含量(hnling)(hnling)的样本平均数的样本平均数. .年龄年龄 2323272739394141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年龄年龄 5353545456565757585860606161脂肪脂肪 29.629.6 30.230.2 31.431.4 30.830.8 33.533.5 35.235.2 34.634.6第7页/共33页第七页，共34页。思考思考1 1：对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定：对某一

10、个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是随年龄增长而增加或减少，但是(dnsh)(dnsh)如果把很如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性. .观察观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？脂肪含量怎样变化？年龄年龄 2323272739394141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年龄年龄 5353545456565757585860606

11、161脂肪脂肪 29.629.6 30.230.2 31.431.4 30.830.8 33.533.5 35.235.2 34.634.6第8页/共33页第八页，共34页。思考思考2 2：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象变量之间的关系有一个直观的印象. .以以x x轴表示年龄，轴表示年龄，y y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本(yngbn)(yngbn)数据对应的图形

12、吗？数据对应的图形吗？ 年龄年龄 2323272739394141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年龄年龄 5353545456565757585860606161脂肪脂肪 29.629.6 30.230.2 31.431.4 30.830.8 33.533.5 35.235.2 34.634.6第9页/共33页第九页，共34页。思考思考(sko)3(sko)3：上图叫做散点图，你能描述一下：上图叫做散点图，你能描述一下散点图的含义吗？散点图的含义吗？ 在平面直角坐标在平面直

13、角坐标(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)系中，表系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图为散点图. . 第10页/共33页第十页，共34页。思考思考4 4：观察散点图的大致趋势，人的年龄：观察散点图的大致趋势，人的年龄(ninlng)(ninlng)的与人体脂肪含量具有什么相关关系？的与人体脂肪含量具有什么相关关系？ 第11页/共33页第十一页，共34页。思考思考5 5：在上面的散点图中，这些点散布在从左下：在上面的散点图中，这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于角到右上角的区域，对于(duy)(duy)两

14、个变量的这种两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关相关关系，我们将它称为正相关. .一般地，如果两一般地，如果两个变量成正相关，那么这两个变量的变化趋势如何个变量成正相关，那么这两个变量的变化趋势如何？ 第12页/共33页第十二页，共34页。思考思考6 6：如果两个：如果两个(lin )(lin )变量成负相关，从整体上变量成负相关，从整体上看这两个看这两个(lin )(lin )变量的变化趋势如何？其散点图变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？有什么特点？ 一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点散布散布(snb)(snb)在从左上角

15、到右下角的区域在从左上角到右下角的区域. .思考思考7 7：你能列举一些生活中的变量成正相关：你能列举一些生活中的变量成正相关(xinggun)(xinggun)或负相关或负相关(xinggun)(xinggun)的实例吗的实例吗? ? 第13页/共33页第十三页，共34页。理论理论(lln)迁迁移移例例1 1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？正方形边长与面积之间的关系；正方形边长与面积之间的关系；作文作文(zu wn)(zu wn)水平与课外阅读量之间的关系；水平与课外阅读量之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；降雪量

16、与交通事故的发生率之间的关系降雪量与交通事故的发生率之间的关系. .答案(d n)：, , 第14页/共33页第十四页，共34页。例例1：下表是某小卖部：下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与天卖出热茶的杯数与当天当天(dngtin)气温的对比表：气温的对比表： 气温气温/2618131041杯数杯数202434385064（1）将上表中的数据制成散点图）将上表中的数据制成散点图.（2）你能从散点图中发现温度与饮料杯数）你能从散点图中发现温度与饮料杯数近似成什么关系吗近似成什么关系吗?（3）如果）如果(rgu)近似成线性关系的话，近似成线性关系的话，请画出一条直线方程来近似地表示这种线请画出一条直

