2022年数学---直线与方程典型例题

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1、学习必备欢迎下载第三章直线与方程【典型例题】题型一 求直线的倾斜角与斜率设直线l斜率为k且11k则倾斜角的取值范围拓展一 三点共线问题例 已知三点 A(a，2)、B(3， 7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值例 已知三点)0)(,0(),0,(),2,2(abbCaBA)在一条直线上，则ba11拓展二 与参数有关问题例 已知两点 A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点 P (-1, 2) 的直线l与线段 AB 始终有公共点，求直线l的斜率 k 的取值范围 . 变式训练：已知(2,3),( 3, 2)AB两点，直线l过定点(1,1)P且与线段AB 相交，求直线l的斜率

2、k 的取值范围 . 拓展三 利用斜率求最值例 已知实数x、y满足28,xy当 2x3时，求yx的最大值与最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载3.1.2 两条直线平行与垂直的判定【典型例题】题型一 两条直线平行关系例 1 已知直线1l 经过点M（-3，0） 、N（-15，-6） ，2l 经过点R（-2，32） 、S（0，52） ，试判断1l 与2l 是否平行？变式训练 ： 经过点( 2,)Pm和(,4)Q m的直线平行于斜率等于1 的直线，则m的值是（） . A4 B1 C 1 或 3 D1 或

3、 4 题型二 两条直线垂直关系例 2 已知ABC的顶点(2,1),( 6,3)BC，其垂心为( 3,2)H，求顶点A的坐标变式训练 ： （ 1）1l 的倾斜角为45 ，2l 经过点 P（ -2，-1） 、Q（3，-6） ，问1l 与2l 是否垂直？（2）直线12,l l 的斜率是方程2310xx的两根，则12ll与的位置关系是. 题型三 根据直线的位置关系求参数例 3 已知直线1l经过点 A(3,a)、 B（a-2,-3）,直线2l经过点 C（ 2，3） 、D（-1，a-2）, （1）如果1l/2l，则求 a 的值； （2）如果1l2l，则求 a的值精选学习资料 - - - - - - - -

4、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢迎下载题型四 直线平行和垂直的判定综合运用例 4 四边形 ABCD 的顶点为(2,22 2)A、( 2,2)B、(0,222)C、(4,2)D，试判断四边形 ABCD 的形状 . 变式训练 ：已知 A（1，1） ，B（2，2） ，C（3，-3） ，求点 D，使直线CDAB，且 CB AD探点一 数形结合思想例 5 已知过原点O 的一条直线与函数y=log8x 的图象交于A、B 两点，分别过点A、B 作 y轴的平行线与函数y=log2x 的图象交于C、 D 两点 . （1）证明：点C、D 和原点 O 在同一直线上.

5、（2）当 BC 平行于 x 轴时，求点A 的坐标. 探点二分类讨论思想例 6 ABC的顶点(5, 1),(1,1),(2,)ABCm，若ABC为直角三角形，求m 的值 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程【典型例题】题型一 求直线的方程例 1 写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A，斜率是4； （2）经过点(3, 1)B，倾斜角是 30 . 例 2 倾斜角是 135 ，在y轴上的截距是3 的直线方程是. 变式训练 ：1. 已知直线l 过点(3,

6、4)P，它的倾斜角是直线1yx的两倍，则直线l 的方程为2. 已知直线l在y轴上的截距为3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备欢迎下载3.将直线31yx绕它上面一点（1，3 ）沿逆时针方向旋转15 ，得到的直线方程是. 题型二 利用直线的方程求平行与垂直有关问题例 3 已知直线1l的方程为223,yxl的方程为42yx，直线l与1l平行且与2l在y轴上的截距相同，求直线l的方程。探究一 直线恒过定点或者象限问题例 4. 已知直线31ykxk. （1）

7、求直线恒经过的定点；（2）当33x时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围 . 探究二 直线平移例 5 已知直线l： y=2x-3 ，将直线l 向上平移2 个单位长度，再向右平移4 个单位后得到的直线方程为 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载3.2.2 直线的两点式方程【知识点归纳】1.直线的两点式方程：2.直线的截距式方程：【典型例题】题型一求直线方程例 1 已知ABC顶点为(2,8),( 4,0),(6,0)ABC，求过点B且将ABC面积平分的直线方程. 变式训练 ：1.已知点 A

8、（1，2） 、B（3，1） ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）. A 425xyB 425xyC25xyD25xy2.已知1122234,234xyxy，则过点1122(,),(,)A x yB xy的直线l的方程是（）. A. 234xyB. 230xyC. 324xyD. 320xy例 2 求过点(3,2)P，并且在两轴上的截距相等的直线方程. 变式训练 ：已知直线l 过点（ 3，-1） ，且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l 的方程为题型二 直线方程的应用例 3 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y（元）是行李重量x（千克）的一

9、次函数，其图象如图所示. （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并说明自变量x 的取值范围；（2）如果某旅客携带了75 千克的行李，则应当购买多少元行李票？oyx61060 80（千克）元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载探究一直线与坐标轴围成的周长及面积例 4 已知直线l过点 ( 2,3) ，且与两坐标轴构成面积为4 的三角形，求直线l的方程探究二有关光的反射例 5 光线从点A（ 3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点B（ 2，6） ，求射入y 轴后的反射线的方程. 变式训练

