《选修4-4复习ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《选修4-4复习ppt课件（76页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、选修4-4总复习第一节 坐 标 系 三年三年1616考考 高考指数高考指数:1.1.理解坐理解坐标标系的作用，了解在平面直角坐系的作用，了解在平面直角坐标标系伸系伸缩变换缩变换作用下作用下平面平面图图形的形的变变化情况化情况. .2.2.能在极坐能在极坐标标系中用极坐系中用极坐标标表示点的位置，理解在极坐表示点的位置，理解在极坐标标系和系和平面直角坐平面直角坐标标系中表示点的位置的区系中表示点的位置的区别别，能，能进进行极坐行极坐标标和直角和直角坐坐标标的互化的互化. .3.3.能在极坐能在极坐标标系中系中给给出出简单图简单图形形( (如如过过极点的直极点的直线线、过过极点的极点的圆圆或或圆圆
2、心在极点的心在极点的圆圆) )的方程，理解用方程表示平面的方程，理解用方程表示平面图图形形时选择时选择适适当坐当坐标标系的意系的意义义. .1.1.直直线线和和圆圆的极坐的极坐标标方程是高考考方程是高考考查查的重点；的重点；2.2.极坐极坐标标方程与直角坐方程与直角坐标标方程的相互方程的相互转转化以及化以及综综合合应应用是用是难难点；点；3.3.高考考高考考查查极坐极坐标标方程多以填空方程多以填空题题的形式考的形式考查查. .1.1.平面直角坐平面直角坐标标系中的坐系中的坐标标伸伸缩变换缩变换设设点点P(x,y)P(x,y)是平面直角坐是平面直角坐标标系中的任意一点，在系中的任意一点，在变换变
3、换 x=_x=_， (0)0) y=_ y=_， (0)0)的作用下，点的作用下，点P(x,y)P(x,y)对应对应到点到点P(x,y),P(x,y),称称为为平面直角坐平面直角坐标标系中的坐系中的坐标标伸伸缩变换缩变换，简简称称_._.: :xxyy伸伸缩变换缩变换【即时应用即时应用】在平面直角坐在平面直角坐标标系中，已知系中，已知变换变换: : ，则则点点P(3,2)P(3,2)经过变换经过变换后的点的坐后的点的坐标为标为_;_;椭圆椭圆 经过变换经过变换后的曲后的曲线线方程方程为为_._.【解析解析】点点P(3,2)P(3,2)经过变换经过变换后得到后得到 , ,所以点所以点P(3,2)
4、P(3,2)经过变换经过变换后的点的坐标为后的点的坐标为(1,1).(1,1).由变换由变换: : ，得到，得到 , ,代入椭圆的方程代入椭圆的方程 , ,得得化简，得化简，得xx2 2+y+y2 2=1,=1,即即x x2 2+y+y2 2=1.=1.答案：答案：(1,1) x(1,1) x2 2+y+y2 2=1=12.2.极坐极坐标标系与点的极坐系与点的极坐标标(1)(1)极坐极坐标标系：在平面内取一个定点系：在平面内取一个定点O O，叫做，叫做_，自极点，自极点O O引引一条射一条射线线Ox,Ox,叫做叫做_；再；再选选定一个定一个长长度度单单位、一个角度位、一个角度单单位位( (通常
5、取弧度通常取弧度) )及其及其_(_(通常取逆通常取逆时针时针方向方向) )，这样这样就建立就建立了一个极坐了一个极坐标标系系. .极点极点极极轴轴正方向正方向(2)(2)点的极坐点的极坐标标：对对于极坐于极坐标标系所在平面内的任一点系所在平面内的任一点M M，若，若设设|OM|=(0)|OM|=(0)，以极，以极轴轴OxOx为为始始边边，射，射线线OMOM为终边为终边的角的角为为，则则点点M M可用有序数可用有序数对对_表示表示. .(3)(3)极坐极坐标标与直角坐与直角坐标标的互化公式：的互化公式：设设点点P P的直角坐的直角坐标为标为(x,y)(x,y)，它的极坐，它的极坐标为标为(，)
