2022年高等数学知识点归纳

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1、名师总结精品知识点第一讲 : 极限与连续一. 数列函数 : 1. 类型 : (1)数列 : *( )naf n; *1()nnaf a(2)初等函数 : (3)分段函数 : *0102( )( ),( )xxf xF xxxfx; *00( )( ),xxf xF xxxa;* (4)复合 (含f)函数 : ( ),( )yf uux(5)隐式 (方程 ): ( , )0F x y(6)参式 (数一 ,二): ( )( )xx tyy t(7)变限积分函数 : ( )( , )xaF xfx t dt(8)级数和函数 (数一 ,三): 0( ),nnnS xa xx2. 特征 (几何 ): (

2、1)单调性与有界性(判别 ); ( )f x单调000, ()( )()xxxf xf x定号 ) (2)奇偶性与周期性(应用 ). 3. 反函数与直接函数: 11( )( )( )yf xxfyyfx二. 极限性质 : 1. 类型 : *limnna; *lim( )xf x(含x); *0lim( )xxf x(含0xx) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量 ): 3. 未定型 : 000, 1 , 0, 0 ,04. 性质 : *有界性 , *保号性 , *归并性三. 常用结论 : 11nn, 1(0)1naa, 1()m a x (,)nnnnabca b c, 00!naan1(0

3、)xx, 0lim1xxx, l i m0nxxxe, lnlim0nxxx, 0l i ml n0nxxx, 0,xxex精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页名师总结精品知识点四. 必备公式 : 1. 等价无穷小 : 当( )0u x时, s i n()()u xu x; tan ( )( )u xu x; 211cos ( )( )2u xux; ( )1( )u xeu x; ln(1( )( )u xu x; (1( )1( )u xu x; ar c si n()(u xu x; arctan ( )( )

4、u xu x2. 泰勒公式 : (1)2211()2!xexxo x; (2)221ln(1)()2xxxo x; (3)341sin()3!xxxo x; (4)24511cos1()2!4!xxxo x; (5)22(1)(1)1()2!xxxo x. 五. 常规方法 : 前提 : (1)准确判断0,1 ,0M(其它如 :00, 0,0 ,); (2)变量代换 (如:1tx) 1. 抓大弃小(), 2. 无穷小与有界量乘积(M) (注:1sin1,xx) 3. 1处理 (其它如 :000 ,) 4. 左右极限 (包括x): (1)1(0)xx; (2)()xex; 1(0 )xex; (3

5、)分段函数 : x, x, max( )f x5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注 : 非零因子 ) 6. 洛必达法则(1)先” 处理 ” ,后法则 (00最后方法 ); (注意对比 : 1lnlim1xxxx与0lnlim1xxxx) (2)幂指型处理 : ()( )ln()( )v xv xu xu xe(如: 1111111(1)xxxxxeeee) (3)含变限积分 ; (4)不能用与不便用7. 泰勒公式 (皮亚诺余项 ): 处理和式中的无穷小8. 极限函数 : ( )lim( , )nf xF x n(分段函数 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

6、 - - - - - - -第 2 页，共 22 页名师总结精品知识点六. 非常手段1. 收敛准则 : (1)( )lim( )nxaf nf x(2)双边夹 : *?nnnbac, *,?nnbca(3)单边挤 : 1()nnaf a*21?aa*?naM*( )0?fx2. 导数定义 (洛必达 ?): 00l i m()xffxx3. 积分和 : 10112l i m()()() ()nnffffx d xnnnn, 4. 中值定理 : lim()( )lim( )xxf xaf xaf5. 级数和 (数一三 ): (1)1nna收敛lim0nna, (如2!limnnnnn) (2)12

7、1lim()nnnnaaaa, (3)na与11()nnnaa同敛散七. 常见应用 : 1. 无穷小比较 (等价 ,阶): *( ),(0)?nf xkxx(1)(1)( )(0)(0)(0)0,(0)nnffffa( )()!nnnaaf xxxxnn(2)00( )xxnf t dtkt dt2. 渐近线 (含斜 ): (1)( )lim,lim( )xxf xabf xaxx( )fxaxb(2)( )f xaxb,(10x) 3. 连续性 : (1)间断点判别 (个数 ); (2)分段函数连续性(附:极限函数 , ( )fx连续性 ) 八. , a b上连续函数性质1. 连通性 : (

