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1、因式分解的简单应用Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望2 2、因式分解的主要方法：、因式分解的主要方法：（）提取公因式法：（）提取公因式法：（）公式法：（）公式法：应用平方差公式：应用平方差公式：应用完全平方公式：应用完全平方公式：一般地，把一个多项式化成几个整式的积的一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解形式，叫做因式分解.1 1、因式分解概念：、因式分解概念：将下列各式因式分解：将下列各式因式分解： (1 (1）xy+2xxy+2x2 2y+xy+x
2、3 3y y（2 2）2 a2 a4 4b b8a8a2 2b b（3 3）16x16x4 48181（1 1）原式）原式=xy=xy（1+x1+x）2 2（2 2）原式）原式=2a=2a2 2b b（a+2a+2）（）（a-2a-2）（3 3）原式）原式= =（2x-32x-3）（）（2x+32x+3）（）（4x4x2 2+9+9）将下列各式因式分解将下列各式因式分解1 1、已知、已知 a a、b b、c c为三角形的三边，试判断为三角形的三边，试判断 a a2 2 -2ab+b-2ab+b2 2-c-c2 2大于零？小于零？等于零？大于零？小于零？等于零？解解: : a a2 2 -2ab
3、+b-2ab+b2 2-c-c2 2 =(a-b) =(a-b)2 2 -c-c2 2 因此因此 a a2 2 -2ab+b-2ab+b2 2-c-c2 2小于零。小于零。即：即：(a-b+c)(a-b-c) (a-b+c)(a-b-c) 0 0 a-b+c0 a-b-c 0 a-b+c0 a-b-c 0 a+c b ab+c a+c b ab+c a a、b b、c c为三角形的三边为三角形的三边 =(a-b+c)(a-b-c) =(a-b+c)(a-b-c)拓展提高：拓展提高：2 2、如图，现有正方形纸片张，长方形纸片张、如图，现有正方形纸片张，长方形纸片张请将它们拼成一个长方形，并运用面
4、积之间的关请将它们拼成一个长方形，并运用面积之间的关系，将多项式系，将多项式 因式分解因式分解2a+b2a+b a+ba+b拓展提高：拓展提高：3 3、已知：、已知：x=2004,x=2004,求求4x4x2 2-4x+3-4x-4x+3-4x2 2 +2x+2+13x+6 +2x+2+13x+6的值。的值。解解: 4x: 4x2 2 - 4x+3= (4x - 4x+3= (4x2 2 - 4x+1)+2 = (2x-1) - 4x+1)+2 = (2x-1)2 2 +2 +2 0 0 x x2 2 +2x+2 = (x +2x+2 = (x2 2 +2x+1)+1 = (x+1) +2x+
5、1)+1 = (x+1)2 2 +1 +10 0 4x4x2 2 -4x+3 -4x+3 -4 -4 x x2 2 +2x+2 +2x+2 +13x+6 +13x+6= 4x= 4x2 2 - 4x+3 -4x - 4x+3 -4x2 2 -8x -8+13x+6 -8x -8+13x+6= x+1= x+1即：原式即：原式= x+1=2004+1=2005= x+1=2004+1=2005= 4x= 4x2 2 - 4x+3 -4(x - 4x+3 -4(x2 2 +2x+2 ) +13x+6 +2x+2 ) +13x+6拓展提高：拓展提高：十字相乘法分解因式十字相乘法分解因式分解因式：分解
6、因式： 这说明二次三项式不一定能用完全平这说明二次三项式不一定能用完全平方公式分解因式，下面来介绍一种新方法方公式分解因式，下面来介绍一种新方法. .(3a+b)21. 9a2+6ab+b2 =(a- -2b)22. a2- -4ab+4b2 =3. a2- -4ab+3b2 =?x2+px+qp = a+bx2+(a+b)x+abq = ab=(x+a)(x+b)(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab反过来反过来x2+(a+b)x+ab =(x+a)(x+b)把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：1x2- -6x- -7= 2. x2+6x7= (x+1)(x- -7)(x- -
7、1)(x+7)例例13. x2+8x+15= (x+3)(x+5)4. x2- -8x+15= (x- -3)(x- -5) 常数项是常数项是正数正数时，应分解成两个时，应分解成两个 因数，它们的符号与因数，它们的符号与 的符号相同；的符号相同； 常数项是常数项是负数负数时，应分解成两个时，应分解成两个 因因数，其中数，其中 与一次项系数的与一次项系数的符号相同；符号相同；同号同号一次项系数一次项系数异号异号绝对值较大的因数绝对值较大的因数把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：1x2- -4x+ +3= 2. x2+x30= (x- -1)(x- -3)(x- -5)(x+6)练习练习3.