6、，则则其互化其互化公式公式为为 ， . .(,)(,)【即时应用即时应用】(1)(1)思考：若思考：若0,00,02,2,如何将点的直角坐如何将点的直角坐标标(-3(-3，4)4)化化为为极坐极坐标标？提示提示：由由 ，得，得2 2=x=x2 2+y+y2 2=25, =25, 由于点由于点(-3,4)(-3,4)在第二象限，故在第二象限，故为钝角，为钝角，所以点所以点(-3,4)(-3,4)的极坐标为点的极坐标为点(5,),(5,),其中其中为钝角，为钝角，且且(2)(2)判断下列命判断下列命题题是否正确是否正确.(.(请请在括号中填写在括号中填写“”“”或或“”)”)极坐极坐标标系中点系中
7、点M M的极坐的极坐标标是唯一的是唯一的 ( )( )极坐极坐标为标为(2(2， ) )的点在第一象限的点在第一象限 ( )( )极坐极坐标标系中，点系中，点(3(3， ) )与点与点(3(3， ) )相同相同 ( )( )【解析解析】极坐标系中的点，当极坐标系中的点，当0,2)0,2)时，除极点以时，除极点以外，外，M M的极坐标才是唯一的，当的极坐标才是唯一的，当RR时，时，M M的极坐标不唯一，的极坐标不唯一，故不正确；故不正确；点的极坐标点的极坐标(2(2， ) )中，极角的终边在第二象限，极径大于中，极角的终边在第二象限，极径大于0 0，故点在第二象限，故不正确；，故点在第二象限，故
8、不正确；极坐标系中，点极坐标系中，点(3(3， ) )与点与点(3(3， ) )的极角的终边相同，的极角的终边相同，极径相等，两点相同，所以正确极径相等，两点相同，所以正确. .答案：答案： 3.3.直直线线的极坐的极坐标标方程方程(1)(1)特殊位置的直特殊位置的直线线的极坐的极坐标标方程方程直线直线极坐标方程极坐标方程图形图形过极点，过极点，倾斜角为倾斜角为= _(R)= _(R)或或=_=_(R) (=_(R) (=_和和=_=_(0)(0)过点过点(a,0),(a,0),与极轴垂直与极轴垂直_=a_=a+coscos直线直线极坐标方程极坐标方程图形图形_=a_=a(0(0)过点过点(a
9、, ),(a, ),与极轴平行与极轴平行sinsin(2)(2)一般位置的直一般位置的直线线的极坐的极坐标标方程：若直方程：若直线线l经过经过点点M(M(0 0，0 0) )，且极，且极轴轴到此直到此直线线的角的角为为 ，直，直线线l的极坐的极坐标标方方程程为为：sin(-) =_.sin(-) =_.0 0sin(sin(0 0-)-)【即时应用即时应用】判断下列命判断下列命题题是否正确是否正确.(.(请请在括号中填写在括号中填写“”“”或或“”)”)(1)(1)过过极点的射极点的射线线l上任意一点的极角都是上任意一点的极角都是 ，则则射射线线l的极坐的极坐标标方程方程为为= (0). (
10、)= (0). ( )(2)(2)过过极点，极点，倾倾斜角斜角为为 的直的直线线的极坐的极坐标标方程方程为为= (0). ( )= (0). ( )【解析解析】根据极径的意义根据极径的意义=|OM|=|OM|，可知，可知00；若；若0 0，则，则-0 0，规定点，规定点M(,)M(,)与点与点N(-,)N(-,)关于极点对称，所以关于极点对称，所以可得，可得，(1)(1)过极点的射线过极点的射线l上任意一点的极角都是上任意一点的极角都是 ，则射线，则射线l的极坐标的极坐标方程为方程为= (0). = (0). 所以所以(1)(1)正确正确. .(2)(2)过极点，倾斜角为过极点，倾斜角为 的直
11、线分为两条射线的直线分为两条射线OMOM、OMOM，它们，它们的极坐标方程为的极坐标方程为= = 、= (0)= (0)，所以过极点，倾斜角，所以过极点，倾斜角为为 的直线的极坐标方程为的直线的极坐标方程为= = 和和= (0)(= (0)(也可以表也可以表示为示为= (R).= (R).所以所以(2)(2)不正确不正确. .答案：答案：(1) (2)(1) (2)4.4.半径半径为为r r的的圆圆的极坐的极坐标标方程方程(1)(1)特殊位置的特殊位置的圆圆的极坐的极坐标标方程方程圆心圆心极坐标方程极坐标方程图形图形（0 0，0 0）(r,0)(r,0)=_=_(0(02)2)r r=_=_2