8、 , ),fa bm M(注:01, “ 平均 ” 值:0( )(1)( )()f af bf x) 2. 介值定理 : (附: 达布定理 ) (1)零点存在定理 : ( )( )0f a f b0()0fx(根的个数 ); (2)( )0( )0xaf xf x dx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页名师总结精品知识点第二讲 :导数及应用 (一元 )(含中值定理 ) 一. 基本概念 : 1. 差商与导数 : ( )fx0()( )limxfxxfxx; 0()fx000( )()limxxf xf xxx(1

9、)0( )(0)(0)limxf xffx(注:0( )lim(xf xA fx连续 )(0)0,(0)ffA) (2)左右导 : 00(),()fxfx; (3)可导与连续 ; (在0x处, x连续不可导 ; x x可导 ) 2. 微分与导数 : ()( )( )()( )ff xxf xfxxoxdffx dx(1)可微可导 ; (2)比较,f df与0的大小比较 (图示 ); 二. 求导准备 : 1. 基本初等函数求导公式; (注: ( )f x) 2. 法则 : (1)四则运算 ; (2)复合法则 ; (3)反函数1dxdyy三. 各类求导 (方法步骤 ): 1. 定义导 : (1)(

10、 )fa与( )x afx; (2)分段函数左右导; (3)0()()limhf xhf xhh(注: 00( )( ),xxF xf xxxa, 求:0(),( )fxfx及( )fx的连续性 ) 2. 初等导 (公式加法则 ): (1)( )uf g x, 求:0()ux(图形题 ); (2)( )( )xaF xf t dt, 求:( )Fx(注: ( , ), ( , ), ( )xbbaaaf x t dtf x t dtf t dt) (3)0102( ),( )xxfxyxxfx,求00(),()fxfx及0()fx(待定系数 ) 3. 隐式 ( , )0fx y)导 : 22,

11、dyd ydxdx(1)存在定理 ; (2)微分法 (一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法 . 4. 参式导 (数一 ,二): ( )( )xx tyy t, 求:22,dyd ydxdx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页名师总结精品知识点5. 高阶导( )( )nfx公式 : ( )()axnnaxea e; ( )11!()()nnnb nabxabx; ( )(sin)sin()2nnaxaaxn; ()(cos)cos()2nnaxaaxn()( )1(1)2(2)()nnnnnnuvuvC uvC

12、uv注: ( )(0)nf与泰勒展式 : 2012( )nnf xaa xa xa x( )(0)!nnfan四. 各类应用 : 1. 斜率与切线 (法线 ); (区别 : ( )yf x上点0M和过点0M的切线 ) 2. 物理 : (相对 )变化率速度 ; 3. 曲率 (数一二 ): 23( )( 1 ( )fxfx(曲率半径 , 曲率中心 , 曲率圆 ) 4. 边际与弹性 (数三 ): (附: 需求 , 收益 , 成本 , 利润 )五. 单调性与极值(必求导 ) 1. 判别 (驻点0()0fx): (1) ( )0( )fxf x; ( )0( )fxf x; (2)分段函数的单调性(3)

13、( )0fx零点唯一 ; ( )0fx驻点唯一 (必为极值 ,最值 ). 2. 极值点 : (1)表格 ( )fx变号 ); (由0002( )( )( )lim0, lim0, lim00xxxxxxfxfxfxxxxx的特点 ) (2)二阶导 (0()0fx) 注(1)f与,ff的匹配 (f图形中包含的信息); (2)实例 : 由( )( )( )( )fxx f xg x确定点 “0xx” 的特点 . (3)闭域上最值 (应用例 : 与定积分几何应用相结合, 求最优 ) 3. 不等式证明 ( )0f x) (1)区别 : * 单变量与双变量? * , xa b与 ,),(,)xax? (

14、2)类型 : *0,( )0ff a; *0,( )0ff b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页名师总结精品知识点*0,( ),( )0ff af b; *00( )0,()0,()0fxfxf x(3)注意 : 单调性端点值极值凹凸性 . (如: max( )( )f xMfxM) 4. 函数的零点个数: 单调介值六. 凹凸与拐点 (必求导 !): 1. y表格 ; (0()0fx) 2. 应用 : (1)泰勒估计 ; (2)f单调 ; (3)凹凸 . 七. 罗尔定理与辅助函数: (注 : 最值点必为驻点) 1.

