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1、1第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布1 1 随机变量的概念随机变量的概念2随机事件可以采取数量的标识。如：抽样检查产品时废品的个数。掷骰子出现的点数。对没有数量标识的事件，可以人为加上数量标志。如产品为优质品记为1，次品记为2，废品记为3。天气下雨记为1，不下雨记为0。3例如：(1)射击击中目标记为1分，未中目标记0分。用表示射击的得分，它是随机变量，可取0和1两个值。(2)抛一枚硬币， 表示正面出现的次数，它是随机变量，可取0和1两个值。(3)某段时间内候车室旅客数目记为 ，它可取0及一切不大于最大容量M的自然数。(4)一块土地上农作物的产量是随机变量，它可以取区间0，T的一切值
2、。(5)沿数轴运动的质点，它的位置是随机变量，可以取任何实数，即 (-,+)4随机变量按取值情况分为两类：(1)离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个值。(2)非离散型随机变量可以在整个数轴上取值，或至少有一部分值取某实数区间的全部值。非离散型随机变量中最常用的是连续型随机变量。即取值于一个连续区间全部数值的随机变量。以后，只研究离散型与连续型随机变量。5定义2 若是一个随机变量，对任何实数x，令F(x)=P( x)称为F(x)是随机变量的分布函数。对任意实数ab,有P(a b)=P( b)-P( a)=F(b)-F(a)分布函数完整地描述了随机变量的变化情况。注意 P(a b)=P( =a
3、)+P(a b)=P( =a)+F(b)-F(a)P(a b)=P(a b)-P( =b)=F(b)-F(a)-P( =b)6分布函数具有如下的性质：F(x)是概率，取值在0与1之间(2)F(x)是x的不减函数。 x所含基本事件个数不会随x增大而减少(4)F(x)至多有可列个间断点，在其间断点上右连续。72 随机变量的概率分布随机变量的概率分布(一)离散型随机变量的概率分布定义1 如果随机变量只取有限个或可列个可能值，而且以确定的概率取这些不同的值，则称为离散型随机变量。一般列成概率分布表：也可写成P( =xk)=Pk(k=1,2,)称之为概率函数。 x1, =x2, =xk,构成完备事件组。
4、离散型随机变量的分布是指概率分布表或概率函数。性质：Pk0,k=1,2,8例1 一批产品的废品率为5，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量描述废品出现的情况。解：用表示废品的个数。 1表示产品的废品， 0表示产品的合格品。或P( =k)=(0.05)k(0.95)1-k,(k=0,1)9分布函数的图形：x010.951称为两点分布称为0-1分布10例2 产品有一、二、三等品及废品4种，其一、二、三等品率和废品率分别为60，10，20，10，任取一个产品检验其质量，用随机变量描述检验结果。解：用 k表示产品为k等品，k1，2，3 4表示产品为废品概率分布表为0.1123401p1112340.1
5、0.6112例3 用随机变量描述掷骰子的试验情况。解：令表示掷一颗骰子出现的点数。其分布函数为13其图形为离散型随机变量的分布函数图形是阶梯曲线。在的取正概率的点xk处有跳跃，跃度为概率pk在任一连续点x上， 取值x的概率都是零。1012345614解：在跳跃点的跃度就是概率。故概率分布表为15解：概率之和应为112a+3a+a+2a+a+a =10a故 a=0.1概率表应为=0.8=0.616这种随机变量称为几何分布。17例7 盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡，其中10个螺口，5个卡口，灯口向下放着。现在需要1个螺口灯泡，从盒中任取一个，如果取到卡口灯泡就不再放回去。求在取到螺口灯泡之前
6、已取出的卡口灯泡数的分布。解： 0表示第一个就取到了螺口灯泡。 1表示第一个取到卡口，第二个才取到螺口灯泡。18故的分布为若本题改为取到卡口再放回去。则每次取灯泡时的情况完全相同。 k表示前k次取到卡口灯泡，第k1次取到螺口灯泡。k0，1，2，19例8 一袋中装有编号为1，2，3，4，5的五个小球，任取3个，用表示球上的最大号码，求的分布。解： 至少为3故的概率分布为20重要的离散型分布重要的离散型分布(一)0-1分布(二)离散型均匀分布21(三)几何分布22(四)二项分布其中0p1,q=1-p由二项展开公式23利用组合数的性质可以验证(五)超几何分布24k=0,1,2,3,4经计算列出概率分
7、布表。25(六)Poisson分布Poisson分布常见于稠密性问题，如：候车室旅客数目，原子放射粒数织机上的断头数印刷错误。26实际计算时，可查Poisson分布表。27(二)连续型随机变量的分布28概率密度的基本性质：29由于P( =a)=P(=b)=0,故对连续型随机变量。P(a b)=P(ab)=P(a0)失效的概率为而产品的可靠度为1F(t)33(三)正态分布这是最重要、最常见的分布。许多微小的，独立的随机因素作用的总后果，一般可以认为服从正态分布。例如人的身高、零件长度，考试成绩等。特点为“中间大，两头小”。3435记作36对于任给的x值，样表如下：-110x3738标准正态分布的
8、分布函数为其函数值也要通过标准正态分布的分布函数表查出。样表如下：3940对小于零的x，由下图可以间接查表求出-xxt41=0.025=0.95=0.99379-(1-0.94520) =0.938994243一般正态分布的概率密度的图形为其分布函数ux044=0=1454647x0时00x2时148P(1.52.5)=F(2.5)-F(1.5)=0.0625或者0.062549x0时0x0时50故分布函数为=1-(2+1)e-2-0 =1-3e-2实际上，对任意一点xP(=x)=0514 4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布也有多元函数f(1,n) 等。(一一)离散型随机变量函数的分布离
9、散型随机变量函数的分布定义1 设f(x)是定义在随机变量的一切可能值x集合上的函数。如果对于的每一可能取值x，有另一个随机变量的相应取值y=f(x)。称为的函数，记作=f()。 520.20.40.10.3故的分布表为53解:P(=0)=P (=0)=0.2P(=1)=P (=-1)+P (=1)=0.2+0.1 =0.3P(=4)=P (=-2)+P (=2)=0.1+0.4 =0.5故的分布为54的概率分布表为55解：P(+=1)=P(=0, =1)+P(=1,=0)=0.4而P(=1)=P(=1,=1)=0.256解：-的取值可以为1，2，3，4P(-=2)=P(=4,=2)+P(=5,=3)=P(=4)P(=2)+P(=5)P(=3)=0.38类似可算出其它概率。-的概率分布表为57(二二)连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布P(4-1x)两边求导58解：当x0时=0两边对x求导。59010x1时