8、x2- -2x- -15= (x+3)(x- -5)4. x2+14x+24= (x+2)(x+12)5. x2+14x+49= (x+7)2 在把在把x2+px+q分解因式时，我们还可以分解因式时，我们还可以利用图式来帮助分解：利用图式来帮助分解：1x2- -5x- -14= 2. x2- -3xy+2y2= 2- -7=- -51 1(x+2)(x- -7)(x- -y)(x- -2y)12=31 11 22 - -7 通过十字交叉线帮助，把二次三项式通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做分解因式的方法，叫做十字相乘法十字相乘法用十字相乘法把下列各式分解因式：用十字相乘法把下
9、列各式分解因式：1x2- -7x+12 4. x2- -2xy- -48y2 练习练习- -3- -4=- -71 186=21 18 63 4 例例1 把把 2x2- -7x+3分解因式：分解因式：1 22+3=51 31 26+1=73 123=51 2311 261=713 2x2- -7x+3=(x- -3)(2x- -1)2=123=13 =(- -1) (- -3)例例2 把把 2a2a3 分解因式分解因式1 223=1 -3 1解：解： - - 2+3=1 2a2+a- -3=(a- -1)(2a+3)1 22 +3= 1 3-1 怎样根据常数项和一次项系数怎样根据常数项和一次项
10、系数的特点，减少十字相乘法的尝试次数的特点，减少十字相乘法的尝试次数? ? 二次项系数为正数时二次项系数为正数时常数项是常数项是正数正数时，分解成的两个因数应取时，分解成的两个因数应取，它们的符号与，它们的符号与的符号一致的符号一致常数项是常数项是负数负数时，分解成的两个因数应取时，分解成的两个因数应取，交叉相乘时，交叉相乘时的符号应的符号应与一次项系数一致与一次项系数一致一次项系数一次项系数同号同号异号异号乘积中绝对值较大的数乘积中绝对值较大的数用十字相乘法分解因式：用十字相乘法分解因式：12x2+3x+123a2- -7a- -6=(2x+1)(x+1)=(3a+2)(a- -3)例例3
11、把把 - -6x27x5 分解因式分解因式解解：- -6x2+7x+5= - -(6x2- -7x- -5)用十字相乘法用十字相乘法,把把 6x27x5 分解因式，得分解因式，得 6x27x5 = 6x2+7x+5= (2x+1)(3x5)2 310+3= - -7- -5 1 1 (2x+1)(3x5)用十字相乘法分解因式：用十字相乘法分解因式：12x2+5x+1226x2+13xy5y2解解： 2x2+5x+12(2x25x12) (x4) (2x+3)解解： 6x2+13xy5y2(6x213xy+5y2)(2xy)(3x5y)2 3- -10- -3= - -13- -5- -11 2- -8+3= - -5 3- -4 42 (a+b) 2+5(a+b)34x4+3x2- -1=(2a+2b- -1)(a+b+3)= (4x2- -1)(x2+1)= (2x2- -1) (2x2+1)(x2+1)=2(a+b) - -1(a+b)+3分解因式：分解因式：2(4x2+1)2- - 2x(4x2+1) - -40x2= 2(4x2+1)2- -x(4x2+1) - -20x2= 2(4x2+ 1+ 4x)(4x2+1 - -5x)= 2(2x+1)2(4x - -1)(x - -1)