15、 结论 : ( )( )( )( )0F bF aFf2. 辅助函数构造实例: (1)( )f( )( )xaF xf t dt(2)( ) ( )( )( )0( )( )( )fgfgF xf x g x(3)( )( ) ( )( )( )0( )( )f xfgfgF xg x(4)( )( )( )0ff( )( )( )x dxF xef x; 3. ( )( )0( )nffx有1n个零点(1)( )nfx有2个零点4. 特例 : 证明( )( )nfa的常规方法 :令( )( )( )nF xf xPx有1n个零点 ( )nPx待定 ) 5. 注: 含12,时,分家 !(柯西定

16、理 ) 6. 附(达布定理 ): ( )f x在 , a b可导 ,( ),( )cfafb, , a b,使:( )fc八. 拉格朗日中值定理1. 结论 : ( )( )( )()f bf afba; ( )( ),( )0ab) 2. 估计 : ( )ffx九. 泰勒公式 (连接,fff之间的桥梁 ) 1. 结论 : 2300000011( )()()()()()( )()2!3!f xf xfxxxfxxxfxx; 2. 应用 : 在已知( )f a或( )f b值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义 ): 注:有定积分 (不含变限 )条件时使用 精选学习资料 - - - - -

17、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页名师总结精品知识点第三讲 : 一元积分学一. 基本概念 : 1. 原函数( )F x: (1)( )( )Fxf x; (2)( )( )f x dxdF x; (3)( )( )f x dxF xc注(1)( )( )xaF xf t dt(连续不一定可导); (2)()( )( )( )xxaaxt f t dtf t dtf x( )f x连续 ) 2. 不定积分性质: (1)( )( )f x dxf x; ( )( )df x dxf x dx(2)( )( )fx dxf xc; ()()d fxfxc

18、二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法 : 拆(线性性 ) 1212( )() )()()k fxk g xd xkfx d xkg x d x3. 凑微法 (基础 ): 要求巧 ,简,活 (221sincosxx) 如: 211(),ln,2dxdxd axbxdxdxdxax2dxdxx221,(1ln)( ln)1xdxdxx dxd xxx4. 变量代换 : (1)常用 (三角代换 ,根式代换 ,倒代换 ): 1sin ,1xxtaxbttetx(2)作用与引伸 (化简 ): 21xxt5. 分部积分 (巧用 ): (1)含需求导的被积函数(如ln,arctan,(

19、 )xaxxf t dt); (2)“ 反对幂三指 ” : ,ln,naxnx e dxxxdx(3)特别 : ( )xf x dx(*已知( )f x的原函数为( )F x; *已知( )( )fxF x) 6. 特例 : (1)11sincossincosaxbxdxaxbx; (2)( ),( )sinkxp x e dxp xaxdx快速法 ; (3)( )( )nv xdxux精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页名师总结精品知识点三. 定积分 : 1. 概念性质 : (1)积分和式 (可积的必要条件:有界

20、, 充分条件 :连续 ) (2)几何意义 (面积 ,对称性 ,周期性 ,积分中值 ) *220(0)8aaxx dx aa; *()02baabxdx(3)附: ( )()baf x dxM ba, ( ) ( )( )bbaaf x g x dxMg x dx) (4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分( )( )xaxf t dt的处理 (重点 ) (1)f可积连续 , f连续可导(2)( )xaf t dt( )f x; ()( )( )xxaaxt f t dtf t dt; ( )()( )xaf x dtxa f x(3)由函数( )( )xaF xf t

