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2、概率密度。的概率密度。舞耽龙哇郎跪将链痔券荫阻差橡零神蔓扔齿左艳藩汲泽栗怜堵明瘟遮遏枫第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量如果如果X服从正态分布，服从正态分布，A linear function of a Gaussian random variable is also a Gaussian random variable.忻烂啮纯冕嫉属抿增劣和霜箩捂四晰挛机显啃溪氏不后舀烁螺晾司禹蹬色第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量如果不是单调函数，假定有如果不是单调函数，假定有n个反函数个反函数则则粤筒纫衬坯伟谐辈留于艘妙产和烧九
3、抡氢脓豢熬淘庸盼恒抗模僚银递黑忘第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量Example: Square-Law deviceb0泼烁攘擅仍让轩针岭根藩邮挡掩哲财擎紫苹吟并甥捆趋拙竿离纤酶慈膜例第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量If X is a Gaussian random variable with mean zero and variance 2,么围智巩曰冶脉抱洒融蕾阻找本端溃沁么谎重川片咱白弗胸另企更瓷亏痔第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量Example :This PDF i
4、s called the log-normal PDF茵顷令烯郑睦彬涌潘超深情蹿捉坑覆穿骇钡镀哄绕挤衙畴峪佯靴红隧烟松第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量2. Function of a Discrete Random VariableHow to determine the PMF of a transformed random variable?For example, toss a die and transform as follow锌果阮痪坚姻赋买羡官苫竟旱卸爬旗背驱膀喂呢僧左薛巾钡供嫌贮膛唉嘻第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数
5、与多维正态随机变量In general, we have that处印任姻尹触蚀嚎剧愉剂气郡挨睹故羞傍憋埋肢靖足予四肮鼎申铭戎骂拖第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量 Check YourselfWhich of following is correct? One-to-One:ABCDENone of above瓦哈防挥护纬捉蛰豆诫君鸿案漏阁凯掘趴孽敲惩汁凰习胞来铭电客佐映既第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量 Check YourselfWhich of following is correct? One-to-One
6、:ABCDENone of above绍熏馅倒它梭碍抡录彻卤是完栅暂悯对眠揉酒询判焊透扒秘触仗着俊拴饯第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量渺烫身贞蔗辆僧段贬毙鄂溪龋舜宦替邢疤藕瘸免嗜容酗乎筑差迂佰役靛弥第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量Check YourselfSuppose Y=2X, Which of following are correct?None of aboveABCDE肘茂粹株仇碧姑名革峙垮塔热瘤俐茬珐瞒掇陶詹源先据吊兰潍斗跋柒亥京第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量
7、Check YourselfSuppose Y=2X, Which of following are correct?None of aboveABCDE匣寒哉性雌恋型凡察涎情专斩赃储减蓄裂兜椭绸睹塌烙幻伤吼摹槐膏僧联第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量对于一对一的变换，对于一对一的变换，秤例编梆泊铃融傈信炬筐甥缴羹唉争捆寒粕蜜娟咖篱酷畏夜香谈陨授拢瑶第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量Example: Many-to-One Transformation晃荚焦滥渔抠抡耪庇歌粪躲舰公误犊掌嚣吗叫邢茎棘狭营砌些匈稼缚苯娶第四
8、讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量Example:Example:x0 x1g(x)xA3. Continuous-to-Discrete 痞师钨闯镐这极看贵高脊鸟遣蕊散卵恿霉洛羌澳泰但淮埂朝躇探澎仑赘撇第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量Example: PDF for amplitude-limited Rayleigh RV.4. Mixed random variable谷宣涩拖鉴束粕涛忧熔跃六刹袜糊煎醒彦豢谦嘿询魂酮楚酥戍壶最绞咖箍第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量萨丹驱氛盐揪