12、rcos2rcos圆心圆心极坐标方程极坐标方程图形图形(r,)(r,)=2rsin=2rsin(0(0)(r, )(r, )=-2rcos=-2rcos圆心圆心极坐标方程极坐标方程图形图形=-2rsin=-2rsin(2)2)(r, )(r, )(2)(2)一般位置的一般位置的圆圆的极坐的极坐标标方程：若方程：若圆圆心心为为M(M(0 0,0 0) )，半径，半径为为r r，则圆则圆的极坐的极坐标标方程是方程是2 2-2-20 0cos(-cos(-0 0)+)+0 02 2-r-r2 2=0.=0.【即时应用即时应用】(1)(1)极坐极坐标标方程方程=4sin(0=4sin(0，00)表示曲
13、表示曲线线的中心的中心的极坐的极坐标为标为_._.(2)(2)圆圆心心为为(2, )(2, )，半径，半径为为3 3的的圆圆的极坐的极坐标标方程方程为为_._.【解析解析】(1)(1)曲线曲线=4sin=4sin，由特殊位置圆的极坐标方程得半，由特殊位置圆的极坐标方程得半径为径为2 2，所以曲线的中心为，所以曲线的中心为(2, ).(2, ).(2)(2)圆心圆心(2(2， ) )的直角坐标为的直角坐标为 ，且半径为，且半径为3 3，所以圆，所以圆的直角坐标方程为的直角坐标方程为 ，即即由公式由公式 ， ，得圆的极坐标方程为，得圆的极坐标方程为答案：答案：(1)(2, ) (2)(1)(2,
14、) (2) 伸伸缩变换缩变换【方法点睛方法点睛】伸伸缩变换缩变换公式的公式的应应用用(1)(1)平面直角坐平面直角坐标标系中，点系中，点P(x,y)P(x,y)在在变换变换: : 的作用下，得到点的作用下，得到点P(x,y)P(x,y)，变换变换简简称称为为伸伸缩变换缩变换. .(2)(2)求曲求曲线经过线经过伸伸缩变换缩变换公式公式变换变换后的曲后的曲线线方程方程时时，通常运用，通常运用“代点法代点法”，一般通，一般通过设过设定定变换变换前与前与变换变换后曲后曲线线上的点的坐上的点的坐标标建立建立联联系，系，这这可以通可以通过过上上标标符号符号进进行区分行区分. .【例例1 1】(1)(1)
15、将正弦曲将正弦曲线线y=sinxy=sinx按按： 变换变换后的函数解后的函数解析式析式为为_；(2)(2)将将圆圆x x2 2+y+y2 2=1=1变换为椭圆变换为椭圆 的一个伸的一个伸缩变换缩变换公式公式为为: : ，则则=_=_，=_.=_.【解题指南解题指南】设变换前的方程的曲线上任意一点的坐标为设变换前的方程的曲线上任意一点的坐标为P(x,y)P(x,y)，变换后对应的点为，变换后对应的点为P(x,y)P(x,y)，代入伸缩变换公式，代入伸缩变换公式即可即可. .【规范解答规范解答】(1)(1)设点设点P(x,y)P(x,y)为正弦曲线为正弦曲线y=sinxy=sinx上的任意一点，
16、在变换上的任意一点，在变换: : 的作用下，点的作用下，点P(x,y)P(x,y)对应到点对应到点P(x,y)P(x,y)，即即: : ，代入，代入y=sinxy=sinx得得2y=sin3x2y=sin3x，所以所以y= sin3xy= sin3x，即，即y= sin3xy= sin3x为所求为所求. .答案：答案：y= sin3xy= sin3x(2)(2)将变换后的椭圆将变换后的椭圆 改写为改写为 ，伸缩变换为，伸缩变换为: : ，代入上式得，代入上式得 ，即即 ，与，与x x2 2+y+y2 2=1=1比较系数得比较系数得 ， . .答案：答案：5 45 4【反思反思感悟感悟】1.1.