21、dt参与的求导 , 极限 , 极值 , 积分 (方程 )问题3. NL公式 : ( )( )( )baf x dxF bF a( )F x在 , a b上必须连续 !) 注: (1)分段积分 , 对称性 (奇偶 ), 周期性(2)有理式 , 三角式 , 根式(3)含( )baf t dt的方程 . 4. 变量代换 : ()( ) ) ( )bafx d xfu tut d t(1)00( )()()aaf x dxf ax dx xat, (2)0( )()()( )()aaaaafx dxfx dx xtf xfx dx(如:4411 sindxx) (3)2201sinnnnnIxdxIn

22、, (4)2200(sin )(cos )fx dxfx dx; 200(sin )2(sin )fx dxfx dx, (5)00(sin )(sin )2xfx dxfx dx, 5. 分部积分(1)准备时 “ 凑常数 ”(2)已知( )fx或( )xaf x时, 求( )baf x dx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页名师总结精品知识点6. 附: 三角函数系的正交性: 222000s i nc o ss i nc o s0n x d xn x d xn xm x d x2200sinsincoscos()0

23、nxmxdxnxmxdx nm222200sincosnxdxnxdx四. 反常积分 : 1. 类型 : (1)( ),( ),( )aaf x dxfx dxf x dx( )f x连续 ) (2)( )baf x dx: ( )f x在,()xaxbxc acb处为无穷间断 ) 2. 敛散 ; 3. 计算 : 积分法NL公式极限(可换元与分部) 4. 特例 : (1)11pdxx; (2)101pdxx五. 应用 : (柱体侧面积除外) 1. 面积 , (1)( )( );baSf xg x dx(2)1( )dcSfy dy; (3)21( )2Srd; (4)侧面积 :22( ) 1

24、( )baSf xfx dx2. 体积 : (1)22( )( )bxaVfxgx dx; (2)12( )2( )dbycaVfydyxf x dx(3)0xxV与0yyV3. 弧长 : 22()()dsdxdy(1)( ), , yf xxa b21()basfx d x(2)12( ), ,( )xx ttt tyy t2122 ( ) ( )ttsxtyt dt(3)( ),rr: 22( ) ( )srrd4. 物理 (数一 ,二)功,引力 ,水压力 ,质心 , 5. 平均值 (中值定理 ): (1)1 , ( )baf a bf x dxba; (2)0( )0)limxxf t

25、dtfx, (f以T为周期 :0( )Tf t dtfT) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页名师总结精品知识点第四讲 : 微分方程一. 基本概念1. 常识 : 通解 , 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件) 2. 变换方程 : (1)令( )xx tyDy(如欧拉方程 ) (2)令( ,)( , )uu x yyy x uy(如伯努利方程) 3. 建立方程 (应用题 )的能力二. 一阶方程 : 1. 形式 : (1)( ,)yf x y; (2)( , )( ,)0Mx y dxN x y dy; (3)(

26、 )y ab2. 变量分离型 : ( ) ( )yf x g y(1)解法 : ( )( )( )( )dyf x dxG yF xCg y(2)“ 偏” 微分方程 : ( , )zf x yx; 3. 一阶线性 (重点 ): ( )( )yp x yq x(1)解法 (积分因子法 ): 00( )01( )( ) ( )( )xxp x dxxxM xeyM x q x dxyM x(2)变化 : ( )( )xp y xq y; (3)推广 : 伯努利 (数一 ) ( )( )yp x yq x y4. 齐次方程 : ()yyx(1)解法 : ( ),( )ydudxuuxuuxuux(2

27、)特例 : 111222a xb ycdydxa xb yc5. 全微分方程 (数一 ): ( , )( , )0Mx y dxN x y dy且NMxydUMdxNdyUC6. 一阶差分方程(数三 ): 1*0( )( )xxxxxnxxycayayb p xyx Q x b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页名师总结精品知识点三. 二阶降阶方程1. ( )yf x: 12( )yF xc xc2. ( ,)yf x y: 令( )( ,)dpyp xyf x pdx3. ( ,)yf y y: 令( )( ,)

28、dpyp yypfy pdy四. 高阶线性方程: ( ) ( )( )( )a x yb x yc x yfx1. 通解结构 : (1)齐次解 : 01122( )( )( )yxc y xc yx(2)非齐次特解 : 1122( )( )( )*()y xc y xc yxyx2. 常系数方程 : ( )aybycyf x(1)特征方程与特征根: 20abc(2)非齐次特解形式确定: 待定系数 ; (附: ( )axf xke的算子法 ) (3)由已知解反求方程. 3. 欧拉方程 (数一 ): 2( )ax ybxycyf x, 令2(1) ,txex yD Dy xyDy五. 应用 (注意

29、初始条件): 1. 几何应用 (斜率 , 弧长 , 曲率 , 面积 , 体积 ); 注: 切线和法线的截距2. 积分等式变方程(含变限积分 ); 可设( )( ),( )0xaf x dxF x F a3. 导数定义立方程: 含双变量条件()f xy的方程4. 变化率 (速度 ) 5. 22dvd xFmadtdt6. 路径无关得方程(数一 ): QPxy7. 级数与方程 : (1)幂级数求和 ; (2)方程的幂级数解法:201201,(0),(0)yaa xa xayay8. 弹性问题 (数三 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

30、11 页，共 22 页名师总结精品知识点第五讲 : 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限 , 连续 , 单变量连续 , 偏导 , 全微分 , 偏导连续 (必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)xyff xx yyff xx yff xyy(2)lim,lim,limyxxyfffffxy(3)22, lim()()xyfdffxfydfxy(判别可微性 ) 注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 00( ,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)limxyxyfxffyfffxy2. 特例 : (1)22(0,0)( , )0

31、,(0,0)xyxyf x y: (0,0)点处可导不连续; (2)22(0,0)( , )0,(0,0)xyf x yxy: (0,0)点处连续可导不可微; 二. 偏导数与全微分的计算: 1. 显函数一 ,二阶偏导 : ( , )zf x y注: (1)yx型; (2)00(,)xxyz; (3)含变限积分2. 复合函数的一,二阶偏导 (重点 ): ( , ),( ,)zf u x yv x y熟练掌握记号12111222,fffff的准确使用3. 隐函数 (由方程或方程组确定): (1)形式 : *( , , )0F x y z; *( , , )0( , , )0F x y zG x y

32、 z(存在定理 ) (2)微分法 (熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0xyzF dxF dyF dz(要求 : 二阶导 ) (3)注: 00(,)xy与0z的及时代入(4)会变换方程 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页名师总结精品知识点三. 二元极值 (定义 ?); 1. 二元极值 (显式或隐式 ): (1)必要条件 (驻点 ); (2)充分条件 (判别 ) 2. 条件极值 (拉格朗日乘数法) (注: 应用 ) (1)目标函数与约束条件: ( ,)( ,)0zf x yx y, (或: 多条件 ) (2)求

33、解步骤 : ( , , )( , )( ,)L x yf x yx y, 求驻点即可 . 3. 有界闭域上最值(重点 ). (1)( , )( , )( , )0zf x yMDx yx y(2)实例 : 距离问题四. 二重积分计算:1. 概念与性质 (“ 积” 前工作 ): (1)Dd, (2)对称性 (熟练掌握 ): *D域轴对称 ; *f奇偶对称 ; *字母轮换对称; *重心坐标 ; (3)“ 分块 ” 积分 : *12DDD; *( , )f x y分片定义 ; *( , )f x y奇偶2. 计算 (化二次积分 ): (1)直角坐标与极坐标选择(转换 ): 以“D” 为主 ; (2)

34、交换积分次序 (熟练掌握 ). 3. 极坐标使用 (转换 ): 22()f xy附: 222: ()()DxaybR; 2222:1xyDab; 双纽线222222()()xyaxy:1Dxy4. 特例 : (1)单变量 : ( )f x或( )fy(2)利用 重心 求积分 : 要求 : 题型12()Dk xk y dxdy, 且已知D的面积DS与重心( ,)x y5. 无界域上的反常二重积分(数三 ) 五: 一类积分的应用():;f M dDL): 1. “ 尺寸 ” : (1)DDdS; (2)曲面面积 (除柱体侧面 ); 2. 质量 , 重心 (形心 ), 转动惯量 ; 3. 为三重积分

35、 , 格林公式 , 曲面投影作准备. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页名师总结精品知识点第六讲 : 无穷级数 (数一 ,三) 一. 级数概念1. 定义 : (1)na, (2)12nnSaaa; (3)limnnS(如1(1)!nnn) 注: (1)limnna; (2)nq(或1na); (3)“ 伸缩 ” 级数:1()nnaa收敛na收敛 . 2. 性质 : (1)收敛的必要条件: lim0nna; (2)加括号后发散 , 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0nnnnss assss; 二.

