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1、5.7 5.7 跃迁几率跃迁几率1. 1. 跃迁几率跃迁几率 2. 2. 一阶常微扰一阶常微扰 3. 3. 简谐微扰简谐微扰 4. 4. 能量和时间测不准关系能量和时间测不准关系1t 时刻发现体系处于 态的几率等于 |am(t)| 2，一级近似下为1.1.跃迁几率跃迁几率体系的某一状态2（1）含时 Hamilton 量设 H 在 0 t t1 这段时间之内不为零，但与时间无关，即：2.2.一阶常微扰（微扰为常量）一阶常微扰（微扰为常量）3（2）一级微扰近似 amHmk 与 t 无关(0 t t1)4（3）跃迁几率和跃迁速率则当t 时 ：5于是跃迁几率：跃迁速率：物理意义？6（4）讨论a.上式表
2、明，对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃迁速率将与时间无关，且仅在能量m k ，即在初态能量的小范围内才有较显著的跃迁几率。 在常微扰下，体系将跃迁到与初态能量相同的末态，也就是说末态是与初态不同的状态，但能量是相同的-简并态。b. 式中的(m -k) 反映了跃迁过程的能量守恒。7c. Fermi黄金规则末态是连续谱：设体系在m附近dm范围内的能态数目是(m) dm，则跃迁到m附近一系列可能末态的跃迁速率为：电离过程满足的规律8（1）Hamilton 量3. 简谐微扰t=0 时加入一个简谐 振动的微小扰动：F 是与 t无关只与 r 有关的算符，为便于讨论，将上式改写成如下形式9（2）求 a
3、m(t) H(t)在 H0 的第 k 个和第 m 个本征态 k 和 m 之间的微扰矩阵元是：1011（3）几点分析(I) 当 = mk 时，即微扰频率 与 Bohr 频率相等时，上式第二项分子分母皆为零。求其极限得：(II) 当 = mk 时，同理有：第二项起主要作用第一项起 主要作用第一项是振荡项，不随时间增加12(III) 当 mk 时，两项都不随时间增大总之，仅当 =mk = (m k)/ 或m =k 时，出现明显跃迁。这就是说，仅当外界微扰含有频率mk时，体系才能从k态跃迁到m态，这时体系吸收或发射的能量是 mk 。这说明讨论的跃迁是一种共振现象。 因此只需讨论 mk 的情况即可。13
4、（4）跃迁几率当 =m k 时，略去第一项，则此式与常微扰情况的表达式类似，只需作代换：H mk Fmk , mk mk-，常微扰的结果就可直接引用，于是得简谐微扰情况下的跃迁几率为：14同理， 对于 = -m k 有：二式合记：（5）跃迁速率或：或：15（6）讨论a. (m-k ) 描写了能量守恒：m-k = 0。b. k m 时，跃迁速率可写为：也就是说，仅当 m=k - 时跃迁几率才不为零，此时发射能量为 的光子。c. 当k k)。4. 能量和时间测不准关系在t t1时刻，k m 的 跃迁几率则为：18（1）由图可见，跃迁几率的贡献主要来自主峰范围内，即在 -2/t1 mk 2/t1区间
5、跃迁几率明显不为零，而此区间外几率很小。2 / t14 / t1-2 / t1-4 / t1mk - |Fmk |2t1 / 2Wk m019（2）能量守恒不严格成立，即在跃迁过程中，m = k + 或mk = 不严格成立，它们只是在上图原点处严格成立。因为在区间-2/t1 , 2/t1，跃迁几率都不为零， 所以 既可能有 mk = ， 也可能有 -2/t1 mk +2/t1。 mk (1/t1)也就是说 mk 有一个不确定范围。由于k能级是分立的，k 是确定的，注意到 mk = 1/ (m-k)，所以 mk 的不确定来自于末态能量m 的不确定，即：20若微扰过程看成是测量末态能量m的过程，t1是测量的时间间隔，那末上式表明，能量的不确定范围m与时间间隔之积有 的数量级。上式有着普遍意义，一般情况下，当测量时间为t，所测得的能量不确定范围为E 时，则二者有如下关系：此式称为能量和时间的测不准关系。由此式可知，测量能量越准确（E 小），则用于测量的时间t 就越长。21
