《2022-2023学年高中数学第四章圆与方程4.3.2空间两点间的距离公式课件新人教A版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年高中数学第四章圆与方程4.3.2空间两点间的距离公式课件新人教A版必修2（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.3.2空间两点间的距离公式空间中两点间的距离公式空间中两点间的距离公式(1)(1)一般情况一般情况: :已知点已知点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )与点与点P P2 2(x(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),则则|P|P1 1P P2 2|=_.|=_.(2)(2)特殊情况特殊情况: :点点P(x,y,z)P(x,y,z)到原点的距离公式是到原点的距离公式是: :|OP|=_.|OP|=_.【思考思考】在空间两点间的距离公式中在空间两点间的距离公式中, ,两个点坐标的前后顺序两个点坐标的前后顺序能不能改变能不能改变? ?提示提示: :能能. .空间中两
2、点间的距离公式也可以写成空间中两点间的距离公式也可以写成|P|P1 1P P2 2| |= .= .【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)用空间两点间的距离公式不能求平面内两点的距离用空间两点间的距离公式不能求平面内两点的距离. .( () )提示提示: :.平面内两点间的距离是空间两点间距离的特平面内两点间的距离是空间两点间距离的特例例, ,可以用空间两点间的距离公式求平面内两点的距离可以用空间两点间的距离公式求平面内两点的距离. .2.2.空间直角坐标系中空间直角坐标系中, ,设设A(1,3,0),B(-3,6,12),A(1,3
3、,0),B(-3,6,12),则则|AB|=|AB|=( () )A. A. B.13B.13C.5C.5D.25D.25【解析解析】选选B.|AB|= =13.B.|AB|= =13.3.3.已知空间两点已知空间两点A(1,2,z),B(2,-1,1)A(1,2,z),B(2,-1,1)之间的距离为之间的距离为 , ,则则z=z= ( () )A.2A.2B.0B.0或或2 2C.0C.0D.2D.2或或1 1【解析解析】选选B.B.由于空间两点由于空间两点A(1,2,z),B(2,-1,1)A(1,2,z),B(2,-1,1)之间之间的距离为的距离为 , ,即即 则则(z-1)(z-1)2
4、 2=1,=1,解得解得z=0z=0或或2.2.4.4.已知点已知点P(1,2,3),Q(-3,5,2),P(1,2,3),Q(-3,5,2),它们在面它们在面xOyxOy内的投影内的投影分别是分别是P,Q,P,Q,则则|PQ|=_.|PQ|=_.【解析解析】因为点因为点P(1,2,3),Q(-3,5,2),P(1,2,3),Q(-3,5,2),它们在面它们在面xOyxOy内内的投影分别是的投影分别是P,Q,P,Q,所以所以P(1,2,0),Q(-3,5,P(1,2,0),Q(-3,5,0),|PQ|= =5.0),|PQ|= =5.答案答案: :5 5类型一求空间两点间的距离类型一求空间两点
5、间的距离【典例典例】1.1.设设A(1,1,-2),B(3,2,8),C(0,1,0),A(1,1,-2),B(3,2,8),C(0,1,0),则线段则线段ABAB的中点的中点P P到点到点C C的距离为的距离为( () ) 2.2.在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,点点M(2,-1,3),M(2,-1,3),若点若点A A与点与点M M关于关于xOyxOy平面对称平面对称, ,点点B B与点与点M M关于关于x x轴对称轴对称, ,则则|AB|=|AB|=( () )A.2A.2B.4B.4C.2 C.2 D.3 D.3 【思维思维引引】1.1.先求出中点坐标先求出中点坐标, ,再利
