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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思复变函数期末复习提要第 7章：残数及其应用理解残数的定义；熟练掌握计算残数的方法；理解残数基本定理，熟练掌握用残数理论计算积分。定义 7. 1 设)(a为函数)(zf的孤立奇点，c为圆周：az，若)(zf在az0上解析，则称czzf)d(i21为)(zf在点a的残数（或留数），记作),(Resaf或)(Res a，即czzfaf)d(i21),(Res（7. 1）例 1 设)1(25)(zzzzf，求)0,(Res f解法 1 由（ 7. 1）式得41d) 1(25i21)0,(Reszzzzzf41dz125i21zzzz0)125(zzz2注意：这里的
2、积分路径的半径并非只能取41，只须使半径小于1 即可满足定义7. 1 的条件解法 2 因点0z为)(zf的孤立奇点，所以，在310:)31,0(*zN内有zzzzf1)1(25)(0)52(nnzz032nnzz由此得21c，依（ 7. 2）式得2)0,(Res f解法 3 因点0z为)(zf的一级极点，所以，依（7. 3）式得)1(25lim)0,(Res0zzzzfz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2解法 4 因点0z为)1(25)(zzzzf的一级极点，所以，由（7. 4
3、）式得0 )1(25)0,(Reszzzzf2定义 7. 2设z为函数)(zf的孤立奇点，c为圆周：z，若)(zf在zR内解析)(R，则称czzf)d(i21为函数)(zf在点z的残数（或留数），记作),(Res f或)(Res，即czzff)d(i21),(Res（7. 6）例 2 设zzzfe)1()(2，求),(Res f解取圆周2: zc，由（ 7. 6）式得czzzfde1i21),(Res2czzzde1i2120定理 7. 1 设区域G是由围线c的内部构成（如图），若函数)(zf在G内除含有限个奇点naaa,21外解析，且在cGG上除点naaa,21外连续，则njjcafzzf1
4、),(R esi2)d(（7. 8）例 3计算积分1,d12i212azazzz解首先， 弄清被积函数在积分路径内部有无奇点由122azz求出被积函数的奇点有121aaz与122aaz因1a，所以，12z，又因121zz，故11z，即在积分路径内部只有被积函数的a1 ?c1 a2 ?c2 a3 ?c3 an?cnGc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思一个奇点1z其次，经检验，由（7. 8）式得),12i2(Resi2d12i21212zazzzazzz)(i2)(limi2211
5、1zzzzzzzz122a残数在计算某些实积分上的应用njjzzQzPxxQxP1),)()(Resi2d)()(（7. 10）例 4 计算积分xxxxd1242解经验证，此积分可用（7. 10）式计算首先，求出1)()(242zzzzQzP在上半平面的全部奇点令0124zz即22424) 12(1zzzzz222)1(zz) 1)(1(22zzzz0于是，)()(zQzP在上半平面的全部奇点只有两个：i2321与i2321且知道，与均为)()(zQzP的一级极点其次，算残数，有)()()()(lim),)()(Res2zzzzzzzQzPzi34i31)()()()(lim),)()(Res
6、2zzzzzzzQzPzi34i31最后，将所得残数代入（7. 10）式得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思),)()(Res),)()(Res i2d1242zQzPzQzPxxxx3njjzkxkzzQzPxxQxP1ii),e)()(R esi2de)()(7. 11) 例 5 计算积分0,de22iaxaxx解 经验证，该积分可用（7. 11）式计算首先，求出辅助函数22ie)(azzfz在上半平面的全部奇点由022az解得iaz与iaz为)(zf的奇点，而0a，所以，)(zf在上半平面只有一个奇点ia， 且ia为)(zf的一级极点其次，计算残数有) i)(i(e) i(lim) i,e(Resii22iazazazaazzazzi2eaa最后，由（ 7. 11）式得) i,e(Resi2de22i22iaazxaxzxaae基于例 7. 12，由（ 7. 12）与（ 7. 13）式容易得到aaxaxxedcos22与0dsin22xaxxttttttxxxd12)12,11(Rad)sin,(cosRa222220精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