17、曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的现的, ,解题时需要区分变换前的点解题时需要区分变换前的点P P的坐标的坐标(x,y)(x,y)与变换后的点与变换后的点PP的坐标的坐标(x,y),(x,y),再利用伸缩变换公式再利用伸缩变换公式建立联系即可建立联系即可. .2.2.已知变换后的曲线方程已知变换后的曲线方程f(x,y)=0,f(x,y)=0,一般都要改写为方程一般都要改写为方程f(x,y)=0f(x,y)=0，再利用换元法确定伸缩变换公式，再利用换元法确定伸缩变换公式. . 极坐极坐标标与直角坐与直角坐标标的互相的互相转
18、转化化【方法点睛方法点睛】1.1.极坐极坐标标与直角坐与直角坐标标互化公式的三个基本前提互化公式的三个基本前提(1)(1)取直角坐取直角坐标标原点原点为为极点；极点；(2)x(2)x轴轴非非负负半半轴为轴为极极轴轴；(3)(3)规规定定长长度度单单位相同位相同2.2.极坐极坐标标与直角坐与直角坐标标的互化公式的互化公式设设点点P P的直角坐的直角坐标为标为(x,y)(x,y)，它的极坐，它的极坐标为标为(,)(,)，根据三角函，根据三角函数的定数的定义义，当，当0 0时时，有：，有： ( (极坐极坐标标化化为为直角坐直角坐标标公式公式) )； ( (直角坐直角坐标标化化为为极坐极坐标标公式公式
19、).).【提醒提醒】当当00时时, ,公式公式也成立也成立, , 因为点因为点M(,)M(,)与点与点M(-,)M(-,)关于极点对称，即点关于极点对称，即点M M的极坐标也就是的极坐标也就是(-,+)(-,+)，此时，有，此时，有 . .【例例2 2】(1)(1)点的极坐点的极坐标标(2, )(2, )化化为为直角坐直角坐标为标为_；(2)(2)若若00，0022，点的直角坐，点的直角坐标标(-2,2)(-2,2)化化为为极坐极坐标为标为_；(3)(3)将极坐将极坐标标方程方程=sin=sin化化为为直角坐直角坐标标方程的方程的标标准形式准形式为为_；(4)(4)将直将直线线方程方程x-y=
20、0x-y=0化化为为极坐极坐标标方程方程为为_._.【解题指南解题指南】由公式由公式 将极坐标化为直角坐标，将极坐标化为直角坐标，由公式由公式 将直角坐标化为极坐标将直角坐标化为极坐标. .【规范解答规范解答】(1)(1)点的极坐标点的极坐标(2, )(2, )化为直角坐标为化为直角坐标为(- ,-1).(- ,-1).答案：答案：(- ,-1)(- ,-1)(2)(2)2 2=x=x2 2+y+y2 2=8=8， 且角且角的终边过点的终边过点(-2(-2，2)2)，点的直角坐标点的直角坐标(-2(-2，2)2)化为极坐标为化为极坐标为答案：答案：(3)(3)由极坐标方程由极坐标方程=sin,
21、=sin,得得2 2=sin,=sin,化为直角坐标方程为化为直角坐标方程为x x2 2+y+y2 2=y,=y,即即答案：答案： (4)(4)将直线方程将直线方程x-y=0x-y=0化为极坐标方程为化为极坐标方程为cos-sin=0,cos-sin=0,即即tan=1,tan=1,答案：答案： 【反思反思感悟感悟】1.1.在把点在把点P P的直角坐标的直角坐标(x,y)(x,y)化为极坐标化为极坐标(,)(,)，求极角，求极角时，时，应注意判断点应注意判断点P P所在的象限所在的象限( (即角即角的终边过点的终边过点(x,y)(x,y)，以便正，以便正确地求出确地求出0 022内的角内的角.
22、2.2.过极点的倾斜角为过极点的倾斜角为 的直线的极坐标方程可以表示为的直线的极坐标方程可以表示为= (R)= (R)，也可以表示为，也可以表示为= = 和和= (0).= (0).2.2.极坐极坐标标方程方程=sin-2cos=sin-2cos所表示的曲所表示的曲线线形状是形状是_._.【解析解析】极坐标方程极坐标方程=sin-2cos=sin-2cos即即2 2=sin-2cos,=sin-2cos,化为直角坐标方程为化为直角坐标方程为x x2 2+y+y2 2=y-2x,=y-2x,即即 , ,这是在直角坐标系中，这是在直角坐标系中，圆心坐标为圆心坐标为(-1, ),(-1, ),半径为
23、半径为 的圆的圆. . 答案答案: :圆圆 极坐极坐标标方程的方程的综综合合题题【方法点睛方法点睛】直直线线与与圆圆的的综综合合问题问题(1)(1)直直线线与与圆圆的位置关系有三种：相离、相切、相交的位置关系有三种：相离、相切、相交. .设圆设圆的半径的半径为为r,r,圆圆心到直心到直线线的距离的距离为为d,d,则则有有: :(2)(2)若直线与圆相交于点若直线与圆相交于点A A、B,B,则弦长公式为则弦长公式为直线与圆的直线与圆的位置关系位置关系公共点公共点的个数的个数d d与与r r的关系的关系图形图形相离相离相切相切相交相交无无d dr r一个一个d=rd=r两个两个d dr r【例例3