17、线方程来近似地表示这种线性关系性关系.第15页/共33页第十五页，共34页。（1）画出散点图：）画出散点图：温度温度杯杯数数第16页/共33页第十六页，共34页。（2）从图中可以看出温度与杯数具有相）从图中可以看出温度与杯数具有相关关系，当温度由小到大变化关关系，当温度由小到大变化(binhu)时，杯数的值由大到小时，杯数的值由大到小. 所以所以温度与杯数成负相关温度与杯数成负相关. 图中的数据大致分布在一条直线附近，图中的数据大致分布在一条直线附近，因此温度与杯数成线性相关关系。因此温度与杯数成线性相关关系。（3）根据不同的标准，可以画出不同的）根据不同的标准，可以画出不同的直线来近似地表示

18、这种线性关系。直线来近似地表示这种线性关系。 如可以连接最左侧和最右侧的点，或者如可以连接最左侧和最右侧的点，或者让画出的直线上方让画出的直线上方(shn fn)的点和下的点和下方的点的数目相同。方的点的数目相同。第17页/共33页第十七页，共34页。温度温度杯杯数数温度温度杯杯数数第18页/共33页第十八页，共34页。 由图可见，所有由图可见，所有(suyu)数据的点都分布数据的点都分布在一条直线附近，显然这样的直线还可以在一条直线附近，显然这样的直线还可以画出许多条，而我们希望找出其中的一条，画出许多条，而我们希望找出其中的一条，它能最好地反映它能最好地反映x与与Y之间的关系。之间的关系。

19、 换言之，我们要找出一条直线，使这条换言之，我们要找出一条直线，使这条直线直线“最贴近最贴近”已知的数据点。记此直线方已知的数据点。记此直线方程是程是第19页/共33页第十九页，共34页。 这里在这里在y的上方加记号的上方加记号“”，是为了，是为了区分区分Y的实际值的实际值y. 表示当表示当x取取xi (i=1，2，6)时，时，Y相应的观察值为相应的观察值为yi，而直线上，而直线上对应于对应于xi的纵坐标是的纵坐标是yi=bxi+a. 上式叫做上式叫做Y对于对于x的回归的回归(hugu)直线直线方程，方程， b叫做回归叫做回归(hugu)系数。系数。要确定回归直线要确定回归直线(zhxin)方

20、程，只要确方程，只要确定定a与与b.第20页/共33页第二十页，共34页。回归回归(hugu)直线的方程的求法：直线的方程的求法： 设设x，Y的一组观察值为的一组观察值为 (xi，yi) (i=1，2 ，n) 且回归直线的方程为且回归直线的方程为当变量当变量x取取xi (i=1，2，n)时，可以时，可以得到：得到： (i=1，2，n)， 它与实际收集到的它与实际收集到的yi之间的偏差是：之间的偏差是： (i=1，2，n)， 第21页/共33页第二十一页，共34页。 可见，偏差的符号有正有负，若将它们可见，偏差的符号有正有负，若将它们(t men)相加会造成相互抵消，所以它们相加会造成相互抵消，

21、所以它们(t men)的和不能代表的和不能代表n个点与相应直线在个点与相应直线在整体上的接近程度。故采用整体上的接近程度。故采用n个偏差的平个偏差的平方和方和 表示表示n个点与相应直线在整体个点与相应直线在整体(zhngt)上的上的接近程度接近程度.记记 (为连加符号为连加符号(fho)第22页/共33页第二十二页，共34页。 上式展开上式展开(zhn ki)后，是一个关于后，是一个关于a，b的二次多项式，应用配方法，可求使的二次多项式，应用配方法，可求使Q取得最小值时取得最小值时a、b的值的值. 这样，回归直线就是所有直线中这样，回归直线就是所有直线中Q取最小取最小值的那一条。由于平方又叫做

22、二乘方值的那一条。由于平方又叫做二乘方(chngfng)，所以这种使，所以这种使“离差平方和为最离差平方和为最小小”的方法，叫做的方法，叫做“最小二乘法最小二乘法”。第23页/共33页第二十三页，共34页。 用最小二乘法求回归用最小二乘法求回归(hugu)直线方直线方程中程中a，b有下面的公式：有下面的公式：其中其中(qzhng)同样同样(tngyng)a，b的上方加的上方加“”，表示是由观察值按最小二乘法求得的估计表示是由观察值按最小二乘法求得的估计值。值。第24页/共33页第二十四页，共34页。由于由于 ，故巧合的是：，故巧合的是：(xi，yi) (i=1，2，n)的中心点的中心点 在回归

