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1、1目 录一、高等数学.1(一) 函数、极限、连续.1(二) 一元函数微分学.5(三)一元函数积分学.13(四) 向量代数和空间解析几何. 21(五)多元函数微分学.31(六)多元函数积分学.37(七)无穷级数.42(八)常微分方程.50二、线性代数.55(一) 行列式.55(二)矩阵.56(三) 向量.59(四)线性方程组.62(五)矩阵的特征值和特征向量. 64(六)二次型.66三、概率论与数理统计. 68(一)随机事件和概率.68(二)随机变量及其概率分布.72(三)多维随机变量及其分布.74(四)随机变量的数字特征.78(五)大数定律和中心极限定理. 80(六)数理统计的基本概念.82(
2、七)参数估计.84(八)假设检验.87经常用到的初等数学公式.89平面几何. 94愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！2一、高等数学(一) 函数、极限、连续考试内容公式、定理、概念函数：设有两个变量x和y，变量x的定义域为D，如果对于D中的每一个x值，按照一定的法则，变量y有一个确定的值与之对应，则称变量y为变量x的函数，函数和隐函数记作：y fx基本初等函数包括五类函数:1 幂函数:y xR;基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立：2 指数函数y a(a 0且a 1);x3 对数函数:y log x(a 0且a 1);a4 三角函数:如y sinx, y cosx,y ta
3、nx等;5 反三角函数:如y arcsinx,y arccosx, y arctanx等.初等函数：由常数C和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初等函数.数列极限与函数极限的定义及 其 性质，函数的左极限1lim f (x) A f (x ) f (x ) A00xx02lim f (x) A f (x ) Aa(x),其中lim a(x) 00xxxx003(保号定理)3与右极限设 lim f (x) A,又A 0(或A 0),则一个 0,xx0当x(x ,x ),且x x 时，f (x) 0(或f (x) 0)000设lim （x) 0
4、,lim(x) 0(x)(1)若lim0,则(x)是比 （x)高阶的无穷小，(x)记为(x)=o(x).(x)(2)若lim ,则(x)是比 （x)低阶的无穷小，(x)(x)(x)(3)若lim c(c 0),则(x)与 （x)是同阶无穷小，1,则(x)与 （x)是等价的无穷小，(x)(x)无穷小和(4)若lim无穷大的记为(x) (x)(x)概念及其关系，无穷小的性(5)若lim c(c 0),k 0,则(x)是 （x)的k阶无穷小k (x)质及无穷常用的等阶无穷小：当x 0时小的比较sin xarcsin xtan x11cos x x22 x,arctan x11(1 x)n1xln(1
5、 x)nex1无穷小的性质（1）有限个无穷小的代数和为无穷小（2）有限个无穷小的乘积为无穷小（3）无穷小乘以有界变量为无穷小4Th在同一变化趋势下，无穷大的倒数为无穷小；非零的无穷小的倒数为无穷大lim f (x) A,limg(x) B.则(1)lim( f (x) g(x) A B；极限的四则运算(2)lim f (x)g(x) AB；f (x)(3)limA(B 0)g(x)B1(夹逼定理）设在x 的邻域内，恒有 （x) f(x) (x),0且 lim(x) lim(x) A, 则lim f (x) Axx0xx0xx02 单调有界定理：单调有界的数列必有极限3 两个重要极限：极限存在的
6、两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重 要 极限：1sin x(1)lim1(2)lim(1 x) exxx0x0a0,n mb0a x a xnn1an1xan重要公式：lim01 0,n mmb xm1bm1xbmxb x01,n m4 几个常用极限特例limnnn 1,lim arctan x x2lim arctan x xlim arccot x 0,x25lim arccot x lim ex0,1,xxlim ex ,lim xx0xx连续函数在闭区间上的性质：(1) (连续函数的有界性)设函数fx在a,b上连续,则fx在a,b上有界,即常数M 0，对任意的xa,b,恒有fx
7、M.函数连续的概念：函数间断点的类(2) (最值定理)设函数fx在a,b上连续,则在a,b上fx至少取得最大值与最小值各一次,即,使得:型：初等函数的连续性：闭区间上连续函数的性质f maxfx, a,b；axbf minfx, a,b.axb(3) (介值定理)若函数fx在a,b上连续,是介于fa与fb(或最大值M与最小值m)之间的任一实数,则在a,b上至少一个,使得f .a b(4) (零点定理或根的存在性定理)设函数fx在a,b上连续,且fa fb 0,则在a,b内至少一个,使得6f 0.a b(二) 一元函数微分学考试内容对应公式、定理、概念f (x x) f (x )1导数定义：（1
8、）（2）f (x ) lim000xx0导数和微分的概念f (x) f (x )或f (x ) lim00x x0x x0左右导数2 函数f (x)在x处的左、右导数分别定义为：0导数的几左导数：何意义和物理意义f (x x) f (x )f (x) f (x )0f (x ) lim00 lim,(x x x)00x0xxxx x00f (x x) f (x )f (x) f (x )右导数：f (x ) lim00 lim00x0xxxx x00Th1: 函数f (x)在x处可微 f (x)在x处可导00Th2: 若函数y f (x)在点x处可导，则y f (x)在点x处00函数的可导性与
9、连续性之间的关系，平面曲线连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导.Th3:f (x )存在 f (x ) f (x )000设函数f (x)在x x 处可导，则f (x)在M(x , y )处的000的切线和切线方程：y - y f (x )(x x )000法线1法线方程: y - y (x x ), f (x ) 0.000f (x )0导数和微四则运算法则:设函数u u(x)，v v(x)在点x可导则分的四则(1)(u v) uvd(u v) du dv7运算，初(2)(uv) uvvud(uv) udv vdu等函数的导数，uvuuvu(v 0)d( ) vvdu udv(3)( )
10、 vv2v2基本导数与微分表(1)y c（常数）y 0dy 0(2)y x(3)y a(为实数)y x 1dy x1dxxy axlnady a lnadxx特例(ex) exd(ex) exdx11(4)y dy dxxlnaxlna11特例y lnx(ln x) d(lnx) dxxx(5)y sin x(6)y cosxy cosxd(sinx) cosxdxd(cosx) sin xdxy sinx1(7)y tan x(8)y cot xy sec2xd(tanx) sec xdx2cos2xx1y csc2xd(cot x) csc xdx2sin2(9)y secx(10)y c
11、scxy secxtanxd(secx) secxtan xdxy cscxcot xd(cscx) cscxcot xdx11(11)y arcsin x(12)y arccosx(13)y arctan xy d(arcsin x) d(arccosx) d(arctanx) dx1 x21 x211y dx1 x21 x211y dx21 x21 x811(14)y arccot xy d(arccot x) dx21 x21 x(15)y shx(16)y chxy chxy shxd(shx) chxdxd(chx) shxdx1 反函数的运算法则: 设y f (x)在点x的某邻域内
12、单调连续，在点x处可导且f (x) 0，则其反函数在点x所对应的dy1y处可导，并且有dxdxdy复合函2 复合函数的运算法则:若 (x)在点x可导,而y f ()数，反函在对应点( (x)可导,则复合函数y f (x)在点x可数，隐函导,且y f ()(x)数以及参数方程所dy3 隐函数导数的求法一般有三种方法：dxx确定的函(1)方程两边对求导，要记住y是x的函数，则y的函数是数的微分法，1x的复合函数.例如，y2，ln y，e等均是x的复合函数.yyx对求导应按复合函数连锁法则做.dydxF(x, y)(2)公式法.由F(x, y) 0知 x,其中，F(x, y)，xF(x,y)yF(x
13、, y)分别表示F(x, y)对x和y的偏导数(3)利用微分形式不变性高 阶 导数，一阶常用高阶导数公式微分形式（1）(ax)(n) axlnna(a 0)(ex)(n)ex的 不 变9性，（2）(sinkx)(n) knsin(kxn)2cos(kxn)2（3）(coskx)(n) kn（4）(xm)(n) m(m-1)(m-n+1)xm-n(n1)!（5）(ln x)(n) (1)(n1)xn（6）莱布尼兹公式：若u(x),v(x)均n阶可导，则n(uv)(n)cinu(i)v(n-i)，其中u(0)= u，v(0)= vi=0Th1(费马定理)若函数f (x)满足条件：(1)函数f (x
