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1、1 数学复习：一、矩阵定义当一个矩阵的行数与列数相等时， 该矩阵称为一个n 阶方阵 square matrix。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线main diagonal 。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵identity matrix ，记为En或 In，即：。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，是一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角矩阵。二、矩阵运算1、矩阵的加法addition matrix 设有两个m n 的矩阵 A=(aij) ，B=(bij) ，则矩阵 A 和 B 的和记作A+B 。即：矩阵的
2、加法满足下列运算律：（1）交换律：；（2）结合律：；（3）存在零元：；（4）存在负元：。2、数与矩阵相乘scalar multiplication 111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 2 数与矩阵 A的乘积记作A或 A ，规定为数乘矩阵满足下列运算规律（设A、B 为 m n 矩阵，、为数）：(i) ()A=
3、( A)；(ii) (+ )A=A+A；(iii) (A+B)=A+B；3、矩阵与矩阵相乘matrix multiplication 1）只有当乘号左边的矩阵（称为左矩阵）的列数和乘号右边的矩阵（右矩阵）的行数相同时，两个矩阵才能相乘；这条可记为左列=右行才能相乘。2）乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数。这条可记为：积的行 =左矩阵的行，积的列=右矩阵的列3）乘积矩阵的元素（i,j ）等于左矩阵的第i 行和右矩阵的第j 列的对应元素的乘积之和。这条可记为i： 积=（左矩阵行右矩阵列）之和。乘法满足下列运算律（ 1）结合律：；（ 2）左分配律：；（ 3）右分配律：；（
4、 4）数与矩阵乘法的结合律：；( 5 ) AIn=InA=A 若为阶方阵， 则对任意正整数，我们定义：，并规定：由于矩阵乘法满足结合律，我们有：，。注意：（1）矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便有意义，也未必有意义；倘使都有意义，二者也未必相等，即AB未必一定等于BA 111212122212nnmmmnaaaaaaAAaaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3 （2）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即未必能推出或
5、者（3）如果并且，未必有。三、矩阵的转置transpose 把矩阵A 的行换成相应的列，得到的新矩阵称为A 的转置矩阵，记作AT。矩阵的转置运算满足下列运算律：（1 ）； （2 ）；（3 ）； （4 ）。四、矩阵的初等行变换matrix is reduced 1、矩阵的初等行变换的方法：变换矩阵的某两行位置；R1R2用一个非零数乘矩阵某行的所有元素；K R2 把矩阵某一行的K 倍加到矩阵的另一行上去K R2 + R3注意：对矩阵A 进行初等行变换，得到新矩阵，原矩阵与新矩阵之间只能划箭头，不能划等号2、阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵的定义如果一个矩阵每一个非零行的非零首元素出现在上一行非零首元素的
6、右边，同时没有一个非零行出现在零行之下，则称这种矩阵为阶梯形矩阵如下列矩阵就是阶梯形矩阵。420001310012321如果行阶梯形矩阵的每一个非零行的非零首元素都是1，且非零首元素所在列的其余元素都为0，则称这种矩阵为简化阶梯形矩阵a reduced matrix如下列矩阵就是简化阶梯矩阵。410020101001五、线性方程组的解mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3
7、 页，共 5 页 - - - - - - - - - 4 以上线性方程组可写为矩阵形：AX =B Amnmmnnaaaaaaaaa212222111211Xnxxx21Bmbbb21方程 AX=B 是线性方程组的矩阵表达形式，称为矩阵方程。其中A 称为方程组的系数矩阵， X 称为未知矩阵，B 称为常数项矩阵。将系数矩阵A 和常数项矩阵B 放在一起构成的矩阵称为线性方程组的增广矩阵 表示为 A. 当 B =0 时，称方程组AX = 0 为齐次线性方程组Homogeneous linear quations 当 B0 时，称方程组AX0 为非齐次线性方程组Un-Homogeneous linear
8、 quations 1、齐次线性方程组解的判定定理：齐次线性方程组AX = 0 一定有解 ,且（1） 当 R(系数矩阵 ) =R(增广矩阵 ) = n （未知数个数） 时， 方程组只有唯一解； unique solution. （2）当 R(系数矩阵 ) =R(增广矩阵 ) n 时，方程组有无穷多解Infinitely many solutions 2、非齐次线性方程组解的判定定理：非齐次线性方程组AX =B 有解的充分必要条件是R(系数矩阵 ) =R( 增广矩阵 ).具体为：（1）当 R(系数矩阵 ) =R(增广矩阵 ) = n（未知数个数）时，方程组有唯一解；（2）当 R(系数矩阵 ) =
9、R(增广矩阵 ) n 时，方程组有无穷多解；（3）当 R(系数矩阵 ) R(增广矩阵 ) 时，方程组无解No solutions 六、矩阵的逆矩阵inverse matrix 1、定义：若CA=AC=In, 则称 C 为 A 的逆矩阵A-1。（ A，C 均为方阵）或者：若两个方阵的乘积为一个单位矩阵，则两个方阵互逆。2、逆矩阵具有以下性质：1 零矩阵不是可逆矩阵，单位矩阵一定是可逆矩阵。2 可逆矩阵一定是方阵。3 如果矩阵A 是可逆的， A 的逆矩阵是唯一的。4 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。5 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。3、判断矩阵的逆矩阵是否存在的方法：If the reduced matr
10、ix is in the form of InC,then C is the inverse of A.若简约矩阵名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5 的形式是InC ，则C 是 A 的逆矩阵。4、判断逆矩阵不存在的方法：1） if A is not an nn matrix. 若 A 不是 n 阶方阵。如下列矩阵没有逆矩阵。A= 7 9 3 -2 3 1 -8 52） if the reduced matrix
11、is not in the form InC. 若简约矩阵的形式不能构成InC。5、如何用矩阵初等变换求逆矩阵在给定的n 阶矩阵A 的右边放一个n 阶单位矩阵I ,形成一个矩阵 AI ，然后对矩阵 AI 实行初等行变换，直到将原矩阵A 所在部分化成n 阶单位矩阵I ，原单位矩阵部分经过初等行变换后，所得到的矩阵就是A 的逆矩阵A-1即若 对IA施 以 初 等 行 变 换 将A变 为I ， 则I就 变 为A-1， 即1AIIA初 等 行 变 换名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -
