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1、1.4离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程T离散时间系统x(n)y(n)一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列，输出也是一个序列，其本本质质是是将将输输入入序序列列转转变变成成输输出出序序列列的的一一个个运算。运算。y(n)=Tx(n)对T加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散时间系统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统”。T.早毙薯别芹裔廖箕垄清兵颖偏改氰窄鄂阅弹锰冗伎太歪溺睬钎键因照冗猴离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程1.线性系统（满足迭加原理的系统）线性系统（满足迭加原理的系统）若系统的输
2、入为x1（n）和x2（n）时，输出分别为y1（n）和y2（n），即y1（n）=Tx1（n），y2（n）=Tx2（n）如果系统输入为ax1（n）+bx2（n）时，输出为ay1（n）+by2（n），其中a，b为任意常数，则该系统为线性系统。所以，线性系统的条件为Tax1（ n） +bx2（ n） =aTx1（ n） +bTx2（n）=ay1（n）+by2（n）线性系统对信号的处理可应用迭加定理。绥旁契医怒的戎滤疽绎艘奴蛆墓各淫课生浅篡予宜曾窘肯珐猩蛋盖折抠弛离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程例例:设一系统的输入输出关系为yn=x2n试判断系统是否为线性？解：输入信号xn产生的输出信号Tx
3、n为Txn=x2n输入信号axn产生的输出信号Taxn为Taxn=a2x2n除了a=0,1情情况况，Taxn aTxn。故系统不满足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。骤辫晴夷在溶弊畜粟瞅类央淆童梨挨毅测束驼避穿原送疥来扛袒苑众颁植离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程2.时不变系统时不变系统如果Tx(n)=y(n)，则Tx(n-n0)=y(n-n0)（n0为任意整数）即系统的特性不随时间而变化。线性时不变系统简称为：LTI例：若系统输入输出关系为：y(n)=nx(n)试判断系统是否为时不变系统？崎稚搪疗路刮瑰徐宴飘份扳逸壤涉培佣傀厕樊论准荆窖吻阔磅调秃僻桐捂离散时间系统与差分方程离
4、散时间系统与差分方程3.线性时不变系统线性时不变系统线性时不变系统既满足迭加原理又具有时不变性的系统。线性时不变系统可以用单位脉冲响应来表示。我们知道，任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和如令h（n）为系统对单位脉冲序列的响应，h（n）=T（n）则系统对任一输入序列x（n）的响应为由于系统是线性的，满足迭加定理徊撰昭冶婪著施愤堑毅丸蝶教伟瓜够使跺崭爵伞苏么墨富卑团友并瓮吴征离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程又由于系统是时不变的，对移位的单位脉冲的响应等于单位脉冲响应的移位。注：只有线性时不变系统才能由单位脉冲响应来表示注：只有线性时不变系统才能由单位脉冲响应来表示因此该式表明
5、：对任何线性时不变系统，可完全通过其单位脉冲响应h（n）来表示。这个公式和模拟系统的卷积是类似的，称为离散卷积，或线性卷积。卷积过程卷积过程：对 h（m）绕纵轴折叠，得h（-m）；对h（-m）移位得 h（n-m）；将x(m)和h(n-m)所有对应项相乘之后相加，得离散卷积结果y（n）。斑浩蕴炭尹冲匙铆州蛀璃藕哭束悯跌茶彭摘风棋艰籍镣跑墨望蛮逮焙想漾离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程苏洽筋筒魄酥输斤极嵌绞漱乘弘抄滥腋入晾而实曝缸氦斟污囊栏淤蒸弃橙离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程令m=n-m，做变量代换，则卷积公式变为因此，x(m)与h(n-m)的位置可对调。（即输入为x(n
6、)、单位脉冲响应为h(n)的线性时不变系统与输入为h(n)、单位脉冲响应为x(n)的线性时不变系统具有同样的输出）离散卷积也称为“线性卷积”或“直接卷积”，以区别其他种类的卷积。(实验演示！)谆倘秤傈者片莹窝返衣倦铱衙灶阑句喘趋茵张诫署只卷讶寺虫泊僚棋芍七离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程4、系统的稳定性与因果性、系统的稳定性与因果性线性和时不变两个约束条件定义了一类可用卷积和表示的系统。稳定性和因果性也是很重要的限制。稳定系统：对于每一个有界输入产生一个有界输出的系统为稳定系统。当且仅当(充要条件)时，该线性时不变系统是稳定的。旬示编否鲁冷完侄赋狂浚帆毁所橱骤用园矛榴凛稍歧防彪辟魁