14、)在x的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有0f (x) f (x )或f (x) f (x ),00(2)f (x)在x处可导,则有f (x ) 000Th2 (罗尔定理) 设函数f (x)满足条件：微分中值(1)在闭区间a,b上连续；定理，必(2)在(a,b)内可导，则在(a,b)内一个，使f () 0达法则，Th3 (拉格朗日中值定理) 设函数f (x)满足条件：泰勒公式(1)在a,b上连续；(2)在(a,b)内可导；则在(a,b)内一个f (b) f (a)，使 f ()baTh4 (柯西中值定理) 设函数f (x)，g(x)满足条件：(1)在a,b上连续；(2)在(a,b)内可导且f
15、(x)，g(x)均存在，f (b) f (a)f ()且g(x) 0则在(a,b)内一个，使g(b)g(a)g()洛必达法则：100法则(型)设函数fx,gx满足条件：0lim fx 0,lim gx0;fx,gx在x的邻域内可导0xxxx00f x(在x处可除外)且gx 0;lim存在(或).则0xx0gx fxgxf xlim lim.0gxxxxx00法则I(型)设函数fx,gx满足条件：0lim fx 0,lim gx0;一个X 0,当x Xxxf x时,fx,gx可导,且gx 0;lim存在(或).则gxxx0fxgxf xlim lim.0gxxxxx0法则(型) 设函数fx,gx
16、满足条件：lim fx , lim gx ;fx,gx在x的邻域内可0xxxx00f x导(在x处可除外)且gx 0;lim存在(或).则0xx0gx 11fxgxf xlim lim.同理法则II(型)仿法则I可写出0gxxxxx0泰勒公式: 设函数f (x)在点x处的某邻域内具有n1阶导0数，则对该邻域内异于x的任意点x，在x与x之间至少00一个，使得1f (x) f (x ) f (x )(x x ) f (x )(x x )2000002!f(n)(x )0(x x )n R (x)0nn!f(n1)()其中R (x) (x x )n1称为f (x)在点x处的n00n(n 1)!n阶泰
17、勒余项.令x 0，则阶泰勒公式01f(n)(0)f (x) f (0) f (0)x (1)f (0)x2 nx R (x)n2!n!f(n1)()其中xn1，在 0 与x之间.(1)式称为麦克R (x) n(n1)!劳林公式常用五种函数在x 0处的泰勒公式011xn1ex1 x x2xne2!n!(n1)!11或 1 x x2 xn o(xn)2!n!121xnnxn1n 1sin x x x3sinsin( )3!n!2(n 1)!21xnn或 x x3 3!sin o(xn)n!21xnnxn 1n 1cos x 1 x2 coscos( )2!n!2(n 1)!21xnn或1x2cos
18、o(xn)2!n!2113xn(1)nxn1ln(1 x) x x2x3 (1)n12n(n 1)(1 )n1n或121x x x2x3 (1)n1 o(x )n3nm(m 1)m(m 1)(m n 1)n!(1 x)m 1 mx x2 xn2!m(m1)(mn1)(n1)!xn1(1 )mn1或m (m 1)(1 x)m 1 m x x2 2!m (m 1) (m n 1)n !xn o( xn)函数单调性的判1 函数单调性的判断：别，函数Th1 设函数f (x)在(a,b)区间内可导，如果对x(a,b)，都的极值，有f (x) 0（或f (x) 0），则函数f (x)在(a,b)内是单调增
19、函数的图加的（或单调减少）形的凹凸Th2（取极值的必要条件）设函数f (x)在x处可导，且在x00性，拐点处取极值，则f (x ) 0.0及渐近13线，用函Th3 （取极值的第一充分条件）设函数f (x)在x的某一邻0数图形描域内可微，且f (x ) 0（或f (x)在x处连续，但f (x )不000绘函数最存在.）大值和最(1)若当x经过x时，f (x)由“+”变“-”，则f (x )为极大00小值，值；(2)若当x经过x时，f (x)由“-”变“+”，则f (x )为极小00值；(3)若f (x)经过x x的两侧不变号，则f (x )不是极值.00Th4 (取极值的第二充分条件)设f (x
20、)在点x处有f (x) 0，0且f (x ) 0，则 当f (x ) 0时，f (x )为极大值；000当f (x ) 0时，f (x )为极小值.00f (x )0，此方法失效.02 渐近线的求法：(1)水平渐近线若lim f (x) b，或lim f (x) b，则y bxx称为函数y f (x)的水平渐近线.(2)铅直渐近线若lim f (x) ，或lim f (x) ，则x x0xxxx00称为y f (x)的铅直渐近线.f (x)(3)斜渐近线若a lim,b lim f (x)ax，则xxxy axb称为y f (x)的斜渐近线12更多考研资料关注微信公众号：考研路上的幸福哥143
21、 函数凹凸性的判断：Th1 (凹凸性的判别定理）若在I 上f (x) 0（或f (x) 0） ，则f (x)在 I 上是凸的（或凹的）.Th2 (拐点的判别定理1)若在x处f (x) 0，（或f (x)不存0在），当x变动经过x时，f (x)变号，则(x , f (x )为拐点.000Th3 (拐点的判别定理2)设f (x)在x点的某邻域内有三阶导0数，且f (x) 0，f (x) 0，则(x , f (x )为拐点001.弧微分：dS 1 y dx.2y2.曲率：曲线y f (x)在点(x, y)处的曲率k .弧微分，曲率的概念，曲率半径32(1 y2).x (t)(t) (t) (t) (
22、t)对于参数方程, k y (t)2232 (t) (t)3.曲率半径：曲线在点M处的曲率k(k 0)与曲线在点M处1的曲率半径有如下关系： .k(三)一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念，不定积分对应公式、定理、概念基本性质1kf (x)dx kf (x)dx（k 0为常数）15的基本性质2f (x) f (x) f (x)dx f (x)dxf (x)dxf (x)dx12k12k3 求导：f (x)dx f (x)或微分：df (x)dx f (x)dx4F (x)dx F(x)C或dF(x) F(x)C（C是任意常数）1xkdx xk 1C（k 1）k 1111dx Cdx 2
23、 x Cx2xx1dx ln x Cxaxaxdx C(a 0,a 1)exdxlnacosxdx sin xCsin xdx cos x C基本积分公式1dx sec2xdx tanxCcos2xx1dx csc2xdx cotxCsin21dx cscxdx ln cscxcot x Cdx secxdx ln secx tanx Csin x1cos xsecxtan xdx secx Ccscxcot xdx cscx Ctan xdx ln cosx Ccot xdx ln sin x C16dx xdx1xdxarctan C arctan x C2aa22aa1 xxdx arc
24、sinC arcsin xCa2x2a1 x2dx1a xdx121x1xln C2lnC2 x22aa x1 xdx ln xx2aC2x2a2重要公式(1)设f (x)在l,l上连续，则llf (x)dx f (x) f ( x)dx0 l 0,当 （fx） 为 奇 函 数 l2f ( x )d x,当 （fx） 为 偶 函 数0（2）设（f x）是以T为周期的连续函数，a为任意实数，Ta TTaf (x)dx f (x)dx 2f (x)dx.T021a(3)0a2 x2dx a24n 1 n 31 ,当n为偶数nn 22 2(4)02sinnxdx 02cosnxdxn 1 n 321
25、,当n为奇数 nn 23 ,n m2（5）sin nx cos mxdx sin nx cos mxdx -00,n m2sin nx cosmxdx sin nx cos mxdx 0017 ,n m2cos nx cos mxdx cos nx cos mxdx 0 00,n m1 定积分的基本性质(1)定积分只与被积函数和积分限有关，而与积分变量无关，即bbbf (x)dx f (t)dt f (u)du aaaba(2)f (x)dx f (x)dxabb(3)dx baabbb(4) f (x) g(x)dx f (x)dxg(x)dxaaa定积分的概念和基本性质，定积分中值定理bb
26、(5)kf (x)dx kf (x)dx(k为常数）aabcb(6)f (x)dx f (x)dx f (x)dxaacbb(7)比较定理：设f(x) g(x), xa,b, 则f(x)dx g(x)dx.aab推论：1.当f (x) 0,xa,b时，f (x)dx 0;abb2.|f (x)dx| f (x)|dxaa(8)估值定理：设m f(x) M, xa,b, 其中m,M 为常数，则bm(ba) f (x)dx M(ba)a(9)积分中值定理：设f (x)在a,b上连续，则在a,b上至少一个,b使f (x)dx (ba)f ()a181bf () f (x)dx平均值公式baaTh1设
27、函数（f x）在a，b上连续，xa，b，则变上限积分xF （x） f (t)dt对x可导addx且 有 F (x) F (x) (f (t)dt) f (x)dxdxa ( x)推论1设F (x)=af (t)dt,则F (x) f (x) (x).积分上限的函数及其导数，(x)推论2(x)f (t)dt)x f(x) (x) f(x) (x) (x) (x)牛顿推论3(af (t)g(x)dt)莱布尼兹x (g(x)af (t)dt)x ( x)公式 g (x)af (t)dt g(x) f (x) (x)Th2设f (x)在a,b上连续，xa,b,则xf (x)dt是f (x)在a,b上的
28、一个原函数aTh3牛顿-莱布尼茨公式:设f (x)在a,b上连续，F(x)是f (x)的原函数，则bf (x)dx F (x) |ba F (b) F (a)a1 不定积分：不定积分和定积分的换元积分法与分分部积分法：选择u，dv 的原则：积分udv uv vdu容易者选作dv，求导简单者选为u部积分法换元积分法：设f (u)du F(u) C,19则f (x) (x)dx f (x)d (x)设u (x)f (u)du F(u)C F(x)C2 定积分换元法:设函数（f x）在a，b上连续，若x （t）满足：(1)(t)在，上连续，且 (t) 0.(2) (a) a ( ) b.并 且 当
29、t在 ， 上 变 化 时 ， （t）的值在a，b上变化，则bf (x)dx f a分部积分公式设（u x），（v x）在a，b上具有连续导函数u(x),v(x),则aau(x)v(x)dx u(x)v(x) |abv(x)u (x)dxbb3 定积分不等式证明中常用的不等式1(1)a2 b2 2ab(2)a 0,a 2a(3)柯西不等式：bbb(f (x)g(x)dx)2f2(x)dxg2(x)dx,aaa其中（f x），g （x）在a，b上连续1 三角函数代换有理函数，三角函数的有函数f (x)含根式所作代换三角形示意图20理式和简单无理函数的积a2 x2x asint分，广义积分和定积分的
30、应用a x22x atantx asectx2a2有理函数积分A(1)dx Aln | x a | Cx aAA1(2)dx C(n 1)(x a)nn 1 (x a)n121pdxdx4qpn令x+ udua2 (3)(x2pxq)2(unp222 n)4qpa2(x )2424xa11pdxpxq)(4)(x2（ p4 广义积分pxq)ndx2(n1)(x pxq)n1(a )2(x22n2 4q 0 ）（1）无穷限的广义积分（无穷积分）+b设（f x）连续，则.b af (x)dx= limf (x)dxabb2.f (x)dx= limf (x)dx-aac3.f (x)dx f (x
31、)dx f (x)dxc（2）无界函数的广义积分（瑕积分）bb1.f (x)dx limf (x)dx,(当x b 时，f (x) )a 0abb2.f ( x)dx limf ( x)dx,(当 x a 时 ，（fx） ）a 0a bcb.f (x)dx limf (x)dx limf (x)dxa 0a 0c(当x c时，（f x） ）22(四) 向量代数和空间解析几何考试内容对应公式、定理、概念1.向量：既有大小又有方向的量，又称矢量.2.向量的模：向量a的大小.记为a.3.向量的坐标表示：若向量用坐标表示a xi yj zk x,y,z，则a x2 y2 z24 向量的运算法则：向量的
32、概念，向量的线性运算，加减运算设有矢量a x , y ,z ，b x , y ,z ，则111222a b x x , y y ,z z .121212.数乘运算数乘运算矢量a与一数量之积a，0a a 0,即与a同向a 0=0,即为零矢量设a x , y ,z ，则111- a a0 0,即与a反向a x ,y ,z .111向量的数1矢量的数积（点积，内积）：量积和向矢量a与b的数量积ab a b cosa,b .量积，向量的混合积，设a x , y ,z ，b x , y ,z ，则ab x x y y z z .111222121212232 矢量的向量积（叉积，外积）：设有两个向量a与
33、b，若一个矢量c，满足如下条件（1）c a b sin(a,b)；（2）c a,c b，即c垂直于a，b所确定的平面；（3）a，b，c成右手系.则称矢量c为矢量a与b的矢量积，记c ab.设a x , y ,z b x , y ,z ，则111222ijkyz x zxy111111ab xyzi j k.111y2z22x z22xy2xy2z223 混合积：设有三个矢量a,b,c，若先作a，b的叉积ab，再与c作点积(ab)c，则这样的数积称为矢量a，b，c的混合积，记为(a,b,c)，即(a,b,c) (ab)c.设a x , y ,z ，b x , y ,z ，c x , y ,z ，
34、111222333xyz111则(a,b,c) xy2z22xy3z33两向量垂直、平行的条件，1 向量之间的位置关系及结论24两向量的夹角，向量的坐标设a x , y ,z ，b x , y ,z ，c x , y ,z 111222333表达式及（1）a b ab 0 x x y y z z 0；121212其运算，单 位 向量，方向数与方向余弦，x1y1z1x2y2z2（2）a/b ab 0 ；其中x , y ,z之中有一个为“0” ， 如x 0，应理解为x 0；22221（3）a，b不共线 不全为零的数,使ab 0；（4）矢量a与b的夹角，可由下式求出x x y y z zcos(ab
35、) 121212；x12 y12 z12x22 y22 z22（5）a，b，c共面 不全为零的数,v，使a bvc 0或者(a,b,c) 02 单位向量：模为1 的向量. 向量a的单位向量记作a，0axyza0 ,.a222222222x y zx y zx y z 3 向量的方向余弦：25xyzcos ,cos ,cos ,x2 y2 z2x2 y2 z2x2 y2 z2其中,为向量a与各坐标轴正向的夹角.4 单位向量的方向余弦：显然a cos,cos,cos，且有0cos2 cos2 cos 1.2曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程，直 线 方程，平面与平面、平面与直线、直线1 平面方
36、程(1)一般式方程Ax ByCz D 0，法矢量n A,B,C，若方程中某个坐标不出现，则平面就平行于该坐标轴，例如 平面AxCz D 0/ y轴(2)平面的点法式方程A(x x ) B(y y )C(z z ) 0000M(x , y ,z )为平面上已知点，n A,B,C为法矢量000x xy yz z111与直线的(3)三点式方程x x y y z z121212以 及 平行、垂直的条件，点到平面和点到直x x y y z z313131M (x , y ,z ),M (x , y ,z ),M (x , y ,z )为平面上的三个点111122223333xyz(4)截距式方程1，a,
37、b,c分别为平面上坐标轴上abc线的距离的截距，即平面通过三点(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)2 直线方程26A x B y C x D 0平面1一般式方程(两平面交线)：1111A x B y C x D 0平面22222平面与平面的法矢量分别为n A ,B ,C ，121111ijkn A ,B ,C ， 直线的方向矢量为s n n A B C122221211A B C222(2)标准式方程xx0yy0zz0M(x , y ,z )为直线上已知点，000lmns l,m,n为直线的方向矢量xx1yy1zz1(3)两点式方程x x1y y12z z122其中M (x , y
38、,z )，M (x , y ,z )为直线上的两点12222x x lt0(4)参数式方程y y mtM(x , y ,z )为直线上已知0000z z nt0点，s l,m,n为直线的方向矢量3 平面间的关系设有两个平面：平面：A x B y C z D 0平面：111112A x B y C z D 02222ABC1(1)平面 /平面1112A2B2C227(2)平面 平面 A A B B C C 012121212(3)平面与平面的夹角，由下式确定12A A B B C Ccos 121212A21B2C122A B222C2214 平面与直线间关系xx0yy0zz0直线L:lmn平面
39、：A x B y C z D 011111(1)L/ Al BmCn 0AlBCn(2)L m(3)L与的夹角，由下式确定Al BmCnsin A2 B2C2l2m2n25 直线间关系xx1yy1zz1设有两直线：直线L :1l1m1n1xx2yy2zz2直线L :2l2m2n2l1m1n1(1)L / L 12l2m2n2(2)L L l l m m n n 0121 21212(3)直线L与L的夹角，由下式确定12l l m m n n12cos 1 212l21m12n12l2m222n226 点到平面的距离：M(x , y ,z )到平面00028 : Ax By Cz D 0的距离为
40、Ax By Cz Dd 000A2 B2C27 点到直线的距离：M(x , y ,z )到直线000xx1yy1zz1L :距离为1l1m1n1ijkx xy yz z010101M M M Plmn101d M Pl2m2n2129准线为各种形式的柱面方程的求法球面，母线平行于坐标轴的柱面，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程， fx, y 0(1) 准线为,母线/ z轴的柱面方程为 : z 0fx, y0,x, z 0准线为 :,母线/ y轴的柱面方程为,母线/ x轴的柱面方程为y 0x,z 0,y, z 0准线为:x 0y,z 0. fx, y, z 0(2) 准线为 :,母线的方向矢量为l,
41、m,ngx, y, z 0的柱面方程的求法首先,在准线上任取一点x, y,z,则过点x, y,z的母线方程X xY yZ z为lmn其中X,Y,Z为母线上任一点的流动坐标,消去方程组 fx, y, z 0gx, y, z 0X xY yZ zlmn30常见的柱面方程名称方程图形zx2 y2 R2圆柱面oyx常用的二次曲面方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方zx22y221椭圆柱面双曲柱面abyxz22y22yx1x程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.ab-aoazx 2py,p02y抛物柱面x标准二次方程及其图形方程名称图形zcx22y2z221ab2coby椭球面x(a,b,c均为正数
42、)31x22y2z221ab2c单叶双曲面双叶双曲面(a,b,c均为正数)x22y2z221ab2c(a,b,c均为正数)x22y22 2pz椭圆的抛物面ab(a,b, p为正数)x22y22 2pz双曲抛物面ab(又名马鞍面)(a,b, p均为正数)32zx22y2z220ab2co二次锥面y(a,b,c为正数)x(五)多元函数微分学考试内容对应公式、定理、概念二元函数z f (x, y)连续，可导（两偏导存在）与可微三多元函数的概念，二元函数者的关系如下：的几何意可导可微函数连续“ ”表示可推出义，二元用全微分定义验证一个可导函数的可微性，只需验证：函数的极z fx(x, y)x fy(x
43、, y)y限和连续的概念，lim 是否为0有界闭区基本原理Th1(求偏导与次序无关定理)域上多元连续函数设z f (x, y)的两个混合偏导数f(x, y), f(x, y)的性质，xyyx在区域D内连续,则有f(x, y) f(x, y)多元函数xyyx偏导数和Th2(可微与偏导存在的关系定理)若z f (x, y)在P(x, y)全微分，z z 必存在,且有dz zz全微分存点处可微,则在该点处在的必要,dxdyx yxy条件和充33分条件，Th3(偏 导 存 在 与 可 微 的 关 系 定 理 )zz若 z f (x, y)的 两 个 偏 导 数,在 P(x, y)xy上 的 某 领 域
44、 内 存 在 , 且 在 P(x, y)连 续 ,则 z f (x, y)在 P(x, y)点 处 可 微多元复合函数、隐函数的求导法，二阶 偏 导数，方向导数和梯度，1 复合函数微分法zz uz vxu xv x(1)设z f (u,v),u (x, y),v (x, y),则zz uz vyu yv y(2)设z f (u,v),u (x),v (x),dzz duz dv则,称之为z的全导数dxu dxv dx(3)设z f (x,u,v),u (x, y),v (x, y),zff uf vyxxu xv x则zf uf v 0u yv y注：复合函数一定要设中间变量，抽象函数的高阶偏
45、导数，其中间变量用数字1，2，3表示更简洁.2 隐函数微分法dy(1)设F(x, y) 0,则 dxF (x, y)xF (x,y)yzF (x, y,z) zF (x, y,z)(2) ( , , )0,F x y z 则 x, yxF (x,y,z) yF (x,y,z)zzF(x,y,z)=0(3)设由方程组G(x,y,z)=0确定的隐函数y y( x), z z( x),34dy dz,dx dxdy dz,的线性方程组dx dx则可通过 解关于dydxdydxdzdydxdydxdzF F F 0F yF z F ,xyzxdydzdxdzdx:来求解 G GGz 0GyGzGxxy
46、dx方向导数和梯度Th1 设z f (x,y)在M (x , y )处 可 微 ， 则f (x, y)在 点000M (x , y )沿任意方向l (cos,cos)存在方向导数且000f (x , y )f (x , y )f (x , y )0000cos 00coslxy在平面上l除了用方向角表示外也可用极角表示：l (cos,sin)，是l的极角， 0,2此时相应的方向导f (x , y )f (x , y )f (x , y )数的计算公式为0000cos 00sinlxyTh2 设三元函数u f (x,y,z)在M (x ,y ,z )处可微，则0000u f (x,y,z)在点M
47、 (x , y ,z )沿任意方向0000l (cos,cos,cos)存在方向导数且有f (x , y ,z )f (x , y ,z )f (x , y ,z )000000cos 000coslxyf (x , y ,z )000cosz梯度：z f (x,y)在点M的方向导数计算公式可改写成0f (x , y )f (x , y ) f (x , y )00 (00,00)(cos,cos )lxy grad(f (x , y )l gradf (x ,y ) cosgrad(f (x ,y ),l00000035f (x , y ) f (x , y )这里向量gradf (x ,y
48、 ) (00,00)成为00xyz f (x,y)在点M的梯度(向量)0f (x , y )grad(f (x ,y )0000随l而变化 l 即沿梯度方向时，方lgrad(f (x ,y )00向导数取最大值grad f (x ,y )001 曲线的切线及法平面方程x x(t)(1)曲线 y y(t)在(x , y , z ) t t0000z z(t)xx0yy0zz0处的切线方程：x(t )y(t )z(t )000法平面方程：x(t )(x x ) y(t )(y y ) z(t )(z z ) 0空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，000000F （x, y,z) 0(2)空
49、间曲线的一般式方程为G(x, y,z) 0则在曲线的P （x , y ,z )处的000xx0yy0zz0切线方程：(F,G)(F,G)(z,x)(F,G)(y,z)(x, y)ppp法线方程：(F,G)(y,z)(F,G)(z,x)(F,G)（x x )(y y )(z z ) 0000(x, y)ppp2空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程36(1)设曲面为显示方程z f (x,y),则在上一点P(x ,y ,z )处的000zzy切平面方程：(x x )(y y )(z z ) 0.000xppxx0yy0zz0法线方程：zxz1ypp(2)设曲面为隐式方程F （x, y,z) 0,则
50、在上一点P(x , y ,z )的000切平面方程：F (x x )F (y y )F (z z ) 0x0y0zp0pxx0yy0zz0法线方程：F |pF |pF |px1 多元函数的极值定义：yz二元函数的二阶泰设函数z f (x,y)在P(x ,y )的某邻域内有定义，若对于该邻域00勒公式，多元函数内异于P(x , y )点的任一 点Q(x, y) 恒有00的极值和条件极f (x, y) f (x , y )(或 f (x , y )0000值，多元函数的最则称f (x , y )为f (x, y) 的极小值(极大值)00大值、最Th（1 取 极 值 的 必 要 条 件 ）小值及其设
51、 z f (x, y)在 P(x , y )点 的 一 阶 偏 导 数 存 在 ， 且00简单应用 f(x , y ) 0 x00P(x , y )是 z f (x, y)的 极 值 点 ， 则00f (x , y ) 0y0037Th（2 函 数 取 极 值 的 充 分 条 件 ）设 z f (x, y)在 P (x , y )点 的 某 邻 域 内 有00连 续 的 二 阶 偏 导 数 , 且 f (x , y ) 0, f (x , y ) 0x00y00 f (x , y )2 f x2(x , y )f (x , y ) 02xy0000y00则P(x , y )是z f (x, y
52、)的一个极值点00(1)若f x2(x , y ) 0(或f (x , y ) 0), 则P(x , y )为极小值点。200y0000(2)若f x2(x ,y ) 0(或f (x ,y ) 0),则P(x ,y )为极大值点。200y00002 无条件极值解题程序：(1)求出z f (x, y)的驻点（x , y )；00(2)用Th2判别(x , y )是否为极值点；是，则f (x , y )为0000z f (x,y) 的极值。3 条件极值（拉格朗日乘数法）1）由条件(x,y)=0,求z f (x, y)的极值解题程序:令F(x, y)=f (x, y)+(x,y);38 f (x,
53、y) (x, y) 0xx解方程组f (x, y) (x, y) 0求驻点(x , y );yy00(x, y) 0f (x , y )即为f (x, y)的极值（存在的话）002）由条件(x,y,z)=0,求u f (x,y,z)的极值。解题程序：令F （x,y,z)（x, y,z);f (x,y，z) (x,y,z) 0xxf (x,y,z) (x, y,z) 0y解方程组yf (x,y,z) (x, y,z) 0zz(x,y,z) 0若（x y z )为其解f (x y ,z )即为f (x,y,z)的极值（若存在的话）0,0,00,003）由条件 （x, y,z) 0. (x,y,z)
54、 0求函数u f (x,y,z)的极值12解题程序：令F （x,y,z) f (x, y,z)（x,y,z) （x,y,z)1122以下仿1），2）(六)多元函数积分学考试内容二重积分与三重积分 的 概对应公式、定理、概念1 二重积分：nI=f (x, y)dlim=f ( ) ,其中d maxd,i,iiid0Di11in念、性质、d 为 的直径（i 1,2,n)ii计算和应用几何意义：39当z f (x,y) 0,(x,y)D时，而二重积分I表示以z f (x,y)为曲顶，以D为底的柱体体积。2 三重积分：nd maxd,iI=F(x, y,z)dv limf ( )v ,其中i,i, i
55、id01inDi1d为v的直径（i 1,2,n)ii物理意义：三重积分I表示体密度为 f (x, y,z)的空间形体的质量。3 性质(只叙述二重积分的性质，三重积分类似)(1)k（f x，y）d=kf (x,y)d,k为常数DD(2) f (x, y) g(x, y)d f (x, y)d g(x, y)dDDn(3)f (x, y)d f (x, y)d,其中D 为 D的构成子域且任iDi1 Di两个子域没有重迭部分（i 1,2,m)(4)d A,其中A为D的面积。D(5)（比较定理）若在D上恒有f (x,y) g(x,y),则f (x,y)d g(x,y)dDD(6)(估值定理）设M,m分
56、别为f (x, y)在闭域D上的最大与最小值，A为D的面积，则 mA f (x,y)d MAD40(7)(中值定理）若f(x, y)在闭域D上连续，A为D的面积，则在D上至少一点（，），使f (x,y)d =f (,)AD(8)二重积分的对称性原理1）如果积分域D关于x轴对称，f (x,y)为y的奇偶函数，则二重积分f (x, y)dD0, f关于y为奇函数，即f (x, y) f (x, y)2f (x, y)d, f 关于y为偶函数，即f (x, y) f (x, y),1DD为D在上半平面部分1这个性质的几何意义见图(a)、(b)2）如果积分域D关于y轴对称，f (x,y)为x的奇偶函数
57、，则二重积分f (x, y)dD0, f关于x的奇函数，即f (x, y) f (x, y)2f (x, y)d, f 关于x为偶函数，即f (x, y) f (x, y),D2D 为D在右半平面部分23）如果D关于原点对称，f (x, y)同时为x, y的奇偶函数，41则二重积分f (x, y)dD0, f关于x,y的奇函数，即f (x, y) f (x, y)2f (x, y)d, f 关于x，y为偶函数，即f (x, y) f (x, y),D2D为D在上半平面部分14）如果D关于直线y x对称，则f (x,y)d f (x,y)dDD注：注意到二重积分积分域D的对称性及被积函数f (x
58、, y)的奇偶性，一方面可减少计算量，另一方面可避免出差错，要特别注意的是仅当积分域D 的对称性与被积函数f (x, y)的奇偶性两者兼得时才能用性质8.1 平面曲线积分与路径无关的四个等价条件设函数P(x, y),Q(x, y)在单连通区域D 上具有一阶连续偏导两类曲线积分的概念、性质及计算，两类曲线积分的关系，格林公式，平数，则PdxQdy与路径无关LQP,(x, y) Dxy PdxQdy 0,L为一简单分段光滑封闭曲线L存在函数u(x, y),(x, y)D使du(x, y) Pdx Qdy,且(x,y)面曲线积u(x, y) (xPdx Qdy0,y0)分与路径无关的条件，2 格林公
59、式：设平面上的有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x, y),Q(x, y)在有D连续的一阶偏导数，则有QP()dxdy PdxQdyxyLD42QP或者()dxdy PdxQdyxyLD1 高斯(Gauss)公式设是空间中的有界闭区域，由分块光滑的曲面所S围成，函数P(x, y,z),Q(x, y,z),R(x, y,z)在由连续的一阶偏导数，则PQR()dV PdydzQdzdx Rdxdy或xyzPQRS二元函数全微分的()dV （PcosQcos Rcos） dSxyzS原函数，这 里S是的 整 个 边 界 的 外 侧 ( 即 取 外 法 向 ) ，两类曲面cos,cos,co
60、s是S上点(x, y,z)处的外法向量的方向余弦.积分的概2 斯托克斯公式念、性质设为分段光滑的又向闭曲线，S是以为边界的分块光滑及计算，有向曲面，的正向与S的侧(即法向量的指向)符合右手法两类曲面则，函数P(x, y,z),Q(x, y,z),R(x, y,z)在包含S的一个空间区积分的关系，高斯域内有连续的一阶偏导数，则有RQyzPRzxQPxy公式，斯托克斯()dydz()dzdx()dxdy PdxQdyS公式，dydzdzdxdxdyxPzR(PdxQdy Rdz)或yQSRQyzPRzxQP)cosxy()cos ()cos (SPdxQdy Rdz43散度和旋度的概念及计算，曲线
61、积分和曲面积分的应用1 散度的计算公式设A P(x,y,z)i Q(x,y,z)j R(x,y,z)k;P,Q,R均可导，则APQR在P(x, y,z)点处的散度为divA xyz2 旋度的计算公式设 有 矢 量 场A P(x,y,z)i Q(x,y,z)j R(x,y,z)k， 其 中P,Q,R均有连续的一阶偏导数，则旋度rotA为：ijkrotA xyQzPR(七)无穷级数考试内容常数项级对应公式、定理、概念数的收敛1 级数与发散的u的性质：nn1概念，收(1)设 c 0的 常 数 ， 则u 与cu 有 相 同 敛 散 性nn敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件n1n1（2） 设
62、 有 两 个 数 级u 与nvnn1n1若u s,v ,则(u v ) s .nnnnn1n1n144若u 收 敛 ，v 发散 ,则(u v )发散.nnnnn1n1n1若均 发 散 则uv,(u v )敛 散 性 不 定.nnnnn 1n 1n 1注：添加或去消有限项不影响一个级数的敛散性.设级数u收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍nn1收敛于原级数的和几何级数与 p 级数正项级数以及他们u（u 0）的判敛法nnn1的 收 敛(1)比较判敛法：设0 u v ,若nn性，正项级数收敛性的判别法，nu 收敛，则v 收敛u 发散，则v 发散nnnn1n1n1n1(2)比较法的极限形式：设u
63、及v 均为正项级数nnn1n1un且lim A(v 0)nnvnn1.若0 A ,且v 收敛，则u 收敛nn1n12.若0 A ,且v 发散，则u 发散nnn1n1两个常用的比较级数 a,| r |1i)等比级数arn1 1rn1发散，| r |1451收敛，p 1时ii)p级数np发散，p 1时n1(3)比值判别法（达朗贝尔准则）（适用于通项u中含有n！n或关于n 的若干连乘积形式）设u 0,n 1,2n对于来讲unn1 1时， u 发散nn1un1 1时，方法失效若lim nun 1时， u 收敛nn1交错级数与莱布尼兹定理，任意项级数的绝对收敛与条1 交错级数(1)n1u ,(u 0)的
64、判敛法nnn1莱布尼兹准则：若交错级数(1)n1u ,(u 0)满足条件：nnn1(1)u u,(n 1,2,);(2)limu 0,nn1nn件收敛，则交错级数收敛，其和S u ,其n项余和的绝对值| R | un1.1n函数项级数的收敛域与和函1 幂级数：a a xa x2a xna xn012nnn0an11数的概收敛半径，若lim ,则R .nan念，幂级数及其收敛半径，2 函数项级数收敛区间u (x)收敛域的求法步骤：nn146(指开区间)和收(1)用比值（或根值）法求 （x），即|un1(x)|敛域，幂lim (x)(或limn| u (x)| (x);n级数的和n|u (x)|n
65、n函数，(2)解不等式方程(x) 1,求出u (x)的收敛区间(a,b);nn1n(3)考察x （a 或x b）时， u (a（) 或u (b)）的敛散性nn1n1（4）写出u (x)的收敛域nn11 幂级数的四则运算性质：nn设a xn f (x),b x g(x),其收敛半径分别为nn0n0R ,R ,R min(R ,R ), 则对x(R,R),有1212幂级数在其收敛区间内的基(1)a xnb xn(a b )xn f (x) g(x),且在（-R， R）nnnnn0n0n0本性质，内绝对收敛简单幂级数的和函数的求(2)(a xn)(b xn) (a b a bab a b )xnnn
66、0 n1 n 1n 1 1n0n0n0n0 f (x)g(x)法，初等幂级数展开式(3)设b 0,则在x 0的足够小邻域内0f (x)a a xa xn01n C C x C x2 C x ng(x)b b xb xn012n01na0a b a b100 1利用多项式的长除法可得：C ,C ,01b20b02 幂级数的分析性质：47n设幂级数a x 的收敛半径为R，则在（R，R）内有nn0(1)a xn的和函数（f x）是连续的。nn0a xn可逐项微分，且f=(a xn)(2)nxnn0n0nna xn1n(a x ) nn0n0xx(3)a xn可逐项积分，且f （t）dt=(a tn)
