2022年初中数学专题特训第二十七讲：相似图形

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1、中考数学专题复习第二十七讲相似图形【基础知识回顾】一、 成比例线段：1、线段的比：如果选用同一长度的 两条线段，的长度分别为m、n 则这两条线段的比就是它们的比，即：ABCD=2、比例线段：四条线段a、b、c、d 如果ab=那么四条线段叫做同比例线段，简称3、比例的基本性质：ab=cd 4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线【赵老师提醒：1、表示两条线段的比时，必须示用相同的，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的无关即比值没有2、 全分割：点 C 把线段 AB 分成两条， 线段 AC 和 BC （ACBC ） 如果那么称线段AB 被点 C 全分割 AC 与 AB 的比叫全比，即LA

2、CAB= 】二、相似三角形：1、定义：如果两个三角形的各角对应各边对应那么这两个三角形相似2、性质：相似三角形的对应角对应边相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应的比都等于相似三角形周长的比等于面积的比等于1、 判定：基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似两边对应且夹角的两三角形相似两角的两三角形相似三组对应边的比的两三角形相似【赵老师提醒：1、全等是相似比为的特殊相似2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等相等一般要先证判定方法中最常用的是三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】三、相似多边形：1、定义：各角对应各边对应的两

3、个多边形叫做相似多边形2、性质：相似多边形对应角对应边相似多边形周长的比等于面积的比等于【赵老师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】一、 位似：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 41 页1、定义：如果两个图形不仅是而且每组对应点所在直线都经过那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做这时相似比又称为2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于【赵老师提醒：1、位似图形一定是图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点

4、为位似中心，相似比位r，那么位似图形对应点的坐标的比等于或】【典型例题解析】考点一：比例线段例 1 （2012?福州） 如图，已知ABC ， AB=AC=1 ， A=36 ， ABC的平分线BD 交AC 于点 D，则 AD 的长是，cosA 的值是 （结果保留根号）考点： 黄金分割 ； 相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义分析：可以证明ABC BDC ，设 AD=x ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x 的值；过点 D 作 DEAB 于点 E，则 E 为 AB 中点，由余弦定义可求出cosA 的值解答：解：ABC ，AB=AC=1 ， A=36 ， ABC= ACB=1

5、802A=72 BD 是 ABC 的平分线， ABD= DBC=12ABC=36 A=DBC=36 ，又 C=C ABC BDC ，ACBC=BCCD，设 AD=x ，则 BD=BC=x 则11xxx，解得： x=152（舍去）或152故 x=152如右图，过点D 作 DEAB 于点 E，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 41 页AD=BD ，E 为 AB 中点，即AE=12AB=12在 RtAED 中， cosA=12512AEAD=514故答案是：152；514点评： ABC 、 BCD 均为黄金三角形，利用相似关系可

6、以求出线段之间的数量关系；在求 cosA 时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解对应训练2 （ 2012?孝感）如图，在ABC 中， AB=AC ， A=36 ，BD 平分 ABC 交 AC 于点 D，若 AC=2 ，则 AD 的长是（）A512B512C51D51考点： 黄金分割 分析： 根据两角对应相等，判定两个三角形相似再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出 BD 的长解答：解：A= DBC=36 ， C 公共， ABC BDC ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 41 页且 AD=BD=BC 设 B

7、D=x ，则 BC=x ，CD=2-x 由于BCACCDBC，22xxx整理得： x2+2x-4=0，解方程得： x=-15，x 为正数，x=-1+5故选 C点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出BD 的长考点二：相似三角形的性质及其应用例 2 （2012?重庆） 已知 ABC DEF，ABC 的周长为3，DEF 的周长为1，则 ABC与 DEF 的面积之比为考点： 相似三角形的性质专题： 探究型 分析：先根据相似三角形的性质求出其相似比，再根据面积的比等于相似比的平方进行解答即可解答：解：ABC DEF，

8、 ABC 的周长为3， DEF 的周长为1，三角形的相似比是3： 1， ABC 与 DEF 的面积之比为9：1故答案为： 9：1点评：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方对应训练2 （ 2012?沈阳）已知ABC A B C，相似比为3：4， ABC 的周长为6，则 A B C的周长为考点： 相似三角形的性质专题： 应用题 分析：根据相似三角形周长的比等于相似比计算即可得解解答：解：ABC ABC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 41 页 ABC

9、的周长： ABC的周长 =3：4， ABC 的周长为6， ABC的周长 =643=8故答案为： 8点评： 本题主要考查了相似三角形周长的比等于相似比的性质，是基础题， 熟记性质是解题的关键考点三：相似三角形的判定方法及其应用例 3 （2012?徐州）如图，在正方形ABCD 中， E 是 CD 的中点，点F 在 BC 上，且 FC= 14BC图中相似三角形共有（）A1 对B2 对C3 对D4 对考点： 相似三角形的判定；正方形的性质 分析：首先由四边形ABCD 是正方形， 得出 D= C=90 ，AD=DC=CB ，又由 DE=CE ，FC= 14BC，证出 ADE ECF，然后根据相似三角形的

10、对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出AEF ADE ，则可得 AEF ADE ECF，进而可得出结论解答：解：图中相似三角形共有3 对理由如下：四边形 ABCD 是正方形， D=C=90 ，AD=DC=CB ，DE=CE ，FC=14BC，DE：CF=AD ：EC=2：1， ADE ECF，AE：EF=AD ：EC， DAE= CEF，AE：EF=AD ：DE，即 AD ： AE=DE ：EF， DAE+ AED=90 ， CEF+ AED=90 ， AEF=90 ， D=AEF， ADE AEF， AEF ADE ECF，即 ADE ECF， ADE AEF， AEF ECF故选 C

11、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 41 页点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质此题难度适中，解题的关键是证明 ECF ADE ，在此基础上可证AEF ADE 例 4 16 （2012?资阳） （1）如图（1） ，正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形ABCD 的边上，直接写出 HD ：GC：EB 的结果（不必写计算过程）；（2）将图（ 1）中的正方形AEGH 绕点 A 旋转一定角度，如图（2） ，求 HD：GC：EB；（3）把图（ 2）中的正方形都换成矩形，如图（3） ，且已知DA： AB=HA