6、用距离公式求距再利用距离公式求距离离. .2.2.先求出相应的对称点先求出相应的对称点, ,再利用距离公式求距离再利用距离公式求距离. .【解析解析】1.1.选选D.D.因为因为A(1,1,-2),B(3,2,8),C(0,1,0),A(1,1,-2),B(3,2,8),C(0,1,0),所以线段所以线段ABAB的中点的中点P ,P ,所以点所以点P P到点到点C C的距离为的距离为|PC|= |PC|= 2.2.选选A.A.因为点因为点M(2,-1,3)M(2,-1,3)关于平面关于平面xOyxOy的对称点为的对称点为A,A,它它的横坐标与纵坐标不变的横坐标与纵坐标不变, ,竖坐标相反竖坐标
7、相反, ,所以所以A(2,-1,-3);A(2,-1,-3);点点M(2,-1,3)M(2,-1,3)关于关于x x轴的对称点为轴的对称点为B,B,它的横坐标不变它的横坐标不变, ,纵纵坐标相反坐标相反, ,竖坐标相反竖坐标相反, ,所以所以B(2,1,-3),B(2,1,-3),所以所以|AB|=|AB|= =2. =2.【内化内化悟悟】应用空间中两点间的距离公式时需要注意什么问题应用空间中两点间的距离公式时需要注意什么问题? ?提示提示: :注意前后的坐标作差要准确注意前后的坐标作差要准确. .【类题类题通通】关于空间两点间的距离公式关于空间两点间的距离公式求空间两点间的距离问题就是把点的
8、坐标代入距离公求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算式进行计算, ,若点的坐标中含有未知数若点的坐标中含有未知数, ,则代入距离公则代入距离公式后列出方程求根式后列出方程求根. .【习练习练破破】1.1.空间中两点空间中两点A(1,-1,2),B(-1,1,2 +2)A(1,-1,2),B(-1,1,2 +2)之间的距离之间的距离是是( () )A.3A.3B.4B.4C.5C.5D.6D.6【解析解析】选选B.B.因为因为A(1,-1,2),B(-1,1,2 +2),A(1,-1,2),B(-1,1,2 +2),所以所以A,BA,B两点之间的距离两点之间的距离d= =4.d
9、= =4.2.2.一束光线自点一束光线自点P(1,1,1)P(1,1,1)出发出发, ,被被xOyxOy平面反射到达点平面反射到达点Q(3,3,6)Q(3,3,6)被吸收被吸收, ,那么光所走的距离是那么光所走的距离是( () ) 【解析解析】选选D.D.由题意由题意,P(1,1,1),P(1,1,1)关于平面关于平面xOyxOy的对称点的对称点为为M(1,1,-1),M(1,1,-1),则则|QM|= |QM|= 【加练加练固固】在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,A(4,1,9),B(10,-,A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3),1,6),C(2,4,3),则则AB
10、CABC为为( () )A.A.等边三角形等边三角形B.B.等腰直角三角形等腰直角三角形C.C.钝角三角形钝角三角形D.D.锐角三角形锐角三角形【解析解析】选选B.B.因为在空间直角坐标系中因为在空间直角坐标系中, , A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3),A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3),所以所以|AB|= |AB|= |AC|= |AC|= |BC|= |BC|= 所以所以|AB|AB|2 2+|AC|+|AC|2 2=|BC|=|BC|2 2, ,且且|AB|=|AC|,|AB|=|AC|,所以所以ABCABC为等为等腰直角三角形腰直角三角形.