67、dtnn00n0n0anx nn1(a tndt) x0n1n0n03 函数的幂级数展开泰勒级数设（f x）在x x 的某一邻域内具有任意阶导数，0f(n)(x )f (x )0n0(xx ) 2级数：(xx ) f(x ) f (x )(xx )00000n!2!n0f(n)(x )0(x x )n0n!称为（f x）在x x 处的泰勒级数。048f(n)(0)f (0)n2x 当x 0时，级数化为x f (0) f (0)x0n!2!n0f(n)(0)nx n!称为麦克劳林级数Th设f (x)在x x 某领域内具有任意阶导数，0f(n)(x )0n则泰勒级数(x x )0n!n=0收敛于f
68、 (x)的充分条件lim R (x) 0,nn1其中R (x) f(n1)x (x x )(x x )n1,0 1.000n(n1)!4 常见的幂级数展开式：1(1)(2)1uu1uu22unun,(1,1)1un01(1)nun(1)nnu ,(1,1)1un0u2unun(3)eu1u ,(,)2!n!n!n0u3u2n1u2n1(4)sinu u(1)n(1)n,(,),(,),(1,1)3!(2n1)!(2n1)!n0u2u4u2nun2n(5)cosu 1(1)n(1)2!4!(2n)!(2n)!n0u2u3un1unn1(6)ln(1u) u(1)n(1)23n1n1n049a(a
69、1)a(a1)(an1)u(7)(1u)a1auu2n2!n!(随a的不同而不同，但在(-1，1)总有意义)函数的傅立叶系数1设f (x)是以2为周期的函数，且在-，或0， 2上可积，则与傅立叶级数，狄利克雷定理，函数112a =f (x)cosnxdx f (x)cosnxdx,(n 0,1,2, )n0112b f(x)sinnxdxf(x)sinnxdx,(n1,2,)在l,ln0上的傅立叶级数称为f (x)的傅立叶系数12f(x)的傅立叶系数为系数的三角级数 a (a cosnxb sinnx)0nn2n112称为f (x)的傅立叶级数，记为f (x)a (a cosnxb sinnx
70、)0nnn13设f (x)是以2l为周期的函数，且在-l,l上可积，则以1nla f (x)cosxdx,(n 0,1,2)xdx,(n 0,1,2)nlll1nlb f (x)sinnlll1nn为系数的三角级数a (a cosxb sinx)0nn2lln112nn称为f (x)的傅立叶级数，记为f (x)a (a cosxb sinx).0nnlln1503狄里赫莱收敛定理：设函数f(x)在-,上满足条件：(1)除有限个第一类间断点外都连续。(2)只有有限个极值点，则f(x)的傅立叶级数在-，上收敛，且有f(x),x为 f(x)的 连 续 点 ；a10(a cosxb sinnx)f(x
71、 0)f(x 0),x为（f x） 的 第 一 类 间 断 点 ；nn00022n11f(0)f( 0),x.02函 数 在1f (x)为0,l上的非周期函数，令：0,l上的正弦级数与余弦级数. f (x),0 x la02nx（余弦级F(x) 则f (x) na cosnf (x),l x 0ln12l数），其中：a f (x)cosxdx（n=0，1，2，）nl0l2f (x)为0,l上的非周期函数，令： f (x),0 x lF(x) 则F(x)除 x=0 外在区间,上 f (x),l x 0n为奇函数则f (x) b sinx（正弦级数），其中：nln12nl（n=1，2，）xdxbf
72、 (x) sinnl0l51(八)常微分方程考试内容对应公式、定理、概念1 常微分方程含有自变量、未知函数及未知函数的某些导常微分方程的基本概念，变量可分离数的方程式称微分方程，而当未知函数是一元函数时称为常微分方程.2 可分离变量方程f (x)g (y)dx f (x)g (y)dy 01122f (x)g (y)的微分方解法：两边同除g (y)f (x) 0，得1dx2dy 012f (x)2g (y)1程f (x)g (y)1dx2dy Cf (x)2g (y)1y1 齐次方程y f ( )xydu解法：令u ，则y ux，y u x于是，xdx原方程奇次微分dudxdudxxduf (
73、u)u方程，一u x阶线性微 f (u) lnxCf (u)u分方程，dy a x b y c 2 可化为齐次型的方程 f111伯努利方程，全微dxa x b y c222分方程，解法：(1)当c c 0时12y a bdydxa xb y11yxy f11 f g( )属于(2)a x b yx a22b22x 52a1b1a1b1(2) 0,即 则a2b2a2b2dy (a xb y)c f221 g(a xb y)22dxa x b y c222dudx令a xb y u，则 a b f (u)属于（1）2222a1b1a xb y c 0111(3) 0,c ,c不全为0解方程组12a
74、2b2a xb y c 0222求交点(,)dyX令x X , y Y ,则原方程()属于（2）dXY3 一阶线性方程y p(x)y q(x)解法：用常数变易法求(1)求对应齐次方程y p(x)y 0的通解y Cep(x)dxp(x)dx(2)令原方程的解为y C(x)e(3)代入原方程整理得p(x)dxq(x) C(x) q(x)ep(x)dxdx CC(x)e(4)原方程通解y q(x)ep(x)dxp(x)dxdxCe4 贝努里方程y p(x)y q(x)yn，其中n 0,1531dz解 法 ： 令Z y1n， 则 方 程 p(x)z q(x)，1n dxdz(1n)p(x)z (1n)
75、q(x)属于3dx5 全微分方程M(x, y)dx N(x, y)dy 0为全微分方程MNxy.通解为M(x, y )dx N(x, y)dy C0xy00yx注：这里只限于讨论二阶线性方程，其结论可推广到更高阶的方程，二阶线性方程的一般形式为y p(x)yq(x)y f (x)(8.1)其中p(x),q(x), f (x)均为连续函数，当右端项f (x) 0时，称为二阶线性齐次方程，否则称为非齐次方程.可用简单的变量代换求解的解的性质与结构(以下性质可推广到任意高阶的线性方程)某些微分分以下几种：方程，可1 若y (x), y (x)为齐次方程y p(x)yq(x)y 0(8.2)的两降阶的
76、高12个特解，则其线性组合C y (x)C y (x)仍为(8.2)的解，特别阶微分方1122y (x)程，线性地，若y (x),y (x)线性无关(即1 (常数)，则(8.2)的通12y (x)2微分方程解的性质解为及解的结y(x) C y (x)C y (x)11222 设y (x), y (x)为非线性方程(8.1)的两个特解，则其差12构定理y (x) y (x)为相应齐次方程(8.2)的特解123 设y(x)为非齐次方程(8.1)的一个特解，y(x)为齐次方程(8.2)的任意特解，则其和y (x) y(x)为(8.1)的解，特别地，54若y (x),y (x)为(8.2)两个线性无关
77、的特解，则(8.1)的通解为12y(x) y(x)C y (x)C y (x)，其中C ,C为任意常数.1122121 二阶常系数线性齐次方程y pyqy 0(1) 其中p,q均为常数解法：特征方程：2 p q 0（I）当 ,为相异的特征根时，方程(1)通解为12y(x) C e xC e x1212（II）当 时，通解为y(x) (C C x)e x二阶常系数奇次线性微分方程，高于二阶的某11212（III）当 i（复根）时，通解为y(x) ex(C cos x C sin x)12些常系数2阶常系数齐次线性方程n奇次线性此种方程的一般形式为微分方程y(n) p y(n1) p y(n2)
78、p y 0()，其中12np (i 1,2,n)为常数，相应的特征方程为i p (n1) p (n2) p 0n12n特征根与通解的关系同二阶方程的情形相类似，具体结果为：(1)若 , ,是个n相异实根，则方程()的通解为12n55y(x) C e xC e xC e x12n12n(2)若 为特征方程的k(k n)重实根，则()的通解中0含有：(C C xC xk1)e x012k(3)若 i为特征方程的k(2k n)重共轭复根，则()的通解中含有：ex(C C x C xk1)cos x (D D x D xk1)sin x12k1k由于我们不能求出一般的三次以上代数方程的根，也就是说对于
79、三次以上的特征方程一般不能得到齐特征根，自然也就不能求出三阶以上常系数齐次线性微分方程的通解，能够求出的只是某些特殊情形简单的二阶常系数1 二阶常系数线性非齐次方程y pyqy f (x)(2)其中非奇次线p,q均为常数性微分方解法：通解的求法程序程，欧拉方程，微分方程简单应用(1)求对应齐次方程的通解Y(x)(2)求出(2)的特解y*(x)(3)方程(2)的通解y Y(x) y*(x)方程(2)特解y待定系数法.*(x)的求法有三种：微分算子法、常数变易法、2 形如x拉方程.ny(n)a xn1y(n1)axya y 0的方程成为欧1n1n56二、线性代数(一) 行列式考试内容行列式的概念和
80、基对应公式、定理、概念行列式按行（列）展开定理 A ,i j本性质、(1)行列式按设A (a ),则a A a Aa Aijnni1j1i2j 2injn 0,i j行（列） A ,i j展开定理或a A a Aa A 1i1j2i2 jninj 0,i j即AA* A*A A E,其中A11A 21An1A* AA A (A ) (A )T1222n2jiijA1nA Ann2n(2)设A,B为n阶方阵，则AB A B B A BA但A B A B不一定成立(3)| kA| k | A|, A为n阶方阵n57(4)设A为n阶方阵，则|AT| A|;|A1| A|1(若A可逆）| A*| A|