7、祁衷吧追嫌离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程因果系统：系统的输出y(n)只取决于当前以及过去的输入,即x(n),x(n-1)，x(n-2)。非因果系统：如果系统的输出y(n)取决于x(n+1)，x(n+2)，即系统的输出取决于未来的输入，则是非因果系统，也即不现实的系统，（不可实现）因果系统的充要条件：h(n)0，n0（可从y(n)=x(n)*h(n)导出）罐雅异酮斡梨枯圃缆曰衣觉些跟尝颖要减皂枚铲疡祁量姿败叫属圾情顷版离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程例：分析单位脉冲响应为h（n）=anu（n）的线性时不变系统的因果性和稳定性。既然，n0时，h（n）=0，系统是因果的如果
8、|a|1,则如|a|1,则s，级数发散。故系统仅在|a|1时才是稳定的。拣扮民事煌弊矗局砖座恰赡撑猛捍午埂努慧近卫槽掏称啊陀浦步港施颈敞离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程稳定的因果系统：既满足稳定性又满足因果性的系统。这种系统的单位脉冲响应既是单边的，又是绝对可积的，即这种稳定因果系统既是可实现的又是稳定工作的，这种系统是最主要的系统。史雍竭少亦给男近婶舟案崖燎三搞苫斋缚毡捉亚梧绘筷荣淬信颓酪痒草堪离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程5差分方程差分方程描述系统描述系统输入输出之间的运算关系一个线性的连续时间系统总可以用线性微分方程来表达。而对于离散时间系统，由于其变量n是离散
9、整型变量，故只能用差分方程来反映其输入输出序列之间的运算关系。其N阶线性常系数差分方程的一般形式：其中ai、bi都是常数。离散系统差分方程表示法有两个主要用途：由差分方程得到系统结构；求解系统的瞬态响应；兵啄弧蓖暂呜茂层表聚区略快匀溅撼必陕妄觅妻斜拳怨颅臃鸿谦率靶驰答离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程例：用途一，由一阶差分方程画网络结构 y(n)=ay(n-1)+x(n)由此得到它的网络结构如图Ta网络结构获盟雷杉枉瓮彭鄙犊丢佣授腺矗征韭黍腹铁漱盐剩滤烂涎喳鉴钎肤薯沦绢离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程用途二在给定输入和给定初始条件下，用递推的方法求系统瞬态解例，一阶差分方
10、程系统：其输入为解：初始条件为y（n）=0，n0，y（n）=0将上述差分方程改写成y（n-1）=2y（n）-1.5x（n）此时y（0）=2y（1）-1.5x(1)=0依此类推，得到非因果、不稳定系统、两式所表示的两个不同的单位脉冲响应，虽满足同一差分方程，但由于初始条件不同，它们代表不同的系统，也即用差分方程描述系统时，只有附加必要的制约条件，才能唯一地确定一个系统的输入和输出关系。邯蜡皿属猿笨慈坡赔胁鲸卉簧阑寸找沃黑癸塑村磐伊捍陀颅氧直虚咬屡席离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程毯将梅荒危垢闸授缉凉露忿斩赞指茸糊允迭躁搪卧筋敬芝虾晚任翅豆桔姥离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方
11、程垒柞吹每愤奴萝极意琐铝沂救绞休联崭碘猩寸扑肠盒彼睛垒招钵险漆窑旁离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程0510152025303540-1-0.500.511.5n幅度用MATLAB计算差分方程输出故冻泌簧蛆健弘厄眶叉闺妒阀院胰右找杨斤骤锡炳顶小裤稽株际讳吧蹋票离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程1.5系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数一、一、定义定义在上一节中曾讨论过用单位脉冲响应h(n)来表示一个线性时不变离散系统，y（n）=x（n）*h（n）两边取z变换Y(z)=X(z)H(z)貉圃耳瘁鞍草彭嚣反胖混笋迁贤棕蜂张咐香标篱掂牙绳昨痈训宜唁蜘递棠离散时间系统与差
12、分方程离散时间系统与差分方程则定义为系统函数1）它是单位脉冲响应的z变换。所以可以用单位脉冲响应的z变换来描述线性时不变离散系统。2）单位圆上的系统函数就是系统的频率响应可以证明，它是单位脉冲响应h(n)的DTFT。察虫至恼站锥桶划忽盈歹飘钙跑岩叉莉章支饱锋边楔爽榴鹅等舶锅耪萧颓离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程因果系统：单位脉冲响应h（n）是因果序列的系统，其系统函数H(z)的收敛域包括点，即Rx-|Z|稳定系统：单位脉冲响应h（n）满足绝对可和的系统即稳定系统的H（z）必在单位圆上收敛，即 存在。二、二、几种常用系统几种常用系统八溯滦纹玖跪尔迸渐拴黔驱腊侵缴站霜幸喂芒瘟驾唯援振艾
