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1、第十节一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 *三、一致连续性三、一致连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 闭区间上连续函数的性质 第一章 注意注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即: 设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论. 由定理 1 可知有证证: 设上有界 .二、介值定理二、介值定理定理定理2. ( 零点定理 )至少有一点且使
2、机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 )在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 定理定理3. ( 介值定理 ) 设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点证证: 作辅助函数则且故由零点定理知, 至少有一点使即推论推论:使至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明方程一个根 .证证: 显然又故据零点定理, 至少存在一点使即说明说明:内必有方程的根 ;取的中点内必有方程的根 ;可用此法求近似根.二分法二分法在区间内至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则上连续 , 且恒为正 ,例例2. 设在对任意的必存
3、在一点证证:使令, 则使故由零点定理知 , 存在即当时, 取或, 则有证明:小结 目录 上页 下页 返回 结束 *三三. 一致连续一致连续性性已知函数在区间 I 上连续, 即:一般情形,就引出了一致连续的概念 .定义定义:对任意的都有在在 I 上一致连续上一致连续 .显然:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,但不一致连续 .因为取点则 可以任意小但这说明在 ( 0 , 1 上不一致连续 .定理定理.上一致连续.(证明略)思考思考: P73 题 6提示提示:设存在, 作辅助函数显然机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当时,使必存在上有界;在在机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示提示: 建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:机动 目录 上页 下页 返回 结束 则证明至少存在使提示提示: 令则易证2. 设作业作业P73 题 2 ; 3; 4一点习题课 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 至少有一个不超过 4 的 证证：证明令且根据零点定理 ,原命题得证 .内至少存在一点在开区间显然正根 .机动 目录 上页 下页 返回 结束
