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1、垂径定理垂径定理 垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦, ,并且平并且平分弦所对的两条弧。分弦所对的两条弧。CDABCDAB CD CD是直径，是直径， AE=BE, AE=BE, AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE人教版九年级上册人教版九年级上册1、深入理解垂径定理的推论（知二推三），并能、深入理解垂径定理的推论（知二推三），并能在题目中熟练的应用。在题目中熟练的应用。2、 在练习中不断的提升应用定理和推论的能力，在练习中不断的提升应用定理和推论的能力，熟练垂径定理中常添加的辅助线和构造的直角三角熟练垂径定理中常添加的辅助线和构造的直角三角形，养成认真
2、读题，仔细分析并解决问题的良好解形，养成认真读题，仔细分析并解决问题的良好解题习惯。题习惯。 如图，如图，ABAB是是O O的弦的弦 , ,作一条作一条平分平分ABAB的直径的直径CDCD，交，交ABAB于于M M点点. .想一想想一想（2 2）你能发现图中有哪些等量关系？）你能发现图中有哪些等量关系？ 说说你的理由说说你的理由. .（1）右图是轴对称图形吗? 如果是,其对称轴是什么?ABOCDM AD=BD. AC=BC,想一想想一想 如图，如图，ABAB是是O O的弦的弦 , ,作一条作一条平分平分ABAB的直径的直径CDCD，交，交ABAB于于M M点点. .等量关系：等量关系：ABOC
3、D AD=BD. AC=BC,（不是直径）M思考：如果AB也是直径，上述结论是否成立？不一定.OABMN一个圆的任意两一个圆的任意两条条直径总是互相平分直径总是互相平分，但是它们不一定互相但是它们不一定互相垂直。垂直。因此这里的弦因此这里的弦如果是直径，结论就如果是直径，结论就不一定成立。不一定成立。推论推论1. (1)平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。CD垂径定理推论垂径定理推论 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直的直径垂直于弦于弦, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 CDAB,C
4、DAB, CD CD是直径，是直径， AE=BE AE=BE AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE垂径定理的本质是垂径定理的本质是满足其中任两条，必满足其中任两条，必定同时满足另三条定同时满足另三条（1）一条直线过圆心）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分弦）这条直线平分弦（4）这条直线平分弦所对的优弧）这条直线平分弦所对的优弧（5）这条直线平分弦所对的劣弧）这条直线平分弦所对的劣弧1 1、两条辅助线：、两条辅助线： 半径、圆心到弦的垂线段半径、圆心到弦的垂线段2 2、一个、一个RtRt ： 半径、圆心到弦的垂线段、半弦半径
5、、圆心到弦的垂线段、半弦OABC3 3、两个定理：、两个定理： 垂径定理、勾股定理垂径定理、勾股定理练习练习1:在圆在圆O中，直径中，直径CEAB于于 D，OD=4 ，弦，弦AC= ， 求圆求圆O的半径。的半径。例例1 1：如图，圆：如图，圆O O的弦的弦ABAB8 8 ，DCDC2 2，直径，直径CEABCEAB于于D D，求半径求半径OCOC的长。的长。反思：反思：在在 O中，若中，若 O的半径的半径r、 圆心到弦的距离圆心到弦的距离d、弦长、弦长a中，中， 任意知道两个量，可根据任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：定理求出第三个量：CDBAO 2.如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦
6、的直径，弦AB交交CD于于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的长。的长。3.3.如图，如图，ABAB是是O O的弦，的弦，OCA=30OCA=300 0，OB=5cmOB=5cm，OC=8cmOC=8cm，则，则AB=AB= ；OABC30308 85 54 4DF一弓形弦长为一弓形弦长为cmcm，弓形所在的圆的半径为，弓形所在的圆的半径为7cm7cm，则弓形的高为，则弓形的高为. . 巩固训练巩固训练 D DC CBOADO OA AB BC4 4、如图，点、如图，点A A、B B是是O O上两点，上两点，AB=8,AB=8,点点P P是是O O上的动点（上的动点（P P
7、与与A A、B B不重合）不重合）, ,连接连接APAP、BP,BP,过点过点O O分别作分别作OEAPOEAP于于E,OFBPE,OFBP于于F,F,EFEF= = 。4OABC 已知已知A、B、C是是 O上三点，且上三点，且AB=AC，圆，圆心心O到到BC的距离为的距离为3厘米，圆的半径为厘米，圆的半径为5厘米，厘米，求求AB长。长。DD试一试试一试OABCOABOAB 已知已知 O的半径为的半径为5厘米，弦厘米，弦AB的长为的长为8厘米，厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。离。 EEDD练习练习 如图，如图，O O的直径为的直径为1010
8、，弦，弦AB=8,PAB=8,P为为ABAB上上的一个动点，那么的一个动点，那么OPOP长的长的取值范围取值范围是是 。C4533cmOP5cm3cmOP5cm1.已知已知P为为 O内一点，且内一点，且OP2cm，如，如果果 O的半径是的半径是3cm,那么过那么过P点的点的最短的最短的弦弦等于等于.EDCBAPO2.过过 O内一点内一点M的最长弦长为的最长弦长为4厘米，最短厘米，最短弦长为弦长为2厘米，则厘米，则OM的长是多少？的长是多少？OMA达标检测达标检测一、填空一、填空1 1、已知、已知ABAB、CDCD是是O O中互相垂直的弦，并且中互相垂直的弦，并且ABAB把把CDCD分成分成3c
9、m3cm和和7cm7cm的两部分，则圆心的两部分，则圆心O O和弦和弦ABAB的距离为的距离为 cm.cm.2 2、已知、已知O O的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦MNEF,MNEF,且且MN=12cm,EF=16cm,MN=12cm,EF=16cm,则弦则弦MNMN和和EFEF之间的距离为之间的距离为 . .3 3、已知、已知O O中，弦中，弦AB=8cmAB=8cm，圆心到，圆心到ABAB的距离为的距离为3cm3cm，则此圆的半径，则此圆的半径为为 . .4 4、在半径为、在半径为25cm25cm的的O O中，弦中，弦AB=40cmAB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中，则此弦和弦
10、所对的弧的中点的距离是点的距离是 . . 5 5、 O O的直径的直径AB=20cm, BAC=30AB=20cm, BAC=30则弦则弦AC=AC= . .14cm或2cm25cm10cm和40cm10 3 cm6.6.过过o o内一点内一点M M的最长的弦长为的最长的弦长为1010, ,最短弦长为最短弦长为8 8, ,那么那么o o的半径是的半径是7.7.已知已知o o的弦的弦AB=6AB=6, ,直径直径CD=10CD=10, ,且且ABCD,ABCD,那么那么C C到到ABAB的距离等于的距离等于8.8.已知已知O O的弦的弦AB=4AB=4, ,圆心圆心O O到到ABAB的中点的中点
11、C C的距离为的距离为1 1, ,那么那么O O的半径为的半径为9.9.如图如图, ,在在O O中弦中弦ABAC,ABAC,OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分别为垂足分别为M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,则则AB= ,AB= ,AC= ,OA=AC= ,OA=BAMCON51或或964Cm船能过拱桥吗船能过拱桥吗? ?例例3.3.如图如图, ,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥, ,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米米, ,拱顶高出水面拱顶高出水面2.42.4米米. .现有一艘宽现有一艘宽3 3米、米、船舱顶部为长方形并高出水面船舱顶部为长方形并高出水面2 2米的货船要经米的货船要经过这里过这里, ,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？