36、 正项级数1. 正项级数 : (1)定义 : 0na; (2)特征 : nS; (3)收敛nSM(有界 ) 2. 标准级数 : (1)1pn, (2)lnknn, (3)1lnknn3. 审敛方法 : (注:222abab,lnlnbaab) (1)比较法 (原理 ):npkan(估计 ), 如10( )nf x dx; ( )( )P nQ n(2)比值与根值 : *1limnnnuu*limnnnu(应用 : 幂级数收敛半径计算) 三. 交错级数 (含一般项 ): 1( 1)nna(0na) 1. “ 审” 前考察 : (1)0?na(2)0?na; (3)绝对 (条件 )收敛 ? 注:

37、若1lim1nnnaa,则nu发散2. 标准级数 : (1)11( 1)nn; (2)11( 1)npn; (3)11( 1)lnnpn3. 莱布尼兹审敛法(收敛 ?) (1)前提 : na发散 ; (2)条件 : ,0nnaa; (3)结论 : 1( 1)nna条件收敛 . 4. 补充方法 : (1)加括号后发散 , 则原级数必发散; (2)221,0nnnnss assss. 5. 注意事项 : 对比na; ( 1)nna; na; 2na之间的敛散关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页名师总结精品知识点四.

38、 幂级数 : 1. 常见形式 : (1)nna x, (2)0()nnaxx, (3)20()nnaxx2. 阿贝尔定理 : (1)结论 : *xx敛*0Rxx; *xx散*0Rxx(2)注: 当*xx条件收敛时*Rxx3. 收敛半径 ,区间 ,收敛域 (求和前的准备 ) 注(1),nnnnana xxn与nna x同收敛半径(2)nna x与20()nnaxx之间的转换4. 幂级数展开法: (1)前提 : 熟记公式 (双向 ,标明敛域 ) 23111,2!3!xexxxR24111()1,22!4!xxeexxR35111(),23!5!xxeexxxR3511sin,3!5!xxxxR24

39、11cos1,2!4!xxxR; 211,(1, 1)1xxxx; 211,( 1,1)1xxxx2311ln(1),( 1,123xxxxx2311ln(1), 1,1)23xxxxx3511arctan, 1,135xxxxx(2)分解 : ( )( )( )f xg xh x(注:中心移动 ) (特别 : 021, xxaxbxc) (3)考察导函数 : ( )( )g xfx0( )( )(0)xf xg x dxf(4)考察原函数 : 0( )( )xg xfx dx( )( )f xg x5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域 , * 变量替换 ): (1)( ),S x(2)(

40、)S x,(注意首项变化 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页名师总结精品知识点(3)( )()S x, (4)( )( )S xS x的微分方程(5)应用 :( )(1)nnnnaa xS xaS. 6. 方程的幂级数解法7. 经济应用 (数三 ): (1)复利 : (1)nAp; (2)现值 : (1)nAp五. 傅里叶级数 (数一 ): (2T) 1. 傅氏级数 (三角级数 ): 01( )cossin2nnnaS xanxbnx2. Dirichlet充分条件 (收敛定理 ): (1)由( )( )f

41、xS x(和函数 ) (2)1( )()()2S xf xf x3. 系数公式 : 01( )cos1( ),1,2,3,1( )sinnnafxnxdxaf x dxnbf xnxdx4. 题型 : (注: ( )( ),?f xS xx) (1)2T且( ),(,f xx(分段表示 ) (2)(,x或0,2x(3)0,x正弦或余弦*(4)0,x(T) *5. 2Tl6. 附产品 : ( )f x01( )cossin2nnnaS xanxbnx00001()cossin2nnnaS xanxbnx001()()2f xf x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