12、：AE=m ：n，此时 HD ：GC： EB 的值与（ 2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）考点： 相似三角形的判定与性质； 全等三角形的判定与性质；勾股定理 ；等腰直角三角形；正方形的性质 分析： （1）首先连接AG ，由正方形AEGH 的顶点 E、H 在正方形ABCD 的边上，易证得GAE= CAB=45 ，AE=AH ， AB=AD ， 即 A， G， C 共线，继而可得 HD=BE ， GC= 2BE，即可求得 HD ：GC：EB 的值；（2）连接 AG、AC ，由 ADC 和 AHG 都是等腰直角三角形，易证得DAH CAG 与DAH BAE

13、 ，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得HD ：GC：EB 的值；（3）由矩形AEGH 的顶点 E、H 在矩形 ABCD 的边上，由DA： AB=HA ：AE=m ：n，易证得 ADC AHG ，DAH CAG， ADH ABE ，利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即可求得HD ：GC：EB 的值解答：解：（ 1）连接 AG ，正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形ABCD 的边上， GAE= CAB=45 ，AE=AH，AB=AD，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 41 页A，G，C 共线， AB

14、-AE=AD-AH，HD=BE ，AG=sin45AE=2AE，AC=sin45AB=2AB ，GC=AC-AG=2AB-2AE=2（AB-AE ）=2BE，HD ：GC：EB=1：2：1。（2）连接 AG、 AC， ADC 和 AHG 都是等腰直角三角形，AD ：AC=AH ：AG=1 ：2， DAC= HAG=45 ， DAH= CAG， DAH CAG ，HD ：GC=AD ：AC=1 ：2， DAB= HAE=90 ， DAH= BAE，在 DAH 和 BAE 中，ADABDAHBAEAHAE， DAH BAE （SAS） ，HD=EB ，HD ：GC：EB=1：2：1；（3）有变化，

15、连接 AG 、AC，矩形 AEGH 的顶点 E、H 在矩形 ABCD 的边上， DA ：AB=HA ：AE=m ：n， ADC= AHG=90 ， ADC AHG ，AD ：AC=AH ：AG=m ：22mn， DAC= HAG ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 41 页 DAH= CAG， DAH CAG ，HD ：GC=AD ：AC=m ：22mn， DAB= HAE=90 ， DAH= BAE，DA ：AB=HA ：AE=m ： n， ADH ABE ，DH ：BE=AD ：AB=m ：n，HD ：GC：EB=m：

16、22mn： n点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、 全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识此题综合性较强，难度较大， 注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用对应训练3. （2012?攀枝花）如图，ABC ADE且 ABC= ADE ， ACB= AED ，BC 、DE交于点 O则下列四个结论中，1=2； BC=DE ； ABD ACE； A、O、C、E 四点在同一个圆上，一定成立的有（）A1 个B2 个C3 个D4 个考点： 相似三角形的判定；全等三角形的性质；圆周角定理 分析：由 ABC ADE 且 ABC= ADE ， ACB= AED ，根据全等三

17、角形的性质，即可求得 BC=DE ， BAC= DAE ， 继而可得 1=2， 则可判定正确； 由 ABC ADE ，可得 AB=AD ，AC=AE ，则可得AB： AC=AD ： AE，根据有两边对应成比例且夹角相等三角 形 相 似 ， 即 可 判 定 正 确 ； 易 证 得 AEF DCF与 AOF CEF， 继 而 可 得OAC+ OCE=180 ，即可判定A、O、C、E 四点在同一个圆上解答：解：ABC ADE 且 ABC= ADE ， ACB= AED ， BAC= DAE ，BC=DE ，故正确； BAC- DAC= DAE- DAC ，即 1=2，故正确； ABC ADE ，AB

18、=AD ， AC=AE ，ABADACAE， 1=2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 41 页 ABD ACE ，故正确； ACB= AEF， AFE= OFC， AFE OFC，AFEFOACF， 2=FOC，即AFOFEFCF， AFO= EFC， AFO EFC， FAO= FEC， EAO+ ECO=2+FAO+ECO=FOC+FEC+ECO=180 ，A、O、C、E 四点在同一个圆上，故正确故选 D点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质以及四点共圆的知识此题难度较大，注意数形结合思想的应用，

19、注意找到相似三角形是解此题的关键4. （2012?义乌市）在锐角ABC 中， AB=4 ，BC=5 ， ACB=45，将 ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到A1BC1（1）如图 1，当点 C1在线段 CA 的延长线上时，求CC1A1的度数；（2）如图 2，连接 AA1，CC1若 ABA1的面积为 4，求 CBC1的面积；（3）如图 3，点 E 为线段 AB 中点，点P 是线段 AC 上的动点，在ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值考点： 相似三角形的判定与性质； 全等三角形的判定与性质；旋转的性质 专题： 几何综合题 分析：

20、（1）由由旋转的性质可得：A1C1B= ACB=45，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得 CC1A1的度数；（2）由 ABC A1BC1，易证得 ABA1 CBC1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得CBC1的面积；（3）由当P 在 AC 上运动至垂足点D， ABC 绕点 B 旋转，使点P 的对应点P1在线段精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 41 页AB 上时， EP1最小，当P 在 AC 上运动至点C， ABC 绕点 B 旋转，使点P 的对应点P1在线段 AB 的延长线上时，EP1最大，即可求

21、得线段EP1长度的最大值与最小值解答：解：（ 1）由旋转的性质可得：A1C1B=ACB=45，BC=BC1， CC1B= C1CB=45 ，. （2 分） CC1A1= CC1B+A1C1B=45 +45 =90 （2） ABC A1BC1，BA=BA1，BC=BC1， ABC= A1BC1，11BABABCBC， ABC+ ABC1=A1BC1+ABC1， ABA1=CBC1， ABA1 CBC11122416()( )525ABACBCSABSBC，SABA1=4，SCBC1=254；（3）如图1，过点 B 作 BDAC ，D 为垂足， ABC 为锐角三角形，点 D 在线段 AC 上，在

22、RtBCD 中， BD=BC sin45 =522，当 P 在 AC 上运动与AB 垂直的时候，ABC 绕点 B 旋转，使点P 的对应点P1在线段 AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 41 页上时， EP1最小，最小值为：EP1=BP1-BE=BD-BE=522-2；当 P 在 AC 上运动至点C， ABC 绕点 B 旋转，使点P 的对应点P1在线段 AB 的延长线上时， EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=2+5=7 点评： 此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用

23、此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系考点四：位似例 5 （ 2012?玉林）如图，正方形ABCD 的两边 BC，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上， 正方形 A B C D与正方形ABCD 是以 AC 的中点 O 为中心的位似图形，已知 AC=32， 若点 A 的坐标为（1， 2） ， 则正方形ABCD与正方形ABCD 的相似比是 （）A16B13C12D23考点： 位似变换 ； 坐标与图形性质分析：延长AB交 BC 于点 E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比解答：解：在正方形ABCD 中， AC=32

24、BC=AB=3 ，延长 AB交 BC 于点 E，点 A 的坐标为（ 1，2） ，OE=1，EC=A E=3-1=2，正方形 ABCD的边长为1，正方形 ABCD与正方形ABCD 的相似比是13故选 B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 41 页点评：本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长对应训练5 （ 2012?咸宁）如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形， O 为位似中心，相似比为 1：2，点 A 的坐标为（ 1，0） ，则 E 点的坐标为（）A （2，0）B

25、 （3 3,)2 2C(2,2)D(2, 2)考点： 位似变换 ； 坐标与图形性质分析：由题意可得OA： OD=1：2，又由点 A 的坐标为（ 1，0） ，即可求得OD 的长，又由正方形的性质，即可求得E 点的坐标解答： 解：正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形， O 为位似中心， 相似比为1：2，OA ：OD=1：2，点 A 的坐标为（ 1，0） ，即 OA=1 ，OD=2，四边形 ODEF 是正方形，DE=OD=2E 点的坐标为： （2，2） 故选 C点评： 此题考查了位似变换的性质与正方形的性质此题比较简单， 注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键精选学习资料 - -

26、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 41 页【聚焦山东中考】1 （2012?潍坊）已知矩形ABCD 中，AB=1 ，在 BC 上取一点E，沿 AE 将 ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD= （）A512B512C3D2 考点： 相似多边形的性质；翻折变换（折叠问题） 分析：可设AD=x ，根据四边形EFDC 与矩形 ABCD 相似，可得比例式，求解即可解答：解： AB=1 ，设 AD=x ，则 FD=x-1 ，FE=1，四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，EFADADA

27、B，111xx，解得 x1=152，x2=152（负值舍去） ，经检验 x1=152是原方程的解故选 B点评：考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形 ABCD 相似得到比例式2 （2012?东营）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点 O 在坐标原点，边OA 在 x 轴上， OC 在 y 轴上，如果矩形OA BC与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形OA BC的面积等于矩形 OABC 面积的14，那么点B 的坐标是（）A （-2，3）B （2， -3）C （3，-2）或（ -2，3）D （-2，3）或（ 2，-3）精选学习资料 - - - -

28、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 41 页考点： 相似多边形的性质；坐标与图形性质分析： 由矩形 OA BC与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形 OA BC的面积等于矩形OABC面积的14，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形OA BC与矩形OABC 的位似比为1： 2，又由点B 的坐标为（ -4，6） ，即可求得答案解答：解：矩形OA BC与矩形 OABC 关于点 O 位似，矩形 OA BC矩形 OABC ，矩形 OA BC的面积等于矩形OABC 面积的14，位似比为： 1：2，点 B 的坐标为（ -4，6） ，点 B 的坐

29、标是：（-2，3）或（ 2，-3） 故选 D点评： 此题考查了位似图形的性质此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用3. （ 2012?日照） 在菱形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点， 连接 AE 交 BD 于点 F，若 EC=2BE ，则BFFD的值是（）A12B13C14D15考点： 相似三角形的判定与性质； 菱形的性质 分析：根据菱形的对边平行且相等的性质，判断BEF DAF ，得出BFFD= BEAD，再根据 BE 与 BC 的数量关系求比值解答：解：如图，在菱形 ABCD 中， AD BC，且 AD

30、=BC ， BEF DAF ，BFFD= BEAD，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 41 页又 EC=2BE ，BC=3BE ，即 AD=3BE ，BFFD= BEAD=13，故选 B点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质 关键是由平行线得出相似三角形，由菱形的性质得出线段的长度关系4.（2012?德州）为了测量被池塘隔开的A，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB BE， EFBE，AF 交 BE 于 D，C 在 BD 上有四位同学分别测量出以下四组数据： BC，ACB ； CD， AC

31、B ， ADB ； EF，DE ，BD； DE，DC，BC能根据所测数据，求出A，B 间距离的有（）A1 组B2 组C3 组D4 组 F 考点： 相似三角形的应用；解直角三角形的应用分析：根据三角形相似可知，要求出AB ，只需求出EF 即可所以借助于相似三角形的性质，根据EFFDABBD即可解答解答：解：此题比较综合，要多方面考虑，因为知道 ACB 和 BC 的长，所以可利用ACB 的正切来求AB 的长；可利用 ACB 和 ADB 的正切求出AB；，因为 ABD EFD 可利用EFFDABBD，求出 AB ；无法求出A，B 间距离故共有 3 组可以求出A，B 间距离故选 C点评：本题考查相似三

32、角形的应用和解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出5 （ 2012?威海）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为（4，0） ， （8，2） ，（6，4） 已知 A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3） ， （2，5） ，若 ABC 与 A1B1C1位似，则 A1B1C1的第三个顶点的坐标为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 41 页考点： 位似变换 ； 坐标与图形性质分析：首先由题意可求得直线AC 、AB 、BC 的解析式与过点（1

33、，3） ， （2，5）的直线的解析式，即可知过这两点的直线与直线AC 平行，则可分别从若A 的对应点为A1（1，3） ，C 的对应点为C1（2，5）与若C 的对应点为A1（1，3） ，A 的对应点为C1（2，5）去分析求解，即可求得答案解答：解：设直线AC 的解析式为：y=kx+b ， ABC 的顶点坐标分别为（4，0） ， （8，2） ， （6，4） ，4064kbkb，解得：28kb，直线 AC 的解析式为： y=2x-8 ，同理可得：直线AB 的解析式为： y=12x-2，直线 BC 的解析式为：y=-x+10 ， A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3） ， （2，5） ，过这两点的直

34、线为：y=2x+1，过这两点的直线与直线AC 平行，若 A 的对应点为A1（1，3） ，C 的对应点为C1（2，5） ，则 B1C1BC ，B1A1BA ，设直线 B1C1的解析式为y=-x+a，直线 B1A1的解析式为y=12x+b，-2+a=5，12+b=3，解得： a=7，b=52，直线 B1C1的解析式为y=-x+7 ，直线 B1A1的解析式为y=12x+52，则直线 B1C1与直线 B1A1的交点为：（3，4） ；若 C 的对应点为A1（1，3） ，A 的对应点为C1（2，5） ，则 B1A1BC，B1C1BA ，设直线 B1C1的解析式为y=12x+c，直线 B1A1的解析式为y=

35、-x+d ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 41 页12 2+c=5， -1+d=3，解得： c=4，d=4，直线 B1C1的解析式为y=12x+4，直线 B1A1的解析式为y=-x+4 ，则直线 B1C1与直线 B1A1的交点为：（0，4） A1B1C1的第三个顶点的坐标为（3， 4）或（ 0，4） 故答案为：（ 3，4）或（ 0，4） 点评：此题考查了位似图形的性质此题难度适中， 注意掌握位似图形的对应线段互相平行，注意掌握待定系数法求一次函数解析式的知识，注意分类讨论思想与数形结合思想的应用6 （2012?菏泽）

36、如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，ABC 和 DEF 的顶点都在格点上， P1，P2，P3，P4， P5是 DEF 边上的 5 个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形ABC 为直角三角形；（2）判断 ABC 和 DEF 是否相似，并说明理由；（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的 3 个格点并且与ABC 相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）考点： 作图 相似变换 ；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定分析： （1）利用网格借助勾股定理得出AB=25，AC=5，BC=5 ，再利用勾股定理逆定理得出答案即可；（2）利用AB=25，AC=5

37、，BC=5 以及 DE=42，DF=22，EF=210，利用三角形三边比值关系得出即可；（3）根据 P2P4 P5三边与 ABC 三边长度得出答案即可解答：解：（ 1）根据勾股定理，得AB=25，AC=5，BC=5 ；显然有 AB2+AC2=BC2，根据勾股定理的逆定理得ABC 为直角三角形；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 41 页（2） ABC 和 DEF 相似根据勾股定理，得AB=25，AC=5，BC=5，DE=42，DF=22，EF=21052 2ABACBCDEDFEF， ABC DEF（3）如图：连接P2P5

38、，P2P4， P4P5，P2P5=10，P2P4=2，P4P5=22，AB=25，AC=5， BC=5，254524105P PP PP PBCABAC， ABC P2P4 P5点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理与逆定理应用，根据已知得出三角形各边长度是解题关键【备考真题过关】一、选择题1 （ 2012?凉山州）已知513ba，则abab的值是（）A23B32C94D49考点： 比例的性质 分析：先设出b=5k ，得出 a=13k，再把 a，b 的值代入即可求出答案解答：解：令a，b 分别等于13 和 5，513ba，a=13，abab=13541359；故选 D点评： 此题考查

39、了比例的性质此题比较简单， 解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 41 页形2 （ 2012?天门）如图，ABC 为等边三角形，点E 在 BA 的延长线上，点D 在 BC 边上，且 ED=EC若 ABC 的边长为4，AE=2 ，则 BD 的长为（）A2 B3 C3D31考点： 平行线分线段成比例；等腰三角形的性质；等边三角形的性质分析：延长BC 至 F 点，使得CF=BD ，证得 EBD EFC 后即可证得B=F，然后证得 ACEF，利用平行线分线段成比例定理证得CF=EA 后即可求得B

40、D 的长解答：解：延长BC 至 F 点，使得CF=BD ，ED=EC EDB= ECF EBD EFC B=F ABC 是等边三角形， B=ACB ACB= F AC EF AE=CF=2 BD=AE=CF=2 故选 A点评：本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线3 （2012?宁德）如图， 在矩形 ABCD 中，AB=2 ，BC=3 ，点 E、F、G、H 分别在矩形ABCD的各边上， EFAC HG，EHBDFG，则四边形EFGH 的周长是（）A10B13C2 10D2 13精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

41、-第 19 页，共 41 页考点： 平行线分线段成比例；勾股定理 ；矩形的性质 分析： 根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例定理列式表示出EF、EH 的长度之和，再根据四边形EFGH 是平行四边形，即可得解解答：解：在矩形ABCD 中， AB=2，BC=3 ，根据勾股定理，AC=BD=22222313ABBC，EFAC HG，EFEBACAB，EHBD FG，EHAEBDAB，EFEHEBAEACBDABAB=1，EF+EH=AC=13，EFHG，EHFG，四边形 EFGH 是平行四边形，四边形 EFGH 的周长 =2（EF+EH ）=213故选 D点

42、评： 本题考查了平行线分线段成比例定理，矩形的对角线相等，勾股定理，根据平行线分线段成比例定理求出EFEHACBD1 是解题的关键，也是本题的难点4 （ 2012?柳州）小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB 在乙图中的对应线段是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 41 页AFG BFH CEH DEF 考点： 相似图形 分析：观察图形，先找出对应顶点，再根据对应顶点的连线即为对应线段解答解答：解：由图可知，点A、E 是对应顶点，点 B、F 是对应顶点，点 D、H 是对应顶点，所以，甲图中的线段AB

43、 在乙图中的对应线段是EF故选 D点评：本题考查了相似图形，根据对应点确定对应线段，所以确定出对应点是解题的关键5.（2012?铜仁地区）如图，六边形ABCDEF 六边形GHIJKL ，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A E=2 K BBC=2HI C六边形ABCDEF 的周长 =六边形 GHIJKL 的周长DS六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL考点： 相似多边形的性质专题： 探究型 分析：根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可解答：解： A、六边形ABCDEF 六边形GHIJKL ， E=K，故本选项错误；B、六边形ABCDEF 六边形 GHIJKL ，相似比为2：1，

44、BC=2HI ，故本选项正确；C、六边形ABCDEF 六边形GHIJKL ，相似比为2：1，六边形 ABCDEF 的周长 =六边形 GHIJKL 的周长 2，故本选项错误；D、六边形ABCDEF 六边形GHIJKL ，相似比为2：1，S六边形ABCDEF=4S六边形GHIJKL，故本选项错误故选 B点评： 本题考查的是相似多边形的性质，即两个相似多边形的对应角相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方6. （2012?荆州）下列4 4 的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与 ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）精选学习资料 - - - - - - - -

45、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 41 页ABCD考点： 相似三角形的判定专题： 网格型 分析：根据勾股定理求出ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案解答：解：根据勾股定理，AB=2222=22，BC=2211=2，AC=221310，所以 ABC 的三边之比为2：22：10=1：2：5，A、三角形的三边分别为2，221310，2233=32，三边之比为2：10：32=2：5：3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2， 4，2224=25，三边之比为2：4：25=1：2：5，故本

46、选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，2223=13，三边之比为2：3：13，故本选项错误；D、三角形的三边分别为2212=5，2223=13，4，三边之比为5：13：4，故本选项错误故选 B点评：本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键7. （2012?海南）如图，点D 在 ABC 的边 AC 上，要判定 ADB 与 ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（）A ABD= C B ADB= ABC CABCBBDCDDADABABAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

47、 - -第 22 页，共 41 页考点： 相似三角形的判定分析：由 A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A 与 B 正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D 正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用解答：解：A 是公共角，当 ABD= C 或 ADB= ABC 时， ADB ABC（有两角对应相等的三角形相似）；故 A 与 B 正确；当ADABABAC时， ADB ABC （两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似） ；故 D 正确；当ABCBBDCD时， A 不是夹角，故不能判定ADB 与 ABC 相似，故 C 错误故选 C点评：

48、此题考查了相似三角形的判定此题难度不大， 注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用8 （2012?遵义） 如图， 在 ABC 中，EFBC，12AEEB，S四边形BCFE=8，则 SABC=（）A9 B10 C12 D13 考点： 相似三角形的判定与性质专题： 计算题 分析： 求出AEAB的值， 推出 AEF ABC ，得出19SAEFABCS，把 S四边形BCFE=8 代入求出即可解答：解：12AEEB，AEAB=11123，EFBC， AEF ABC ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

49、- -第 23 页，共 41 页211( )39SAEFABCS，9SAEF=SABC，S四边形BCFE=8，9（SABC-8）=SABC，解得： SABC=9故选 A点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意： 相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目9. （2012?宜宾）如图，在四边形ABCD 中， DCAB， CBAB ，AB=AD ，CD= 12AB ，点 E、F分别为 AB 、AD 的中点，则 AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（）A17B16C15D14考点： 相似三角形的判定与性质； 三角形的面积 ；三角形中位线定理分析：根据三角

50、形的中位线求出EF= 12BD ， EFBD ，推出AEF ABD ，得出14S AEFABDS，求出112122DCBCSABBC CDBABDS，即可求出AEF 与多边形BCDFE 的面积之比解答：解：连接BD，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 41 页F、E 分别为 AD 、AB 中点，EF=12BD，EFBD ， AEF ABD ，14S AEFABDS， AEF 的面积：四边形EFDB 的面积 =1：3，CD=12AB ，CBDC，AB CD，112122DCBCSABBCCDB ABDS， AEF 与多边形B

51、CDFE 的面积之比为1： （1+4）=1：5，故选 C点评： 本题考查了三角形的面积，三角形的中位线等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中10 （2012?钦州）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（）A点 M B点 N C点 O D点 P 考点： 位似变换 专题： 网格型 分析： 根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心即位似中心一定在对应点的连线上解答：解：点P 在对应点M 和点 N 所在直线上，故选： D点评：此题主要考查了位似图形的概念，根据位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上得出是解题关键11 （2012?毕

52、节地区）如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位中心，将ABO 扩大到原来的 2 倍，得到 ABO 若点 A 的坐标是（ 1，2） ，则点 A 的坐标是（）A （2，4）B （-1，-2）C （ -2，-4）D （-2，-1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 41 页考点： 位似变换 ； 坐标与图形性质分析：根据以原点O 为位中心，将ABO 扩大到原来的2 倍，即可得出对应点的坐标应应乘以 -2，即可得出点A 的坐标解答：解：根据以原点O 为位中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应应乘以-2，故点 A 的坐标是（ 1，

53、2） ，则点 A 的坐标是（ -2，-4） ，故选： C点评：此题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k 或-k 是解题关键二、填空题12 （2012?宿迁）如图，已知P 是线段 AB 的黄金分割点，且PAPB，若 S1表示 PA 为一边的正方形的面积， S2表示长是AB ， 宽是 PB 的矩形的面积， 则 S1S2（填“ ”“=”或“ ” ）考点： 黄金分割 分析：根据黄金分割的定义得到PA2=PB?AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=PA2，S2=PB?AB，即可得到S1=S2解答：解： P 是线段 AB 的黄金分割点，且PA PB，PA2=PB?AB，又 S

54、1表示 PA 为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是 PB 的矩形的面积，S1=PA2，S2=PB?AB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 41 页S1=S2故答案为 =点评： 本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点14.（2012?自贡）正方形ABCD 的边长为1cm，M、N 分别是 BC 、CD 上两个动点，且始终保持AM MN ，当BM= cm 时，四边形ABCN的面积最大，最

55、大面积为cm2考点： 相似三角形的判定与性质； 二次函数的最值；正方形的性质分析：设 BM=xcm ，则 MC=1-xcm ，当 AM MN 时，利用互余关系可证ABM MCN ，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN 的面积， 用二次函数的性质求面积的最大值解答：解：设BM=xcm ，则 MC=1-xcm ， AMN=90 ，AMB+ NMC=90 ， NMC+ MNC=90 ， AMB=90 -NMC= MNC ， ABM MCN，则ABBMMCCN，即11xxCN，解得 CN=(1)(1)1xxxx，S四边形ABCN=12 1 1+x（ 1-x）=- 12x2+12x+1

56、2，-120，当 x=-112122 ()2cm 时， S四边形ABCN最大，最大值是-12 （12）2+1212+12=58cm2故答案是：12，58点评： 本题考查了二次函数的性质的运用关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式15. （2012?资阳）如图， O 为矩形 ABCD 的中心， M 为 BC 边上一点， N 为 DC 边上一点，ONOM ， 若 AB=6 ， AD=4 ， 设 OM=x ， ON=y ， 则 y 与 x 的函数关系式为。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 41 页考点： 相似

57、三角形的判定与性质； 矩形的性质 分析：求两条线段的关系，把两条线段放到两个三角形中，利用两个三角形的关系求解解答：解：如图，作OF BC 于 F， OECD 于 E，ABCD 为矩形 C=90 OFBC，OECD EOF=90 EON+FON=90 ONOM EON=FOM OEN OFM OEONOFOMO 为中心6342OFABOEAD, 32OMON, 即 y=23x，故答案为： y=23x，点评： 此题主要考查的是相似三角形的判定与性质，解题的关键是合理的在图中作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质16.（2012?镇江）如图， E 是 ?ABCD 的边 CD 上一点，连接A

58、E 并延长交BC 的延长线于点F，且 AD=4 ，13CEAD，则 CF 的长为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 41 页考点： 相似三角形的判定与性质； 平行四边形的性质分析：由四边形ABCD是平行四边形，即可得BC=AD=4 ， ABCD ，继而可证得FEC FAB，由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案解答：解：四边形ABCD 是平行四边形，BC=AD=4 ，ABCD， FEC FAB，13CFCEBFAB，12CFBC，CF=12BC=12 4=2故答案为： 2点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四

59、边形的性质此题难度不大， 注意掌握数形结合思想的应用17.（2012?泰州）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD 相交于点P，则 tanAPD 的值是考点： 相似三角形的判定与性质； 勾股定理 ；锐角三角函数的定义分析：首先连接BE，由题意易得BF=CF ， ACP BDP ，然后由相似三角形的对应边成比例，易得 DP：CP=1：3，即可得 PF：CF=PF： BF=1 ： 2，在 RtPBF 中，即可求得tan BPF的值，继而求得答案解答：解：如图，连接BE，四边形 BCED 是正方形，DF=CF=12CD， BF=12BE，CD=

60、BE ，BECD，BF=CF ，根据题意得： AC BD ， ACP BDP，DP：CP=BD ：AC=1 ：3，DP=PF=12CF=12BF，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 41 页在 RtPBF 中， tanBPF=BFPF=2， APD= BPF，tanAPD=2 故答案为： 2点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义此题难度适中， 解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用18 （2012?青海）如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度，标杆BE 高 1.5m，测得 AB=2m ，

61、BC=14cm，则楼高CD 为m考点： 相似三角形的应用专题： 应用题 分析：先根据题意得出ABE ACD ，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD 的值解答：解： EBAC， DCAC ，EBDC， ABE ACD ，BEABCDAC，BE=1.5 ，AB=2 ，BC=14，AC=16 ，1.5216CD，CD=12 故答案为： 12点评：本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键19. （2012?娄底）如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M 处的运动员林丹把球从N 点击到了对方内的B 点，已知网高OA=1.52 米， OB=4 米， OM=5 米，

62、则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM= 米考点： 相似三角形的应用分析：首先根据题意易得ABO NAM ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 41 页得答案解答：解：根据题意得：AO BM ，NM BM，AO NM ， ABO NBM ，OAOBNMBM，OA=1.52 米， OB=4 米， OM=5 米，BM=OB+OM=4+5=9（米），1.5249NM，解得： NM=3.42 （米） ，林丹起跳后击球点N 离地面的距离NM 为 3.42 米故答案为： 3.42点评： 此题考查了

63、相似三角形的应用此题比较简单， 注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用，注意把实际问题转化为数学问题求解20.（2012?北京）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点 B 在同一直线上已知纸板的两条直角边DE=40cm ，EF=20cm，测得边DF 离地面的高度AC=1.5m ，CD=8m，则树高AB= m考点： 相似三角形的应用分析：利用直角三角形DEF 和直角三角形BCD 相似求得BC 的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB 解答：解：DEF=BCD=90 D= D DEF DCB BCDCEFDE

64、, DE=40cm=0.4m ，EF=20cm=0.2m ，AC=1.5m ， CD=8m，80.20.4BC, BC=4 ，AB=AC+BC=1.5+4=5.5米，故答案为5.5 点评： 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型21.（2012?阜新） 如图， ABC 与 A1B1C1为位似图形，点O 是它们的位似中心，位似比精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 41 页是 1：2，已知 ABC 的面积为3，那么 A1B1C1的面积是考点： 位似变换 分析：由 ABC 与 A1B1C1为位

65、似图形，位似比是1：2，即可得 ABC 与 A1B1C1为相似三角形，且相似比为1：2，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案解答：解：ABC 与 A1B1C1为位似图形， ABC A1B1C1，位似比是1：2，相似比是1：2， ABC 与 A1B1C1的面积比为： 1：4， ABC 的面积为3， A1B1C1的面积是： 3 4=12故答案为： 12点评： 此题考查了位似图形的性质注意位似图形是相似图形的特殊情况，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用三、解答题22 （2012?上海）己知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E、 F 分别在边BC、 CD， BAF= DA

66、E ，AE 与 BD 交于点 G（1）求证： BE=DF ；（2）当DFADFCDF时，求证：四边形BEFG 是平行四边形考点： 平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质 专题： 证明题 分析： （1）证得 ABF 与 AFD 全等后即可证得结论；（2） ）利用DFADFCDF得到FDADDGFCBEGB，从而根据平行线分线段成比例定理证得FGBC，进而得到 DGF= DBC= BDC，最后证得BE=GF ，利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 41 页

67、解答：证明： （1）四边形ABCD 是菱形，AB=AD ， ABC= ADF ， BAF= DAE ， BAF- EAF= DAE- EAF，即： BAE= DAF ， BAE DAF BE=DF ；（2）DFADFCDF，FDADDGFCBEGBFGBC DGF= DBC= BDC DF=GF BE=GF 四边形 BEFG 是平行四边形点评：本题考查了平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质，特别是第二问如何利用已知比例式进行转化是解决此题的关键23 （2012?云南）如图，在ABC 中， C=90 ，点 D 是 AB 边上的一点， DM AB，且DM=AC ，过点 M 作 MEBC

68、交 AB 于点 E求证： ABC MED 考点： 相似三角形的判定专题： 证明题 分 析 ： 根 据 平 行 线 的 性 质 可 得 出 B=MED ， 结 合 全 等 三 角 形 的 判 定 定 理 可 判 断ABC MED ，也可得出ABC MED 解答：证明：MD AB ， MDE= C=90 ，ME BC， B=MED ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 41 页在 ABC 与 MED 中，BMEDCEDMDMAC， ABC MED （AAS） ABC MED 点评： 此题考查了相似三角形的判定，注意两三角形全等

69、一定相似，但两三角形相似不一定全等，要求掌握三角形全等及相似的判定定理，难度一般24 （2012?株洲） 如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，沿直线 MN 对折， 使 A、C 重合，直线 MN 交 AC 于 O（1）求证： COM CBA ；（2）求线段OM 的长度考点： 相似三角形的判定与性质； 勾股定理 ；矩形的性质 分析： （1）根据 A 与 C 关于直线MN 对称得到AC MN，进一步得到COM=90 ，从而得到在矩形 ABCD 中 COM= B，最后证得 COM CBA ；（2）利用上题证得的相似三角形的对应边成比例得到比例式后即可求得OM 的长解答： （1）证明： A 与

70、 C 关于直线MN 对称，AC MN ， COM=90 在矩形 ABCD 中， B=90 ， COM= B，又 ACB= ACB ， COM CBA ；（2）解：在RtCBA 中， AB=6 ，BC=8 ，AC=10 ，OC=5， COM CBA ，OCOMBCAB，OM=154点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的性质，解题的关键是仔细分析并找到相等的角来证得相似三角形25. （2012?株洲） 如图， 在 ABC 中，C=90 ，BC=5 米，AC=12 米M 点在线段CA 上，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

71、 34 页，共 41 页从 C 向 A 运动，速度为 1 米/秒；同时 N 点在线段AB 上，从 A 向 B 运动，速度为 2 米/秒运动时间为t 秒（1）当 t 为何值时，AMN= ANM ？（2）当 t 为何值时，AMN 的面积最大？并求出这个最大值考点： 相似三角形的判定与性质； 二次函数的最值分析： （1）用 t 表示出 AM 和 AN 的值，根据AM=AN ，得到关于t 的方程求得t 值即可；（2）作 NHAC 于 H，证得 ANH ABC ，从而得到比例式，然后用t 表示出 NH，从而计算其面积得到有关t 的二次函数求最值即可解答：解：（ 1）从 C 向 A 运动，速度为1 米/秒

72、；同时N 点在线段AB 上，从 A 向 B 运动，速度为2 米/秒运动时间为t 秒AM=12-t ，AN=2t AMN= ANM AM=AN ，从而 12-t=2t 解得： t=4 秒，当 t 为 4 时， AMN= ANM （2）如图，作NH AC 于 H， NHA= C=90 ，NH BC NHA ABC ANNHABBC，即：2135tNH, NH=1013t, 从而有 SAMN=12（12-t）?1013t=-513t2+6013t，当 t=6 时， S最大值 =18013点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而求解精选学习资料 - -

73、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 41 页26. （2012?江西）如图 1，小红家阳台上放置了一个晒衣架如图 2 是晒衣架的侧面示意图，立杆 AB、 CD 相交于点 O，B、D 两点立于地面，经测量：AB=CD=136cm ，OA=OC=51cm ，OE=OF=34cm ，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条直线，且EF=32cm（1）求证： ACBD ；（2）求扣链EF 与立杆 AB 的夹角 OEF 的度数（精确到0.1 ） ；（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由（参考

74、数据： sin61.9 0.882，cos61.9 0.471，tan61.9 0.553；可使用科学记算器）考点： 相似三角形的应用；解直角三角形的应用分析： （1）根据等角对等边得出OAC= OCA= 12（180 -BOD ）和 OBD= ODB= 12（180 -BOD ） ，进而利用平行线的判定得出即可；（2）首先作 OM EF 于点 M，则 EM=16cm ，利用 cosOEF= 1683417EMOE 0.471，即可得出 OEF 的度数；（3）首先证明RtOEMRtABH ，进而得出AH 的长即可解答： （1）证明：证法一：AB 、CD 相交于点O， AOC= BOD OA=O

75、C ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 41 页 OAC= OCA=12（180 -BOD） ，同理可证： OBD= ODB=12（180 - BOD） ， OAC= OBD，AC BD ，证法二： AB=CD=136cm ，OA=OC=51cm ，OB=OD=85cm ，35OAOCOBOD, 又 AOC= BOD AOC BOD ， OAC= OBD；AC BD ；（2）解：在 OEF 中， OE=OF=34cm ，EF=32cm；作 OM EF 于点 M，则 EM=16cm ；cosOEF=1683417EMOE

76、0.471，用科学记算器求得OEF=61.9 ；（3）解法一：小红的连衣裙会拖落到地面；在 RtOEM 中， OM=22223416OEEM=30cm，过点 A 作 AH BD 于点 H，同（ 1）可证： EFBD ， ABH= OEM，则 RtOEM RtABH ，OEOMABAH，AH=30 13634OM ABOE=120cm 所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm晒衣架的高度AH=120cm 解法二：小红的连衣裙会拖落到地面；同（ 1）可证： EFBD ， ABD= OEF=61.9 ；过点 A 作 AH BD 于点 H，在 RtABH 中sinABD=AHAB，AH=AB

77、sinABD=136 sin61.9 =136 0.882 120.0cm.所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm晒衣架的高度AH=120cm 点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，根据已知构造直角三角形利用锐角三角函数解题是解决问题的关键27 （2012?陕西）如图，正三角形ABC 的边长为3+ 3（1）如图， 正方形 EFPN 的顶点 E、F 在边 AB 上，顶点 N 在边 AC 上，在正三角形ABC及其内部， 以点 A 为位似中心， 作正方形EFPN 的位似正方形EFPN， 且使正方形EFPN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

78、- - - - - - -第 37 页，共 41 页的面积最大（不要求写作法）；（2）求（ 1）中作出的正方形EFPN的边长；（3）如图，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH，使得 DE、EF 在边AB 上，点 P、N 分别在边CB、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由考点： 位似变换 ； 等边三角形的性质；勾股定理 ；正方形的性质 专题： 几何综合题 分析： （1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN 的位似正方形EFPN，如答图所示；（2） 根据正三角形、 正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式 EF+AE +BF =AB，列方程求得正方

79、形EFPN的边长；（3）设正方形DEMN 、正方形 EFPH 的边长分别为m、n（m n ） ，求得面积和的表达式为：S=92+12（m-n）2，可见 S 的大小只与m、n 的差有关：当 m=n 时， S取得最小值；当 m 最大而 n 最小时， S 取得最大值m 最大 n 最小的情形见第（1） （2）问解答：解： （1）如图，正方形EFPN即为所求（2）设正方形EFPN的边长为x， ABC 为正三角形，AE =BF =33xEF+AE +BF =AB，x+33x+33x=3+3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 41 页

80、x=93 32 33，即 x=33-3，（没有分母有理化也对，x2.2 0 也正确）（3）如图，连接NE 、EP、PN，则 NEP=90 设正方形 DEMN 、正方形 EFPH 的边长分别为m、n（m n ） ，它们的面积和为S，则 NE=2m，PE=2nPN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2（m2+n2） S=m2+n2=12PN2，延长 PH 交 ND 于点 G，则 PG ND在 RtPGN 中， PN2=PG2+GN2=（ m+n）2+（m-n）2AD+DE+EF+BF=AB，即33m+m+n+33n=3+3，化简得m+n=3S=1232+（m-n）2= 92+12（m-n）2当（

81、m-n）2=0 时，即 m=n 时， S最小S最小=92；当（ m-n）2最大时， S最大即当 m 最大且 n 最小时， S 最大m+n=3 ，由（ 2）知， m最大=33-3S最大=129+（m最大-n最小）2 =129+（ 33-3-6+33）2 =99-543（S最大5.47也正确）点评：本题以位似变换为基础，综合考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形边角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 39 页，共 41 页性质等重要知识点，有一定的难度本题（1） （2） （3）问之间互相关联，逐级推进，注意发现并利用好其中的联系第（3

82、）问的要点是求出面积和S 的表达式，然后针对此表达式进行讨论，在求S最大值的过程中，利用了第（1） （2）问的结论28 （2012?河北）如图，点E 是线段 BC 的中点，分别BC 以为直角顶点的EAB 和 EDC均是等腰三角形，且在BC 同侧（1）AE 和 ED 的数量关系为；AE 和 ED 的位置关系为；（2）在图 1 中，以点E 为位似中心，作EGF 与 EAB 位似，点H 是 BC 所在直线上的一点，连接GH，HD 分别得到图2 和图 3在图 2 中， 点 F 在 BE 上， EGF 与 EAB 的相似比1： 2， H 是 EC 的中点求证：GH=HD ，GHHD 在图 3 中，点 F

83、 在的 BE 延长线上，EGF 与 EAB 的相似比是k：1，若 BC=2，请直接写 CH 的长为多少时，恰好使GH=HD 且 GHHD （用含 k 的代数式表示） 考点： 位似变换 ； 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形分析： （1）利用等腰直角三角形的性质得出ABE DCE，进而得出AE=ED ，AE ED；（2） 根据 EGF 与 EAB 的相似比 1： 2， 得出 EH=HC= 12EC， 进而得出 HGF DHC，即可求出 GH=HD ，GHHD ；根据恰好使GH=HD 且 GHHD 时，得出 GFH HCD ，进而得出CH 的长解答：解：（ 1）点 E 是线段 BC 的中点，分

84、别BC 以为直角顶点的EAB 和 EDC 均是等腰三角形，BE=EC=DC=AB ， B=C=90 ， ABE DCE ，AE=DE ，AEB= DEC=45 ， AED=90 ，AEED故答案为： AE=ED ，AE ED；（2）由题意，B= C=90 ，AB=BE=EC=DC ， EGF 与 EAB 的相似比1：2， GFE= B=90 ，GF=12AB ，EF=12EB， GFE= C，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 40 页，共 41 页EH=HC=12EC，GF=HC ，FH=FE+EH=12EB+12EC=12BC=EC

85、=CD ， HGF DHC GH=HD ， GHF= HDC HDC+ DHC=90 GHF+ DHC=90 GHD=90 GHHD 根据题意得出：当GH=HD ，GHHD 时， FHG+ DHC=90 ， FHG+ FGH=90 ， FGH= DHC，DHGHFGHDHCDCHGFH， GFH HCD ，CH=FG ，EF=FG ，EF=CH ， EGF 与 EAB 的相似比是k： 1，BC=2 ，BE=EC=1 ，EF=k，CH 的长为 k点评：此题主要考查了位似图形的性质和全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质得出对应角与对应边之间的关系是解题关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 41 页，共 41 页