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1、第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 1.4 1.4 时域离散系统的输入输出描述法时域离散系统的输入输出描述法 线性常系数差分方程线性常系数差分方程 1.1.数学模型数学模型模拟系统：模拟系统： 用微分方程描述用微分方程描述时域离散系统：时域离散系统： 用差分方程描述用差分方程描述连续时间连续时间LTILTI系统：系统： 用用线性常系数线性常系数 微分方程微分方程描述描述离散时间离散时间LTILTI系统：系统： 用用线性常系数线性常系数 差分方程差分方程描述描述 （简称（简称差分方程差分方程）1第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 1.4
2、.1 1.4.1 线性常系数差分方程线性常系数差分方程 一个一个N N阶、阶、线性、线性、常系数常系数差分方程用下式表示：差分方程用下式表示： (1.4.1)(1.4.2)或者或者 阶数：阶数：y y( (n n) )中的中的i i序号的序号的最大值最大值与与最小值最小值之差。之差。 此处：此处：阶数阶数= =N-0 = N (NM)N-0 = N (NM)i=0i=0jjj2第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 线性线性: : y(n-i)y(n-i)、x(n-i)x(n-i)均为均为一次幂一次幂且无且无相乘项相乘项 （和线性微分方程是一样的），否则是非线性的。（
3、和线性微分方程是一样的），否则是非线性的。 常系数：常系数：a a1 1, ,a a2 2, , ,a aN N, , b b1 1, , b b2 2, , , ,b bM M都是常数都是常数 ( (若系数中含有若系数中含有n n，则称为变系数，则称为变系数) )用途：用途：（1 1）从差分方程直接得到从差分方程直接得到系统结构系统结构； （2 2）求解系统的）求解系统的瞬态响应瞬态响应。例例 3第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 差分方程用途差分方程用途(1)(1)：由一阶差分方程画网络结构。：由一阶差分方程画网络结构。例例1 1：已知：已知 y y（n n）
4、=ay=ay（n-1n-1）+x+x（n n），由此得到它的），由此得到它的网络结构网络结构 （第五章）（第五章）如图如图4第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 1.4.2 1.4.2 线性常系数差分方程的求解方法线性常系数差分方程的求解方法 三种基本求解法：三种基本求解法：经典解法：经典解法：麻烦很少用（麻烦很少用（类似模拟系统中的微分方程求解）类似模拟系统中的微分方程求解）离散时域求解法：离散时域求解法：简单（简单（适合计算机求近似解）适合计算机求近似解）变换域方法：变换域方法：简单而有效（简单而有效（类似模拟系统中类似模拟系统中的拉氏变换LS） （Z域）域）
5、离散时域求解：两种常用方法离散时域求解：两种常用方法1.1.卷积计算法：用于卷积计算法：用于系统初始状态为零时系统初始状态为零时的求解的求解 2.2.递推递推法：法： 简单（需要初始条件但不一定为零）简单（需要初始条件但不一定为零）5第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 差分方程用途（差分方程用途（2 2）在给定输入序列在给定输入序列x x（n n）和和给定初始条件给定初始条件下下， 用递推的方法求系统用递推的方法求系统 瞬态解瞬态解。例例1.4.1 1.4.1 设系统用差分方程设系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)y(n)=ay(n-1)+x(n)描述
6、，描述， 输入序列输入序列 x(n)=(n)x(n)=(n) 求输出序列求输出序列 y(n)=?y(n)=?解：该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。解：该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。 (1) (1) 设初始条件设初始条件 y(-1)=0y(-1)=0 6第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 y(n)=ay(n-1)+x(n)y(n)=ay(n-1)+x(n)n=0n=0时，时，y(0)=ay(-1)+(0)=1y(0)=ay(-1)+(0)=1n=1n=1时，时，y(1)=ay(0)+(1)=ay(1)=ay(0)+(1)=an=2n=
7、2时，时，y(2)=ay(1)+(2)=ay(2)=ay(1)+(2)=a2 2n=nn=n时，时，y(n)=ay(n)=an n归纳得：归纳得： y(n)=ay(n)=an n u(n) u(n) 通式通式问题：问题： u(n)u(n)的作用的作用 ? ? 递推方向？递推方向？7第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 (2)(2)设初始条件设初始条件y(-1)=1y(-1)=1n=0n=0时，时，y(0)=ay(-1)+(0)=1+ay(0)=ay(-1)+(0)=1+an=1n=1时，时，y(1)=ay(0)+(1)=(1+a)ay(1)=ay(0)+(1)=(1
8、+a)an=2n=2时，时，y(2)=ay(1)+(2)=(1+a)ay(2)=ay(1)+(2)=(1+a)a2 2n=nn=n时，时，y(n)=(1+a)ay(n)=(1+a)an n归纳得：归纳得：y(n)=(1+a)ay(n)=(1+a)an n u(n)u(n)问题：问题： u(n)u(n)的作用的作用 ? ? 递推方向？递推方向？8第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 结论：结论： 1.1.对对同一个差分方程同一个差分方程和和同一个输入信号同一个输入信号，因为，因为初始条件初始条件不同不同 得到的得到的输出信号输出信号是不相同的。是不相同的。2. 2.