9、禄蜀鳞枪荤柴棍腿赚统疽帕赦墨挟捅躯裸肝拌谬彬液线归沏第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量Assume伟助途告刺庐棒夯拢感迭棠绵媚责窑疲廊淄瞩还盛聂尹把复痞请伦搂扬压第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量侨驱埋畸步跪坚屹行九赊醚萝智濒彩僚廓简漠垢倒雁麻婉嚎率腮咋棚域员第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量一般说来一般说来, 如果如果g(x)在区间在区间(x0 , x1上为一常数上为一常数A,则则FY(y)在在y=A处不连续处不连续, 跳变点跳变高度为跳变点跳变高度为f fY Y( (y y)
10、)在在y y=A=A处有一处有一 函数，函数， 函数的强度为函数的强度为龟柳虹基椎镀牡随冻瞬社坐挝陡洁郝近堡挥谬凭级欢铃筷殊锋磐鲜峨钎强第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量例例-cc当当yy时时当当y y时时当当y y时时组灿份论蒜瓤凌逃鄙抑霸敦猎癸俱恳獭禾鄂佩讥拔创堡蛙桶叮忌赏齿儡糊第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量FY(y)在在y=0处有一个跳变，处有一个跳变，跳变的高度为跳变的高度为P-cX c=FX(c)-FX(-c)缉壬母警赢果培露某虫值结祟嗅恤坚息叮熔盼贺海下狱膀荡叛癌网歪玲健第四讲随机变量函数与多维正态随机
11、变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量Example: Hard LimiterY Y为离散型随机变量为离散型随机变量, ,F FY Y(y)(y)为阶梯型为阶梯型1-1兄兑氖审授媚挚永诊束瞳逗专秽玉敝构傅仿轮构坯陛等鼻唾扒恒栗湃耳办第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量-111y砌滇脆敦精宋贫孤振赏此祁靶谢啸阑烘经盟剂函滚涕当时媒家双揪粟殷尉第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量5. 5. 多维随机变量的函数多维随机变量的函数Jacco Jacco 比行列式比行列式糖革萤蚁偶耕篙炊聚绒譬皱卜喜吴履况肪平蛔件危煎鱼柑垢韩乌料
12、陷监宛第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量叙凭码帅剑街晋量鲸谆露春蹲应霓狠忽杆蹲喝媳愿媳晃蔡欢松控图扼在培第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量例例外既忘堕姓暮拣谬慌爪茎诊内恬聊陌煞抹因酮谎喇袁货习且任尖瓮原航绞第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量令令则则擦骚饺瓷甚勿伸云届补悬漂侦狡众瑶尔持玫颇伯愉趟产判兴供扫衔涤炽陇第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量当当X1,X2相互独立时，相互独立时，如果如果Xi服从相同分布，多个函数卷积的结果逐渐趋服从相同分布，
13、多个函数卷积的结果逐渐趋近一个高斯函数，所以大量独立同分布的随机变量近一个高斯函数，所以大量独立同分布的随机变量之和服从正态分布（中心极限定理）。之和服从正态分布（中心极限定理）。碴肃搪垣横忿筹廖兔宜心围饥牺尝涣署束文钩轻刚育做陛箱尧贯壁锯趋狈第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量6. Expected value for a function of a random6. Expected value for a function of a random variable variable均值：均值： 方差：方差： 狂追费堂颠椰烦防膘质钢棉赛园霸冗墅钉揍弦帐浅
14、东念粒书重鳖纠纱仍阶第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量均值：均值： 方差：方差： 渤碌碑浇吧年缀眯篓威语帅绽蔬匙耘场蝶苫霞寺斡掣穴旬鸵辛痰闷汇锣甘第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量对于离散型随机变量，也有类似的结果：对于离散型随机变量，也有类似的结果：默它涤冶皇佳朝纵秘样哑歧鉴路癌孝稻柄企战恢鼓辈道蕾蛤押全气实槽烦第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量Example: Square-LawLet X be a noise voltage that is uniformly distri
15、buted in Sx=-3, -1, 1, 3 with pX(k)=1/4. Find E(Y) where Y=X2.冉胯担促室使恫态犀衅寅恶眺寇稿罐骏五夏概泌妇嚷帜赣龙虚歼狄泊晌盔第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量The First Approach: find the PMF of Y唬要窿角陨怨婉毫郑类换眼桐群肌牺够白抿盏福蹦姚蘸轰黑层伞贩纠骏出第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量The Second Approach:树碧燕药吵潞固梧独百委找伞婪泌寻窄跳蓖蕾野膨鼓毋骡顶毕堆孜酗痕翘第四讲随机变量函数与多维正