42、 - - - - - -第 16 页，共 22 页名师总结精品知识点第七讲 : 向量 ,偏导应用与方向导(数一 ) 一. 向量基本运算1. 12k ak b; (平行ba) 2. a; (单位向量 (方向余弦 ) 01( co s, c o s, c os)aaa) 3. a b; (投影 :( )aa bba; 垂直 :0aba b; 夹角 :( , )a ba ba b) 4. ab; (法向 :,naba b; 面积 :Sa b) 二. 平面与直线1.平面(1)特征 (基本量 ): 0000(,)( ,)MxyznA B C(2)方程 (点法式 ): 000:()()()00A xxBy

43、yCzzA xB yC zD(3)其它 : * 截距式1xyzabc; *三点式2.直线L(1)特征 (基本量 ): 0000(,)(, ,)Mxyzsm n p(2)方程 (点向式 ): 000:xxyyzzLmnp(3)一般方程 (交面式 ): 1111222200A xB yC zDA xB yC zD(4)其它 : * 二点式 ; *参数式 ;(附: 线段AB的参数表示 :121121121()() ,0,1()xaaa tybbb t tzccc t) 3. 实用方法 : (1)平面束方程 : 11112222:()0A xB yC zDA xB yC zD(2)距离公式 : 如点0

44、00(,)Mxy到平面的距离000222AxByCzDdABC(3)对称问题 ; (4)投影问题 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页名师总结精品知识点三. 曲面与空间曲线(准备 ) 1. 曲面(1)形式: ( , , )0F x y z或( ,)zf x y; (注 : 柱面( , )0f x y) (2)法向(,)(cos ,cos,cos )xyznF FF(或(,1)xynzz) 2. 曲线(1)形式( ):( )( )xx tyy tzz t, 或( , , )0( , , )0F x y zG x

45、y z; (2)切向 : ( ),( ),( )sx ty tz t(或12snn) 3. 应用(1)交线 , 投影柱面与投影曲线; (2)旋转面计算 : 参式曲线绕坐标轴旋转; (3)锥面计算 . 四. 常用二次曲面1. 圆柱面 : 222xyR2. 球面 : 2222xyzR变形 : 2222xyRz, 222()zRxy, 2222xyzaz, 2222000()()()xxyyzzR3. 锥面 : 22zxy变形 : 222xyz, 22zaxy4. 抛物面 : 22zxy, 变形 : 22xyz, 22()zaxy5. 双曲面 : 2221xyz6. 马鞍面 : 22zxy, 或zx

46、y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页名师总结精品知识点五. 偏导几何应用1. 曲面(1)法向 : ( , , )0(,)xyzF x y znFFF, 注 : ( , )(,1)xyzf x ynff(2)切平面与法线 : 2. 曲线(1)切向 : ( ),( ),( )( , )xx tyy tzz tsx yz(2)切线与法平面3. 综合 : :00FG, 12snn六. 方向导与梯度(重点 ) 1. 方向导 (l方向斜率 ): (1)定义 (条件 ): (, ,)(cos,cos,cos)lm n p(2)

47、计算 (充分条件 :可微 ): coscoscosxyzuuuul附: 0( , ),cos , sin zf x ylcossinxyzffl(3)附: 2222cos2sincossinxxxyyyffffl2. 梯度 (取得最大斜率值的方向) G: (1)计算 : ()(,)(,xya zf x yGgradzff; ()(,)(,xyzb ufx y zGg r a d uuuu(2)结论( )aul0G l; ( )b取lG为最大变化率方向; ( )c0()G M为最大方向导数值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页

48、，共 22 页名师总结精品知识点第八讲 : 三重积分与线面积分(数一 ) 一. 三重积分 (fdV) 1. 域的特征 (不涉及复杂空间域): (1)对称性 (重点 ): 含: 关于坐标面 ; 关于变量 ; 关于重心(2)投影法 : 22212( , )( , )( , )xyDx y xyRz x yzz x y(3)截面法 : 222( )( , )( )D zx y xyRzazb(4)其它 : 长方体 , 四面体 , 椭球2. f的特征 : (1)单变量( )f z, (2)22()f xy, (3)222()f xyz, (4)faxbyczd3. 选择最适合方法: (1)“ 积” 前