9、一个差分方程不一定代表因果系统，一个差分方程不一定代表因果系统，初始条件不同初始条件不同，则可，则可 能得到非因果系统能得到非因果系统 。3.3.一一个个差差分分方方程程不不一一定定代代表表LTILTI系系统统，初初始始条条件件不不同同，则则可可能能得到得到时变时变系统系统 。 9第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例例1.4.2 1.4.2 设差分方程为设差分方程为y(n)=ay(n-1)+x(n)y(n)=ay(n-1)+x(n)，式中，式中 x(n)=(n),x(n)=(n),y(n)=0,n0y(n)=0,n0，求输出序列，求输出序列y(n)y(n)。 解
10、：解：y(n-1)=ay(n-1)=a-1-1(y(n)-(n)(y(n)-(n) n=1 n=1： y(0)=ay(0)=a-1-1(y(1)-(1)=0(y(1)-(1)=0 n=0 n=0： y(-1)=ay(-1)=a-1-1(y(0)-(0)=-a(y(0)-(0)=-a-1-1 n=-1 n=-1： y(-2)=ay(-2)=a-1-1(y(-1)-(-1)=-a(y(-1)-(-1)=-a-2-2 n=-n=-| |n n| | y(n-1)=-a y(n-1)=-a n-1n-1 通式通式 将将n-1n-1用用n n代替，得到代替，得到 y(n)=y(n)=- -a an n
11、u(-n-1) u(-n-1) ? ? 非因果序列非因果序列 P20 P2010第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 例例1.4.3 1.4.3 设设系系统统用用一一阶阶差差分分方方程程y(n)=ay(n-1)+x(n)y(n)=ay(n-1)+x(n)描描述述，初初始始条件条件y(-1)=1y(-1)=1，试分析该系统是否是线性非时变系统。，试分析该系统是否是线性非时变系统。 解解 设设 x x1 1(n)=(n)(n)=(n)，x x2 2(n)=(n-1)(n)=(n-1)，x x3 3(n)=(n)+(n-1)(n)=(n)+(n-1) (1) x (1)
12、x1 1(n)=(n)(n)=(n)，y y1 1(-1)=1(-1)=1 y y1 1(n)=ay(n)=ay1 1(n-1)+(n)(n-1)+(n) 和例和例1.4.1(2)1.4.1(2)相同，输出如下：相同，输出如下： y y1 1(n)=(1+a)a(n)=(1+a)an n u(n)u(n)11第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 (2) x(2) x2 2(n)=(n-1)(n)=(n-1)，y y2 2(-1)=1(-1)=1 y y2 2(n)=ay(n)=ay2 2(n-1)+(n-1)(n-1)+(n-1)n=0n=0时，时，n=1n=1时，
13、时，n=2n=2时，时，n=nn=n时，时， y y2 2(0)=ay(0)=ay2 2(-1)+(-1)=a(-1)+(-1)=ay y2 2(1)=a y(1)=a y2 2(0)+(0)=1+a(0)+(0)=1+a2 2y y2 2(2)=a y(2)=a y2 2(1)+(1)=(1+ a(1)+(1)=(1+ a2 2)a)ay y2 2(n)=(1+ a(n)=(1+ a2 2)a )a n-1n-1y y2 2(n)=(1+ a(n)=(1+ a2 2)a )a n-1n-1 u(n-1)+a(n) u(n-1)+a(n)12第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和
14、时域离散系统 (3) x(3) x3 3(n)=(n)+(n-1); y(n)=(n)+(n-1); y3 3(-1)=1(-1)=1y y3 3(n)=a y(n)=a y3 3(n-1)+(n)+(n-1)(n-1)+(n)+(n-1)n=0n=0时，时，n=1n=1时，时，n=2n=2时，时，n=nn=n时，时，y y3 3(0)=a y(0)=a y3 3(-1)+(0)+(-1)=1+a(-1)+(0)+(-1)=1+ay y3 3(1)=a y(1)=a y3 3(0)+(1)+(0)=1+a+a(0)+(1)+(0)=1+a+a2 2y y3 3(2)=a y(2)=a y3 3
15、(1)+(2)+(1)=(1+a+ a(1)+(2)+(1)=(1+a+ a2 2)a)ay y3 3(n)=(1+a+ a(n)=(1+a+ a2 2)a )a n-1n-1y y3 3(n)=(1+a+ a(n)=(1+a+ a2 2)a )a n-1n-1 u(n-1)+(1+a)(n) u(n-1)+(1+a)(n) 13第第1章章 时域离散信号和时域离散系统时域离散信号和时域离散系统 由情况由情况(1)(1)和情况和情况(2)(2)，得到，得到y y1 1(n)=T(n)=T(n)(n)y y2 2(n)=T(n)=T(n-1)(n-1)y y2 2(n)y(n)y1 1(n-1) (n-1) 因此该系统因此该系统不是不是时不变系统时不变系统。再由情况再由情况(3)(3)得到得到y y3 3(n) =T(n) =T(n)+(n-1)(n)+(n-1) T T(n)(n)+T+T(n-1)(n-1)y y3 3(n)y(n)y1 1(n)+y(n)+y2 2(n) (n) 因此该系统因此该系统不是不是线性系统线性系统14