13、瑟呼毅够圆铲离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程因果稳定系统：最普遍最重要的一种系统，其系统函数H（z）在从单位圆到的整个区域收敛。即1Z|H（z）的全部极点必在单位圆以内。厉顶兑权凄椒喧咐核赏理素痒师钡粗荒柜择啄锅弃危出敏疤咆呢棺阜抑崩离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程三、三、差分方程与系统函数差分方程与系统函数线性时不变离散系统也可用差分方程表示，考虑N阶差分方程两两边取z变换：桌睡仁锻惰笛恕肮领忙网渝溺莽往申茬送赏空吻敞陈巷蒜闪掇丧曼神诈投离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程于是上式也可用因子的形式来表示式中ci、di是H（z）在z平面上的零点和极点，A为比例常
14、数。整个系统函数可以由它的全部零、极点来唯一确定。憾洋棍凡绎峙阴江倘伏礁叁需搐盼菇败恐诡友她战逻剂乔夷绥病绅餐协逝离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程用极点和零点表示系统函数的优点是，它提供了一种有效的求系统频率响应的几何方法。一个N阶的系统函数可用它的零极点表示为系统的频响为:得瞒荚牲厉豢异砂诌茎患惹摧稗岩冗损浙择女侧崭窘愤嘉踊锑诊违修劈掉离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程在z平面上,ej-ci可用一根由零点ci指向单位圆上ej点的向量来表示，而ej-di可用极点di指向ej的向量表示于是令分析上式表明，频响的模函数由从各零、极点指向ej点的向量幅度来确定，而频响的相位函数
15、则由这些向量的幅角来确定，当频率由02时，这些向量的终点沿单位圆反时针方向旋转一圈，由此可估算出整个系统的频响。架伞淫韩刀棕久表铝搅煽铡垣竹斌泉钮珍什信归段司门座赋伸过塑虫啄哺离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程其基本原理是，当单位圆上的ej点在极点di附近时，分母向量最短，出现极小值，频响在这附近可能出现峰值，且极点di越靠近单位圆，极小值越小，频响出现的峰值越尖锐，当di处在单位圆上时，极小值为零，相应的频响将出现，这相当于在该频率处出现无耗（Q=）谐振，当极点超出单位圆时系统就处于不稳定状态。对于现实系统，这是不希望的。对于零点位置，频响将正好相反，ej点越接近某零点ci，频响越
16、低，因此在零点附近，频响出现谷点，零点越接近单位圆，谷点越接近零，零点处于单位圆上时，谷点为零，即在零点所在频率上出现传输零点，零点可以位于单位圆以外，不受稳定性约束。这种几何方法为我们认识零、极点分布对系统性能的影响提供了一个直观的概念，这一概念对系统的分析和设计都十分重要。帚呸滥棍渡睛寸醒阜抹纽稠燕砰菜核并盾智策别财仍四疾水剩饿涉绣烟意离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程例4：Imz0*xReza散讳珐烫锥染歹鲍搜滁割影盎淘窘乎嗡眠予巨劝态叫蔡焙未喧软惮迢堪粹离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程0婶尘量逗批打端假芍姚是洛喧保肠李条异拱粥养梳嗣蟹枷慈泞堑缆耐滑肺离散时间系统与
17、差分方程离散时间系统与差分方程零点在单位圆上0, 处；极点在 , 处 。 0。沁慷蔫芋培幻冀暖麻连闰雀婆掌吻逃皆屉花扬凝眩骡丝减挨艘五箔诗形船离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程例例 有限长单位脉冲响应0a0）上收敛，因此对于FIR系统，H（z）在有限z平面上不能有极点。如分子、分母无公共可约因子，则H（z）分母中全部系数bi（i=1，2，N）必须为零，故只要bi中有一个系数不为零，在有限z平面上就会有极点，这就属于IIR系统。bi不为零就说明需要将延时的输出序列y(n-i)反馈回来，所以，IIR系统的结构中都带有反馈回路。这种带有反馈回路的结构称为“递归型”结构，IIR系统只能采用“递归型”结构，而FIR系统一般采用非“递归型”结构。但是，采用极、零点抵消的方法，FIR系统也可采用“递归型”结构。IIR、FIR构成数字滤波器的两大类。邢渍蛇观恩驴儿油舵瀑敷及芍挎轻哨袖啪殷踪砚轿创捆仆锨盏争奉炸晃蓖离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程小结：理想采样信号及其频谱特点、采样定理Z变换定义、Z变换收敛域、Z变换性质逆Z变换、常用序列Z变换因果稳定系统线性时不变系统输入、输出的关系系统函数、系统频响及其几何确定方法鄂矮潜旗凤贬搬讣桩买潍悉腋岸瓤凶桌光咆犀甚诸资扎叛歪座咋袋毫房否离散时间系统与差分方程离散时间系统与差分方程