23、直线上，在回归直线上，x处的估计值为处的估计值为 .第25页/共33页第二十五页，共34页。练习题练习题1下列说法正确的是（下列说法正确的是（ ）（A）y=2x2+1中的中的x，y是具有相关关系是具有相关关系的两个变量的两个变量 （B）正四面体的体积与其棱长具有相关）正四面体的体积与其棱长具有相关关系关系 （C）电脑）电脑(dinno)的销售量与电脑的销售量与电脑(dinno)的价格之间是一种确定性的关系的价格之间是一种确定性的关系 （D）传染病医院感染）传染病医院感染“非典非典”的医务人员的医务人员数与医院收治的数与医院收治的“非典非典”病人数是具有相关病人数是具有相关关系的两个变量关系的两

24、个变量D第26页/共33页第二十六页，共34页。2. 有关线性回归的说法，不正确的是有关线性回归的说法，不正确的是( ) A. 相关关系的两个变量不是因果关系相关关系的两个变量不是因果关系B. 散点图能直观地反映数据散点图能直观地反映数据(shj)的相关程的相关程度度C. 回归直线最能代表线性相关的两个变量之回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系间的关系D. 任一组数据任一组数据(shj)都有回归方程都有回归方程D第27页/共33页第二十七页，共34页。3.下面哪些变量是相关关系下面哪些变量是相关关系( ) A.出租车费与行驶的里程出租车费与行驶的里程 B.房屋面积与房屋价格房屋面积与房

25、屋价格(jig) C.身高与体重身高与体重 D.铁的大小与质量铁的大小与质量C第28页/共33页第二十八页，共34页。4. 回归方程回归方程y=1.5x15，则，则( ) A. y=1.5 x15 B. 15是回归系数是回归系数a C. 1.5是回归系数是回归系数a D. x=10时，时，y=0A第29页/共33页第二十九页，共34页。5.线性回归方程线性回归方程y=bx+a过定点过定点(dn din)_.(x, y)6.已知回归方程已知回归方程y=4.4x+838.19，则可估，则可估计计x与与y的增长速度之比约为的增长速度之比约为_.第30页/共33页第三十页，共34页。7.下表是某地下表

26、是某地(mu d)的年降雨量与年平均的年降雨量与年平均气温，判断两者是相关关系吗？求回归直气温，判断两者是相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？线方程有意义吗？ 年平均气温年平均气温(C)12.5112.8412.8413.6913.3312.7413.05年降雨量年降雨量(mm)748542507813574701432由散点图看出，由散点图看出，求回归求回归(hugu)直线直线方程无实际意义。方程无实际意义。第31页/共33页第三十一页，共34页。1 1对于两个变量之间的关系，有函数对于两个变量之间的关系，有函数(hnsh)(hnsh)关系关系和相关关系两种，其中函数和相关关系两种，其中函数

27、(hnsh)(hnsh)关系是一种确定关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系性关系，相关关系是一种非确定性关系. .2 2散点图能直观反映(fnyng)(fnyng)两个相关变量之间的大致变化趋势，利用计算机作散点图是简单可行的办法. . 小结(xioji) 3.3. 回归直线的方程回归直线的方程 第32页/共33页第三十二页，共34页。感谢您的欣赏(xnshng)第33页/共33页第三十三页，共34页。内容(nirng)总结问题提出。思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系：。【问题】在一次对人体脂肪含量(hnling)和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：。思考3：上图叫做散点图，你能描述一下散点图的含义吗。思考6：如果两个变量成负相关，从整体上看这两个变量的变化趋势如何。例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系。（3）如果近似成线性关系的话，请画出一条直线方程来近似地表示这种线性关系.。要确定回归直线方程，只要确定a与b.第三十四页，共34页。