11、 .类型二空间几何体中的距离类型二空间几何体中的距离【典例典例】如图所示如图所示, ,在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,|AB|= ,|AB|= |AD|=3,|AA|AD|=3,|AA1 1|=2,|=2,点点M M在在A A1 1C C1 1上上,|MC,|MC1 1|=2|A|=2|A1 1M|,NM|,N在在D D1 1C C上上且为且为D D1 1C C的中点的中点, ,求线段求线段MNMN的长度的长度. . 【思维思维引引】先建立空间直角坐标系先建立空间直角坐标系, ,确定点确定点M,NM,N的坐的坐标标, ,利用距离公式求距离
12、利用距离公式求距离. .【解析解析】如图所示如图所示, ,分别以分别以AB,AD,AAAB,AD,AA1 1所在的直线为所在的直线为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系. .由题意可知由题意可知C(3,3,0),D(0,3,0),C(3,3,0),D(0,3,0),因为因为|DD|DD1 1|=|CC|=|CC1 1|= |= |AA|AA1 1|=2,|=2,所以所以C C1 1(3,3,2),D(3,3,2),D1 1(0,3,2),(0,3,2),因为因为N N为为CDCD1 1的中点的中点, ,所以所以N .N .因为因为M M是是A A1 1C
13、C1 1的三等分点且靠近的三等分点且靠近A A1 1点点, ,所以所以M(1,1,2).M(1,1,2).由两点间距离公式由两点间距离公式, ,得得|MN|= |MN|= 【内化内化悟悟】如果建立的坐标系不一样如果建立的坐标系不一样, ,点的坐标一样吗点的坐标一样吗? ?求出的求出的距离一样吗距离一样吗? ?提示提示: :坐标不一样坐标不一样, ,距离一样距离一样. .【类题类题通通】关于图形中的距离问题关于图形中的距离问题若所给题目中未建立坐标系若所给题目中未建立坐标系, ,需结合已知条件建立适当需结合已知条件建立适当的坐标系的坐标系, ,再利用空间两点间的距离公式计算再利用空间两点间的距离
14、公式计算. .一般按一般按如下的步骤如下的步骤: :【习练习练破破】已知正方形已知正方形ABCDABCD的边长为的边长为2,PA2,PA平面平面ABCD,ABCD,且且PA=2,EPA=2,E是是PDPD中点中点. .以以A A为原点为原点, ,建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,Axyz,则则|CE|=_.|CE|=_.【解析解析】因为正方形因为正方形ABCDABCD的边长为的边长为2,PA2,PA平面平面ABCD,ABCD,且且|PA|=2,E|PA|=2,E是是PDPD中点中点. .所以所以C(2,2,0),E(0,1,1),C(2,2,0),E(0,1,1
15、),所以所以|CE|= |CE|= 答案答案: : 【加练加练固固】如图如图, ,在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,有一棱长为有一棱长为a a的正方体的正方体ABCD ABCD -A-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1,A,A1 1C C的中点的中点E E到到ABAB的中点的中点F F的距离为的距离为( () ) 【解析解析】选选B.B.由题意得由题意得F ,AF ,A1 1(a,0,a),C(0,a,0),(a,0,a),C(0,a,0),所以所以E ,E ,所以所以|EF|= |EF|= 类型三空间中两点间距离公式的应用类型三空间中两点间距离公式的应用角度角度1 1求点的
16、坐标求点的坐标【典例典例】(2019(2019随州高一检测随州高一检测) )空间直角坐标系空间直角坐标系OxyzOxyz中中, ,在在z z轴上与点轴上与点A(-4,1,7)A(-4,1,7)和点和点B(3,5,-2)B(3,5,-2)等距离的点等距离的点C C的坐标为的坐标为_._.【思维思维引引】根据根据z z轴上点的坐标特点轴上点的坐标特点, ,设出设出C C点的坐标点的坐标, ,利用距离公式求值利用距离公式求值. .【解析解析】设所求点设所求点C(0,0,z),C(0,0,z),因为点因为点C C与点与点A(-4,1,7)A(-4,1,7)和和点点B(3,5,-2)B(3,5,-2)等
17、距离等距离, ,所以所以 解得解得z= .z= .答案答案: : 【素养素养探探】在利用距离公式求点的坐标时在利用距离公式求点的坐标时, ,常常用到核心素养中的常常用到核心素养中的数学运算数学运算, ,解决与距离相关的问题解决与距离相关的问题. .本例的条件不变本例的条件不变, ,试求试求y y轴上的点轴上的点D,D,使使|AD|=|BD|.|AD|=|BD|.【解析解析】设点设点D(0,y,0),D(0,y,0),因为因为|AD|=|BD|,|AD|=|BD|,所以所以 解得解得y=- ,y=- ,所以所以D .D .角度角度2 2与距离有关的最值与距离有关的最值【典例典例】已知已知 A(1