24、 3】(1)(1)在极坐在极坐标标系中，系中，圆圆=2cos=2cos与直与直线线3cos+4sin+a=03cos+4sin+a=0相切，相切，则实则实数数a=_.a=_.(2)(2)在极坐在极坐标标系中，已知曲系中，已知曲线线C C1 1与与C C2 2的极坐的极坐标标方程分方程分别为别为=2sin=2sin与与cos=-1(0 2)cos=-1(0 2)，则则两曲两曲线线( (含直含直线线) )的公的公共点共点P P的极坐的极坐标为标为_,_,过过点点P P被曲被曲线线C C1 1截得弦截得弦长为长为 的直的直线线的的极坐极坐标标方程方程为为_._.【解题指南解题指南】(1)(1)将直线
25、和圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再进行计算将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再进行计算. .(2)(2)利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求点的极坐标；利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求点的极坐标；利用数形结合思想，转化为几何性质解决利用数形结合思想，转化为几何性质解决. .【规范解答规范解答】(1)(1)由圆由圆=2cos=2cos得得2 2=2cos,=2cos, , ,2 2=x=x2 2+y+y2 2, ,所以圆所以圆=2cos=2cos与直线与直线3cos+4sin+a=03cos+4sin+a=0的直角坐标方的直角坐标方程分别为程分别为x x2 2+y+y2 2=
26、2x,3x+4y+a=0.=2x,3x+4y+a=0.将圆的方程配方得将圆的方程配方得(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1,=1,依题意，得圆心依题意，得圆心C(1C(1，0)0)到直线的距离为到直线的距离为1 1，即即 , ,整理，得整理，得3+a3+a=5=5，解得解得a=2a=2或或a=-8.a=-8.所以实数所以实数a a的值为的值为2 2或或-8.-8.答案：答案：2 2或或-8-8(2)(2)由公式由公式 , ,得曲线得曲线C C1 1:=2sin:=2sin与与C C2 2:cos=-1(0:cos=-1(02)2)的直角坐标方程分别为的直角坐标方程分别为x x2 2+y
27、+y2 2=2y,x=-1.=2y,x=-1.联立方程组，解得联立方程组，解得 . .由公式由公式得点得点P(-1,1)P(-1,1)的极坐标为的极坐标为方法一：由上述可知，曲线方法一：由上述可知，曲线C C1 1：=2sin=2sin即圆即圆x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1，如图所示，如图所示，过过P(-1,1)P(-1,1)被曲线被曲线C C1 1截得弦长为截得弦长为 的直线有两条：一条过原点的直线有两条：一条过原点O O，倾斜角为，倾斜角为 , ,直线的普通方程为直线的普通方程为y=-x,y=-x,极坐标方程为极坐标方程为= (R);= (R);另一条过点另一条过点A(
28、0,2)A(0,2)，倾斜角为，倾斜角为 ，直线的普通方程为，直线的普通方程为y=x+2y=x+2，极坐标方程为极坐标方程为(sin-cos)=2(sin-cos)=2，即，即sin(- )= .sin(- )= .方法二：由上述可知，曲线方法二：由上述可知，曲线C C1 1：=2sin=2sin，即圆即圆x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1，过点，过点P( , )P( , )被曲线被曲线C C1 1截得弦长为截得弦长为 的直的直线有两条：一条过原点线有两条：一条过原点O O，倾斜角为，倾斜角为 ，极坐标方程为，极坐标方程为= (R)= (R)；另一条倾斜角为另一条倾斜角为 ，极
29、坐标方程为，极坐标方程为sin(- )sin(- )= =即即sin(- )= .sin(- )= .答案答案: :( ( ， ) = (R) = (R)或或sin(- )= sin(- )= 【解析解析】由公式由公式 ，得曲线，得曲线C C1 1：=2sin=2sin与与C C2 2：=-cos(0 2)=-cos(0 2)的直角坐标方程分别为的直角坐标方程分别为x x2 2+y+y2 2=2y,x=2y,x2 2+y+y2 2=-x=-x联立方程，联立方程，解得解得 , , ,得交点坐标为得交点坐标为(0,0), (0,0), 所以两曲线的公共弦长等于所以两曲线的公共弦长等于答案答案: :
30、【反思反思感悟感悟】有关直线与圆的极坐标方程的综合问题有关直线与圆的极坐标方程的综合问题, ,常常转化为直角坐标方常常转化为直角坐标方程程, ,如果结合几何图形如果结合几何图形, ,利用几何法进行判断和计算利用几何法进行判断和计算, ,有时可使问有时可使问题简便题简便. .即即x x2 2+y+y2 2-4x=0-4x=0为圆为圆O O1 1的直角坐标方程的直角坐标方程同理同理x x2 2+y+y2 2+y=0+y=0为圆为圆O O2 2的直角坐标方程的直角坐标方程 由由 相减相减, ,得过交点的直线的直角坐标方程为得过交点的直线的直角坐标方程为4x+y=04x+y=0答案答案: : 4x+y=0 4x+y=0同学们来学校和回家的路上要注意安全同学们来学校和回家的路上要注意安全