10、 ：已知点( 3,8)A、(2,2)B，点 P 是 x 轴上的点，求当APPB 最小时的点P 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载3.2.3 直线的一般式方程【知识点归纳】1直线的一般式：2直线平行与垂直的条件：【典型例题】题型一 灵活选用不同形式求直线方程例 1 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是12，经过点A（8， 2） ； （2）经过点B(4，2)，平行于x 轴；（3）在 x轴和y轴上的截距分别是32, 3； （4）经过两点1P（3，2） 、2P （5，4）. 题型

11、二 直线不同形式之间的转化例 2 求出直线方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式：过点( 5,6),( 4,8)AB. 题型三 直线一般式方程的性质例 3 直线方程0AxByC的系数A、B、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质 ? （1）与两条坐标轴都相交；（ 2）只与 x 轴相交；（3）只与 y 轴相交；（4）是 x 轴所在直线； （5）是 y 轴所在直线 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载变式训练 ：已知直线:5530laxya。（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； （

12、2）为使直线不经过第二象限，求a的取值范围。题型四 运用直线平行垂直求参数例 4 已知直线1l ：220xmym，2l ：10mxym，问 m 为何值时：（1）12ll ；（2）12/ll . 变式训练 ： （1）求经过点(3,2)A且与直线 420xy平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B且与直线 250xy垂直的直线方程. 题型五综合运用例 5 已知直线1:60lxmy，2: (2)320lmxym，求 m 的值，使得：（1）l1和 l2相交；（ 2） l1l2；（ 3）l1/l2；（ 4）l1和 l2重合 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

13、 - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离【知识点归纳】1.两条直线的焦点坐标：2.两点间的距离公式：【典型例题】题型一 求直线的交点坐标例 1 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标. （1）直线 l1: 2x3y+10=0 , l2: 3x+4y2=0； （2）直线 l1: 1nxyn, l2: 2nyxn . 题型二三条直线交同一点例 2 若三条直线2380,1020xyxykxy，相交于一点，则k 的值等于变式训练 ：1.设三条直线：21,23,345xyxkykxy交于一点

14、，求k 的值2.试求直线1:l20xy关于直线2l :330xy对称的直线l 的方程 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载题型三求过交点的直线问题例 3 求经过两条直线280xy和210xy的交点，且平行于直线4370xy的直线方程 . 变式训练 ：已知直线l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求经过 l1和 l2的交点，且与直线l3: 3x-2y+4=0 垂直的直线l 的方程 . 题型四两点间距离公式应用例 4 已知点( 2, 1),( ,3)AB a且 |5AB，则

15、 a 的值为变式训练 ：在直线 20xy上求一点P，使它到点(5,8)M的距离为，并求直线PM的方程 . 题型五 三角形的判定例 5 已知点(1,2),(3,4),(5,0)ABC，判断ABC的类型精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载探究一直线恒过定点问题例 6 已知直线 (2)(31)1ayax. 求证：无论a 为何值时直线总经过第一象限. 变式训练 ：若直线l：ykx3与直线2x3y60 的交点位于第一象限，求直线l 的倾斜角的取值范围. 探究二利用对称性求最值问题（和最小，差最大）例 7 直线

16、 2xy 4=0 上有一点P，求它与两定点A(4，1)，B(3，4)的距离之差的最大值. 变式训练 ：已知(1,0)( 1,0)MN、，点P为直线 210xy上的动点求22PMPN的最小值，及取最小值时点P的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习必备欢迎下载3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离【知识点归纳】1.点到直线的距离：2.两条平行间直线的距离：拓展：点关于点、直线对称点的求法【典型例题】题型一 利用点到直线距离求参数例 1 已知点 ( ,2) (0)aa到直线:30lxy的距离为

17、1，则 a=（）. A2B2C21D21题型二 利用点到直线距离求直线的方程例 2 求过直线1110:33lyx和2:30lxy的交点并且与原点相距为1 的直线 l 的方程 . 变式训练 ：直线 l 过点 P(1，2)，且 M(2，3)， N(4， 5)到l的距离相等，则直线l的方程是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载题型三 利用平行直线间的距离求参数例 3 若两平行直线3210xy和60xayc之间的距离为2 1313，求2ca的值 . 变式训练 ：两平行直线51230102450xyxy与间的

18、距离是（）. A. 213B. 113C. 126D. 526题型四 利用平行直线间的距离求直线的方程例 4 与直线:51260lxy平行且与l的距离 2 的直线方程是题型五 点、直线间的距离的综合运用例 5 已知点 P 到两个定点M（ 1，0） 、N（1， 0）距离的比为2 ，点 N 到直线 PM 的距离为 1求直线PN 的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载探究一与直线有关的对称问题例 6 ABC 中，(3,3),(2, 2),( 7,1)ABC. 求 A 的平分线AD 所在直线的方程. 变式训练 ：1.与直线2360xy关于点（ 1， -1）对称的直线方程是2求点 A（ 2，2）关于直线2490xy的对称点坐标探究二 与距离有关的最值问题例 7 在函数24yx 的图象上求一点P，使 P 到直线45yx的距离最短，并求这个最短的距离 . 变式训练 ：在直线:310lxy上求一点P，使得：（1）P 到 A（ 4，1）和 B（0，4）的距离之差最大。（2）P 到 A（ 4，1）和 C（3，4）的距离之和最小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页