《6.2.典型的一阶微分方程1 常微分方程课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《6.2.典型的一阶微分方程1 常微分方程课件（59页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.2.1、可分离变量的微分方程、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .解法解法为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法例例1 1 求解微分方程求解微分方程两端积分两端积分可分离变量的微分方程典型例题可分离变量的微分方程典型例题解解:设设 , 将原方程将原方程分离变量分离变量,得得:两端积分两端积分小结分离变量法步骤小结分离变量法步骤:1.分离变量分离变量;2.两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.注意注意: 通解的形式尽量是最简形式通解的形式尽量是最简形式(如取如取C为特殊形式为特殊形式,可简化通解可简化通解)两端积分两端积分6.2.2.齐次方程齐次方程:
2、的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .1.1.定义定义2.解法解法 作变量代换作变量代换可分离变量的方程可分离变量的方程小结小结: :齐次方程通过齐次方程通过变量替换变量替换可化为可可化为可分离变量方程分离变量方程. .例例 1 1 求解微分方程求解微分方程解解微分方程的解为微分方程的解为例例 2 2 求解微分方程求解微分方程解解微分方程的解为微分方程的解为6.2.3可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程解解代入原方程得代入原方程得原方程的通解为原方程的通解为为齐次方程为齐次方程. .（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）解法解法h和和k可由方程组可由方程组由此可定出由
3、此可定出h,k,即原微分方程可化为齐次方程即原微分方程可化为齐次方程 求解求解.得通解，代回得通解，代回作变量替换，令作变量替换，令z=ax+by,就化成可分离变量的方程就化成可分离变量的方程则方程组中则方程组中x,y的系数对应成比例，设比例系数的系数对应成比例，设比例系数为为，此时方程可写成此时方程可写成解解代入原方程得代入原方程得分离变量法得分离变量法得得原方程的通解得原方程的通解方程变为方程变为1.一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.6.2.4、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程例如例如线性的线性的
4、;非线性的非线性的.齐次方程的通解为齐次方程的通解为1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)2. 线性非齐次方程线性非齐次方程讨论讨论两边积分两边积分非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解
5、解解:这是一阶线性微分方程这是一阶线性微分方程例例1 1例例2 2 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .两边求导得两边求导得解解解此微分方程解此微分方程所求曲线为所求曲线为伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式方程为方程为线性微分方程线性微分方程. 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.6.2.5、伯努利方程、伯努利方程解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.求出通解后，将求出通解后，将 代
6、入即得代入即得代入上式代入上式解解例例 3例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: :解解所求通解为所求通解为解解分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为解解代入原式代入原式分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为另解另解6.2.6.全微分方程及其求法全微分方程及其求法1.1.定义定义: :则则若有全微分形式若有全微分形式例如例如称为称为全微分方程全微分方程或恰当方程或恰当方程所以是全微分方程所以是全微分方程.2.2.解法解法: :应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关.通解为通解为全微分方程全微分方程解解是全微分方程是全微分方程,原方程的通解为
7、原方程的通解为例例1 1解解是全微分方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合原方程的通解为原方程的通解为例例2 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有例例3 求微分方程求微分方程原方程的通解为原方程的通解为2、积分因子法、积分因子法定义定义: :问题问题: 如何求方程的积分因子如何求方程的积分因子?1.1.公式法公式法: :求解不容易求解不容易特殊地特殊地:2.2.观察法观察法: :凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到常见的全微分表达式常见的全微分表达式可选用的积分因子有可选用的积分因子有解解例例4则原方程为则原方程为原方程的通解为原方程的通
8、解为(公式法公式法)可积组合法可积组合法解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有原方程的通解为原方程的通解为可积组合法可积组合法例例5 求微分方程求微分方程解解1整理得整理得A A 常数变易法常数变易法: :B B 公式法公式法: :例例6解解2 2整理得整理得A A 用曲线积分用曲线积分法法: :B B 凑微分法凑微分法: :C C 不定积分不定积分法法: :原方程的通解为原方程的通解为思考题思考题1求解微分方程求解微分方程思考题思考题1解答解答为所求解为所求解.思考题思考题2下列方程是否为齐次方程下列方程是否为齐次方程?思考题思考题2解答解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:原方程原方程是是齐次方程齐次方程.小结小结1.齐次方程齐次方程2.线性非齐次方程线性非齐次方程3.伯努利方程伯努利方程三、一阶微分方程小结三、一阶微分方程小结思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案