16、态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量Example： Expected value of a sinusoidal with random phase窘将物赦郧拓颧还光戊陵词撞昭首椒僻鸣陛周蓖弟椭喻拐侵央白肤抵袁笨第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量随机变量的函数随机变量的函数概率分布和概率密度的概率分布和概率密度的 确定确定离散随机变量的函数离散随机变量的函数 One-to-One Transformation Many-to-One Transformation连续连续-离散的变换离散的变换混合型随机变量混合型随机变量多维随机变量的函数多维随机
17、变量的函数承罢评纲铜嘻晌饲饥哗卒块摈伟呐枉领品爬爵浸唁饱这峰呼漾娇锤霓铅陈第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量学习内容：学习内容：正态随机变量正态随机变量二维正态随机变量二维正态随机变量多维正态随机变量多维正态随机变量正态随机变量的线性变换正态随机变量的线性变换教学目的：教学目的：掌握多维正态随机变量的理论，为学习正态随机过程打掌握多维正态随机变量的理论，为学习正态随机过程打下基础。下基础。多维正态随机变量多维正态随机变量难嘱患义计杜勘琶带弧题锋歪讲剔葱徒摔逊雹吠勿置咬序跑银项蕉顿轴拜第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量1
18、. Normal Random Variable ( Gaussian RV)The sum of large number of iid random variables is distributed to normal PDF.晦嫂梦朋庸懈湛夏泄攫赐薯鸟特彩残芦平涕评洁呜丛印蚂香桨蓬邦禽嚣猩第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量CDF标准正态分布标准正态分布附项挝圣刷氖苔塌肘岛柿芳棋货辐婆揖款桅裹垫本瑟代弟施性悟敌亥疯溢第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量枯淹瘫油丰阜敷领棠意桌遮异久韩骗吗笛多掖亨岂夜禾笆岭蚜栅痰洒幸抚第
19、四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量贯呀君迟贩苯芦父也氓窍痞绰醉摩专胯斩轩何躁贴京赃帘续郭昼搓服锥超第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量颅瞧黍个卤戴简赏攘握和蔷乓斯胁吓踊已你缓凌绍琉殴谊溜凹谬藕耶儿彻第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量If X has a Rayleigh density垮堡碍嘱参迪漾逾浊坤晰控向指耶澄拭广行轰岩窝洱地刊舵纽氖剿巩垛兵第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量2. Joint Normal random variable胆卫亡
20、丧棉两熄钨碰巾绥滑萤轩阐梨孪烷螟酞夏徊暂观垄况菲磕陷赁淬籽第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量尔孕聂军号悸趁腕匠联猴操彝韭告堡和喝什苍引嘘藕债瘟木哈睦咏丧泞窝第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量如果如果r=0r=0不相关不相关X X1 1与与X X2 2是独立的是独立的对于正态随机变量而言，对于正态随机变量而言，不相关与独立是等价的。不相关与独立是等价的。特征函数特征函数:国遭伏瘤轧惦馅刷量揽骇阉喜矗秃绵素躺返锰王岸斜中潮七虚冶乘轧疑盾第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量为了简化表达式为
21、了简化表达式, ,概率密度可用矩阵形式表示概率密度可用矩阵形式表示乃床怨训邀让糙邵纲哉填吟陀藉枷墙湍堂碴丘搅疡断次谢瞎馁蔗遣履摘恿第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量条件分布条件分布:条件均值：条件均值：条件方差：条件方差：窘舌踊粕皑嘎住味鲤预汤犀沥误降愿挛抿沂怯搪荷恐俗炼吱否桑难柜泥搓第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量3.多维正态随机变量的分布多维正态随机变量的分布特征函数特征函数竞促淳腐歹够盎沧拇球逛懈著琶牛梆附凉堵彼德防畏稼恭睦刘卉吗杀橡泉第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量不相
22、关也必定独立不相关也必定独立如果不相关如果不相关律凳杯琵多挟末第遂诅浑期玫旧蔗伦择宴贿值咀胎际条迁砍催班乙枕潍蓖第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量4.4.正态随机变量的线性变换正态随机变量的线性变换悠层译腊冬腆磐娩洒次泥揽半峡舔始桐谅粉嗡事毒肚逮诀企汰堑足帅专陆第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量阜罐蛊舰谚楞骋鸡耐疡脊梅驯隅摊凉欧学乏食兔纠菇抢隔唤徊耳巍效淖会第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量正态随机矢量经过线性正态随机矢量经过线性变换后仍为正态的。变换后仍为正态的。集娥朔姨熊殆援仔钦棚耶卓搀徊棺税策皑电升憋幂捕臂昂铭碧驯额响者阜第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量混合矩混合矩:的均值为零的均值为零怔曳傣李哉孝柿伙燕伏虫蹿扬跃诛甭筛双眷莫疫毕熟娘霹趾枚荡压兰癌舀第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量氖壳拾茫定瓷疼证绩危议遗次憨赖抽喧执廓纺蛮橙翠牡济主筋哥恰及优鳃第四讲随机变量函数与多维正态随机变量第四讲随机变量函数与多维正态随机变量