81、n1（n2）AOAC（5）ACOB| A| B| ，A, B为方阵，OBOBOAmm但 （1 ）mn| A| B|.BnnO11 1x1x xn(6)范德蒙行列式D 2 (x x )ijn 1 jinxn11xn1 xnn12设 A 是 n 阶方阵， (i 1,2,n)是 A 的 n 个特征值，则in| A|ii1(二)矩阵考试内容矩阵的概念，矩阵对应公式、定理、概念aa12a1n11aa22a2n的线性运矩阵：mn个数a 排成m行n列的表格21称ij算，矩阵的乘法，am1am2amn为矩阵，简记为A,或(a )mn.若m n，则称A是n阶矩阵或nij阶方阵.矩阵的线性运算581 矩阵的加法
82、设A (a ),B (b )是两个mn矩阵，则mnijij矩阵C (c ) a b称为矩阵A与B的和，记为A B Cijijij2 矩阵的数乘 设A (a )是mn矩阵，k是一个常数，则ijmn矩阵(ka )称为数k与矩阵A的数乘，记为kA.ij3 矩阵的乘法 设A (a )是mn矩阵，B (b )是ns矩阵，ijij那么ms矩阵C (c )，其中ijn称为A与B的乘积的乘c a b a ba ba biji1 1ji22 jinnjikkjk1积，记为C AB1A 、A1、A*三者之间的关系T方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转1)(AT)T A,(AB)T BTAT,(kA)T kAT,(
83、AB)T ATBT12)(A1)1 A,(AB)1 B1A1,(kA)1A1,但k(A B)1 A1 B1不一定成立，置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵，3)(A*)*| A|n2A(n 3)，(AB)* B*A*,(kA)* kn1A*(n 2).但(A B)* A*B*不一定成立4)(A1)T(AT)1,(A1)* (A*)1,(A*)T(A )*T2 有关A*的结论591)AA* A*A | A| E2)| A*| A|n1(n 2),(kA)* kn1A*,(A*)* | A|n2A(n 3)13)若A可逆，则A*| A| A1,(A*)*A| A |n,r(A) n
84、4)若A为n阶方阵，则r(A*) 1,r(A) n10,r(A) n13 有关A1的结论A可逆 AB E;| A | 0; r(A) n; A可以表示为初等矩阵的乘积； A无零特征值； Ax 0只有零解1 有关矩阵秩的结论1）秩r（A）=行秩=列秩；r(Amn) min(m,n);矩阵的初等变换，初等矩3）A 0 r(A) 1；4）r(A B) r(A)r(B);阵，矩阵的秩，矩阵等价，分块矩阵5）初等变换不改变矩阵的秩6）r(A)r(B)n r(AB) min(r(A),r(B),特别若AB O则r(A)r(B) n及其运算7）若A1存在 r(AB) r(B);若B1存在 r(AB) r(A
85、);若r(Amn) n r(AB) r(B);60若r(Ams) n r(AB) r(A);8）r(Ams) n Ax 0只有零解2 分块求逆公式1 AO A1O ；1OBOB111 ACA1A1CB1 ；OBOB1 AOA1O ；CBB1CA1B1OA OB1这里A，B 均为可逆方阵BOA1O(三) 向量考试内容对应公式、定理、概念1 有关向量组的线性表示向量的概念，向量的线性组(1) , ,线性相关至少有一个向量可以用其余向12s量线性表示.合和线性(2)若 , ,线性无关， , ,，线性相关 12s12s表示，向量的线性相关与线性无关可以由 , ,惟一线性表示.12s(3)可以由 , ,
86、线性表示12sr( , , ) r( , , ,）12s12s612 有关向量组的线性相关性(1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.(2) n 个 n 维向量 , 线性无关| ， ， ， |0，12n12nn 个 n 维向量 , 线性相关12n| , , | 0，12n n+1 个 n 维向量线性相关.若 , 线性无关，则添加分量后仍线性无关；12S或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关1 有关向量组的线性表示(1) , ,线性相关至少有一个向量可以用其余向12s向量组的极大线性量线性表示.无关组，(2)若 , ,线性无关， , ,，线性相关 12s12s等价向量组，向量组的秩可以
87、由 , ,惟一线性表示.12s(3)可以由 , ,线性表示12sr( , , ) r( , , ,)12s12s向量组的秩与矩阵1设r(Amn) r，则A的秩r(A)与A的行列向量组的线性的秩之间相关性关系为：的关系，向量空间(1)若r(Amn) r m，则A的行向量组线性无关.及相关概念62(2)若r(Amn) r m，则A的行向量组线性相关.(3)若r(Amn) r n，则A的列向量组线性无关.(4)若r(Amn) r n，则A的列向量组线性相关1 基变换公式及过渡矩阵若 , ,与 , ,是向量空间V的两组基，则基12n12n变换公式为cc c11121ncc22 c( , , ) ( ,
88、 , )212n( , , )C12n12n12nn 维向量cn1cn2 cnn空间的基其中C是可逆矩阵，称为由基 , ,到基 , ,n变换和坐12n12标变换，的过渡矩阵过渡矩阵2 坐标变换公式若向量在基 , ,与基 , ,的坐标分别是12n12nX (x ,x ,x )T，Y (y ,y , y )即T12n12n x x x y y y ，则向量坐标122nn1122nn变换公式为X CY或Y C1X其中C是从基 , ,到基 , ,的过渡矩阵12n12n63向量的内积，线性无关向量组的正交规范化方法内积：(,) a b a b a b T T1 122nnSchmidt 正交化若 , ,
89、线性无关，则可构造 , ,使其两两正12s12s交，且仅是 , ,的线性组合(i 1,2,n)，再把i12iii单位化，记 ，则 , ,是规范正交向量组.其中i12ii ，11( , ) 21122( , )11( , )( , ) 31 132233( , )( , )2211( , )( , )( ,s 1) s1 1s2 2ss 1ss( , )( , )(s 1,s1)1122规范正交基，正交矩阵及其性质1 正交基及规范正交基向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基(四)线性方程组考试内容线性方程对应公式、定理、概念1 克莱姆
90、法则64组的克莱姆法则，a x a x a x b11111221nna x a x a x b奇次线性线性方程组2112222nn2，如果系数行列式方程组有a x a x a x bnn11n22nnn非零解的充分必要D A 0，则方程组有唯一解条件DD2Dnx 11,x 2,x ，其中D是把D中第j列元素换jnDDD成方程组右端的常数列所得的行列式.2n 阶矩阵A可逆 Ax 0只有零解. b, Ax b总有唯一解，一般地，r(Amn) n Ax 0只有零解.1 设 A 为mn矩阵，若r(Amn) m，则对Ax b而言必有r(A) r(Ab) m,从而Ax b有解.非奇次线性方程组2 设x
91、,x ,x为Ax b的 解 ， 则k x k x k x当12s1122ss有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构时仍为Ax b的解；但当k k k 01k k k 112s2sx x2时，则为Ax0的解.特别为Ax 0的解.1为Ax b的解；2x (x x )31223 非齐次线性方程组Ax b无解 r(A)1 r(A) b不能由A的列向量 , ,线性表示.12n奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，1 齐次方程组Ax 0恒有解(必有零解).当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此Ax 0的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数
92、是nr(A)，解空间的一组基称为齐次65非奇次线性方程组的通解.方程组的基础解系.2 , ,是Ax 0的基础解系，即12t(1) , ,是Ax 0的解；12t(2) , ,线性无关；12t(3)Ax 0的任一解都可以由 , ,线性表出.12tk k k是Ax 0的通解，其中k ,k ,k是任意1122tt12t常数.(五)矩阵的特征值和特征向量考试内容对应公式、定理、概念1 设是A的一个特征值，则kA,aAbE,A ,A , f (A),A2mT,A1,A*有一个特征值分别为| A |k,a b,例外）.2,m, f (),1,且对应特征向量相同（AT矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，nnn
93、2若 , ,为A的n个特征值，则 a , | A|12niiiii1i1i1从而| A| 0 A没有特征值.3 设 , ,为A的 s 个特征值，对应特征向量为12s , ,，若12s k k k ,则1122ssAn k An k An k An k n k n k ns1122ss1 11222ss相似变1 若A B，则66换、相似矩阵的概念及性质，(1)AT BT,A1 B1,A* B*.nn(2)| A| B |,A b ,r(A) r(B)iiiii1i1(3)|E A|E B|,对成立1 设A为 n 阶方阵，则A可对角化对每个k重根特征值i，有nr( E A) kiii2 设A可对角