18、,a,-5),B(2a,-7,-2)(aR),A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)(aR),则则|AB|AB|的最小值为的最小值为_._.【思维思维引引】利用距离公式表示出利用距离公式表示出|AB|,|AB|,通过配方求最通过配方求最值值. .【解析解析】因为因为A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)(aR),A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)(aR),所以所以|AB|= |AB|= 所以当所以当a=-1a=-1时时,|AB|,|AB|取最小值取最小值 答案答案: :3 3 【类题类题通通】1.1.求未知点的坐标求未知点的坐标设出点的坐标设出点的坐标, ,利用距离公式列出方程
19、利用距离公式列出方程, ,解方程求出点解方程求出点的坐标即可的坐标即可. .2.2.关于空间中距离的最值问题关于空间中距离的最值问题利用空间两点间的距离公式利用空间两点间的距离公式, ,将空间距离问题转化为二将空间距离问题转化为二次函数的最值问题次函数的最值问题, ,体现了数学上的转化思想和函数思体现了数学上的转化思想和函数思想想, ,此类题目的解题方法是直接设出点的坐标此类题目的解题方法是直接设出点的坐标, ,利用距利用距离公式就可以将几何问题代数化离公式就可以将几何问题代数化, ,分析函数即可分析函数即可. .【延伸延伸练练】已知已知A(3,0,1),B(1,1,2),A(3,0,1),B
20、(1,1,2),则到则到A,BA,B两点的距离相等的点两点的距离相等的点P(x,y,z)P(x,y,z)的坐标满足的条件为的坐标满足的条件为( () )A.2x+y-z=0A.2x+y-z=0 B.x+y-2z=0B.x+y-2z=0C.x+y-z+3=0C.x+y-z+3=0D.2x-y-z-2=0D.2x-y-z-2=0【解析解析】选选D.D.因为点因为点P(x,y,z)P(x,y,z)到到A(3,0,1),B(1,1,2)A(3,0,1),B(1,1,2)两两点的距离相等点的距离相等, ,所以所以(x-3)(x-3)2 2+(y-0)+(y-0)2 2+(z-1)+(z-1)2 2=(x
21、-1)=(x-1)2 2+(y-+(y-1)1)2 2+(z-2)+(z-2)2 2, ,整理得整理得2x-y-z-2=0.2x-y-z-2=0.【习练习练破破】已知空间中点已知空间中点A(x,1,2)A(x,1,2)和点和点B(2,3,4)B(2,3,4)且且|AB|=2 ,|AB|=2 ,则实数则实数x x的值是的值是( () )A.6A.6或或-2-2B.-6B.-6或或2 2C.3C.3或或-4-4D.-3D.-3或或4 4【解析解析】选选A.A.由题意由题意 化简得化简得(x-2)(x-2)2 2=16,=16,解得解得x=6x=6或或x=-2.x=-2.【加练加练固固】在空间直角坐
22、标系中在空间直角坐标系中, ,已知已知A(3,0,1)A(3,0,1)和和B(1,0,-3).B(1,0,-3).(1)(1)在在y y轴上是否存在点轴上是否存在点M,M,满足满足|MA|=|MB|?|MA|=|MB|?(2)(2)在在y y轴上是否存在点轴上是否存在点M,M,使使MABMAB为等边三角形为等边三角形? ?若存若存在在, ,试求出点试求出点M M的坐标的坐标. .【解析解析】(1)(1)假设在假设在y y轴上存在点轴上存在点M,M,满足满足|MA|=|MB|,|MA|=|MB|,设设M(0,y,0),M(0,y,0),由由|MA|=|MB|,|MA|=|MB|,可得可得 显然显
23、然, ,此式对任意此式对任意yRyR恒成立恒成立. .这就是这就是说说,y,y轴上所有的点都满足轴上所有的点都满足|MA|=|MB|.|MA|=|MB|.(2)(2)假设在假设在y y轴上存在点轴上存在点M(0,y,0),M(0,y,0),使使MABMAB为等边三角为等边三角形形. .由由(1)(1)可知可知, ,对对y y轴上任一点都有轴上任一点都有|MA|=|MB|,|MA|=|MB|,所以只所以只要要|MA|=|AB|MA|=|AB|就可以使得就可以使得MABMAB是等边三角形是等边三角形. .因为因为|MA|= |MA|= |AB|= |AB|= 于是于是 解得解得y= ,y= ,故在故在y y轴上存在点轴上存在点M,M,使使MABMAB为等边三角形为等边三角形, ,点点M M的坐标的坐标为为(0, ,0)(0, ,0)或或(0,- ,0).(0,- ,0).