49、: *dv; *利用对称性 (重点 ) (2)截面法 (旋转体 ): ( )baD zIdzfdxdy(细腰或中空 , ( )f z, 22()f xy) (3)投影法 (直柱体 ): 21( , )( , )xyzx yzx yDIdxdyfdz(4)球坐标 (球或锥体 ): 22000sin()RIddfd, (5)重心法 (faxbyczd): ()Iaxbyczd V4. 应用问题 : (1)同第一类积分 : 质量 , 质心 , 转动惯量 , 引力(2)Gauss公式二. 第一类线积分(Lfds) 1. “ 积” 前准备 : (1)LdsL; (2)对称性 ; (3)代入 “L” 表达

50、式2. 计算公式 : 22( ) , ( ( ), ( ) ( ) ( )( )baLxx tta bfdsf x ty txtyt dtyy t3. 补充说明 : (1)重心法 : ()()Laxbyc dsaxbyc L; (2)与第二类互换 : LLAdsA dr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页名师总结精品知识点4. 应用范围(1)第一类积分(2)柱体侧面积,Lz x y ds三. 第一类面积分(fdS) 1. “ 积” 前工作 (重点 ): (1)dS; (代入:( , , )0F x y z) (2)

51、对称性 (如: 字母轮换 , 重心 ) (3)分片2. 计算公式 : (1)22( , ),(, )( , ( , )1xyxyxyDzz x yx yDIf x y z x yzz dxdy(2)与第二类互换 : A ndSA dS四: 第二类曲线积分(1): ( , )( , )LP x y dxQ x y dy(其中L有向 ) 1. 直接计算 : ( )( )xx tyy t,2112:( )( )ttt ttIPx tQy t dt常见 (1)水平线与垂直线; (2)221xy2. Green 公式 : (1)()LDQPPdxQdydxdyxy; (2)()L AB: *PQyy换路

52、径 ; *PQyy围路径(3)L(xyQP但D内有奇点 ) *LL(变形 ) 3. 推广 (路径无关性 ):PQyy(1)PdxQdydu(微分方程 )()BAL ABu(道路变形原理) (2)( ,)( , )LP x y dxQ x y dy与路径无关 (f待定 ): 微分方程 . 4. 应用功(环流量 ):IF dr(有向,( ,)FP Q R,(,)drdsdx dy dz) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页名师总结精品知识点五. 第二类曲面积分: 1. 定义 : Pdydz QdzdxRdxdy, 或

53、( , , )R x y z dxdy(其中含侧 ) 2. 计算 : (1)定向投影 (单项 ): ( , , )R x y z dxdy, 其中:( , )zz x y(特别 :水平面 ); 注: 垂直侧面 , 双层分隔(2)合一投影 (多项 ,单层 ): (, 1)xynzz ()()xyPdydzQdzdxRdxdyPzQzR dxdy(3)化第一类 (不投影 ): (cos,cos,cos)n(coscoscos )PdydzQdzdxRdxdyPQRdS3. Gauss公式及其应用: (1)散度计算 : PQRdivAxyz(2)Gauss公式 : 封闭外侧 , 内无奇点Pdydz

54、QdzdxRdxdydivAdv(3)注: *补充 “ 盖” 平面:0; *封闭曲面变形(含奇点 ) 4. 通量与积分 : A d S(有向n,AP Q R,(,)d SndSdydz dzdx dxdy) 六: 第二类曲线积分(2): ( , , )( , , )( , , )P x y z dxQ x y z dyR x y z dz1. 参数式曲线: 直接计算 (代入 ) 注(1)当0rot A时, 可任选路径 ; (2)功 (环流量 ):IF dr2. Stokes 公式 : (要求 : 为交面式 (有向 ), 所张曲面含侧 ) (1)旋度计算 : (,)( ,)RAP Q Rxyz(2)交面式 (一般含平面 )封闭曲线 : 00FG同侧法向,xyznF FF或,xyzGGG; (3)Stokes 公式 (选择 ): ()A drAndS(a)化为Pdydz QdzdxRdxdy; (b)化为( , , )R x y z dxdy; (c)化为fdS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页