94、化，则由P1AP ,有A PP1，从而 P矩阵可相似对角化AnnP1的充分必3 重要结论要条件及AOBO(1)若A B,C D，则.相似对角矩阵，OCOD(2)若A B，则f (A) f (B), f (A) f (B)，其中f (A)为关于n阶方阵A的多项式.(3)若A为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重根重复计算)秩(A)1 相似矩阵：设A,B为两个n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得B P1AP成立，则称矩阵A与B相似，记为A B.2 相似矩阵的性质实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵如果A B则有(1)AT BT(2)A1 B1(若A，B均可逆)(3)Ak B (k为正整数)
95、k67(4)E A E B ,从而A,B有相同的特征值(5)A B ,从而A,B同时可逆或同时不可逆(6)秩(A) 秩(B),E A E B ,A、B不一定相似(六)二次型考试内容对应公式、定理、概念1n个变量x ,x ,x的二次齐次函数12nnna x y，其中a a (i, j 1,2,n)，jijjif (x ,x ,x ) 12nijii1j1称为n元二次型，简称二次型. 若令二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵，x aa12a1111nxaa22a2 n,A x 221,这二次型f可改写成矩阵 xnan1an2ann二次型的向 量 形 式f x Ax. 其 中A称 为 二 次 型
96、矩 阵 ， 因 为T秩a a (i, j 1,2,n)，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且ijji二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵A的秩称为二次型的秩.惯性定1 惯性定理理，二次对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为型的标准仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，68形和规范这就是所谓的惯性定理.形2 标准形二次型f (x ,x ,x ) xTAx经过合同变换x Cy化为12nrTAx yTCTACy d y2称为if xii1f (r n)的标准形.在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由r(A的秩)唯一确定.3 规范形任
97、一 实 二 次 型f都 可 经 过 合 同 变 换 化 为 规 范 形f z12 z22 z2p z2p1 zr，其中r为A的秩，p为正惯2性指数，r p为负惯性指数，且规范型唯一.1 设A正定kA(k 0),AT,A1,A*正定；| A| 0,A 可逆；用正交变换和配方a 0，且| A | 0iiii法化二次2A，B 正定A+B 正定，但AB，BA 不一定正定型为标准3 A 正定 f (x) x Ax 0,x 0T形，二次型及其矩阵的正定性A 的各阶顺序主子式全大于零A 的所有特征值大于零A 的正惯性指数为n 可逆阵P 使A P PT691存在正交矩阵Q，使QTAQ Q1AQ ,n其中 0,
98、i 1,2,n.正定kA(k 0),AT,A1,A*正定；i| A| 0, A可逆；a 0，且| A | 0iiii三、概率论与数理统计(一)随机事件和概率考试内容对应概念、定理、公式1 事件的关系与运算(1)子事件：A B，若A 发生，则B 发生.(2)相等事件：A=B，即A B，且B A.随机事件与样本空(3)和事件：AB（或A+B） ， A 与 B 中至少有一个发生.间，事件(4)差事件：A-B，A 发生但B 不发生.的关系与运算，完全事件组(5)积事件：AB（或AB） ，A与B同时发生.(6)互斥事件（互不相容）：AB=.(7)互逆事件（对立事件）：A B ,且AB ,记A B或B A
99、2 运算律：70(1)交换律：A B B A，A B B A(2)结合律：（A B） C A （BC）；（A B） C A （BC）(3)分配律：（A B） C （AC） （BC）3 德摩根律：AB AB， A B AB4 完全事件组:A，A ，A ，两两互斥，且和事件为必然事12nn件，即A A ，i j， 。iji=11 概率：事件发生的可能性大小的度量，其严格定义如下：概率P （）为定义在事件集合上的满足下面3个条件的函数：(1)对任何事件A，P （A） 0；(2)对必然事件，P （） 1；(3)对A，A， ，A ,若A A (i j),则P(A ) P(A).12nijii1i1概率的
100、概2 概率的基本性质念，概率(1)P(A) 1P(A);的基本性质，古典(2)P(AB) P(A)P(AB);(3)P(AB) P(A)P(B)P(AB);特别，概率，几何型概率当B A时，P(AB) P(A)P(B)且P(B) P(A)；P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC) P(ABC);71nn(4)若A, A ,A两两互斥，则P( A) (P(A).12niii1i13 古典型概率: 实验的所有结果只有有限个，且每个结果发生的可能性相同，其概率计算公式：事件A发生的基本事件数P(A) 基本事件总数4 几何型概率: 样本空间为欧氏空间中的一个区域，且每个样本点
101、的出现具有等可能性，其概率计算公式：A的度量（长度、面积、体积）P(A) 的度量（长度、面积、体积）概率的基本公式，事件的独立性，独立重复试验1 概率的基本公式:(1)条件概率:P （AB）P （B | A） ，表示A发生的条件下，B发生的概率P （A）(2)全概率公式：nnP （A） P(A|B )P(B ),B B ,i j,B .iiijii1i1P(A| B )P(B )(3) Bayes 公式：P(B | A) jj, j 1,2,njnP(A| B )P(B )iii1注：上述公式中事件B的个数可为可列个.i(4)乘法公式：P(A A ) P(A )P(A | A ) P(A )P
102、(A | A )12121212P(A A A ) P(A )P(A | A )P(A | A A )P(A | A A An 1)12n121312n12722 事件的独立性(1)A 与 B 相互独立 P(AB) P(A)P(B)(2)A，B，C 两两独立 P(AB) P(A)P(B);P(BC) P(B)P(C);P(AC) P(A)P(C);(3)A，B，C 相互独立 P(AB) P(A)P(B);P(AC) P(A)P(C);P(BC) P(B)P(C);P(ABC) P(A)P(B)P(C).3 独立重复试验: 将某试验独立重复n 次，若每次实验中事件 A 发生的概率为p，则n 次试
103、验中A 发生k 次的概率为：P(X k) Cnkkp (1 p)nk.4 重要公式与结论(1)P(A) 1P(A)(2)P(AB) P(A) P(B) P(AB)P(ABC) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC)P(AC) P(ABC)(3)P(AB) P(A)P(AB)(4)P(AB) P(A) P(AB),P(A) P(AB)P(AB),P(AB) P(A)P(AB) P(AB)P(AB) P(AB)(5)条件概率P(| B)满足概率的所有性质，例如：.P(A | B) 1P(A | B)11P(A A | B) P(A | B) P(A | B) P(A A | B)12
104、121273P(A A | B) P(A | B)P(A | AB)12121nn(6)若A ,A ,A相互独立，则P(A ) P(A ),12niii1i1nnP(A ) (1P(A )iii1i1(7)互斥、互逆与独立性之间的关系：A 与 B 互逆A 与 B 互斥，但反之不成立，A 与 B 互斥（或互逆）且均非零概率事件A 与 B 不独立.(8)若A ,A ,A ,B ,B ,B相互独立，则f (A ,A ,A )与12m12n12mg(B ,B ,B )也相互独立，其中f (),g()分别表示对相应12n事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为1（或0）的事件与任何事件相互独立.(二
105、)随机变量及其概率分布考试内容对应公式、概念、定理1 随机变量及概率分布: 取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律随机变量，随机变量的分部函数的概念及其性质2 分布函数的概念与性质定义：F(x) P(X x), x 性质：(1)0 F(x) 1(3)右连续F(x 0) F(x)(2)F(x)单调不减(4)F() 0,F() 1离散型随机变量的概率分1 离散型随机变量的概率分布P(X x ) p ,i 1,2,n,p 0,p 1iiiii1布，连续74型随机变量的概率密度性质2 连续型随机变量的概率密度概率密度f(x);非负
106、可积，且(1)f (x) 0,(2)f (x)dx 1x(3)x为f (x)的连续点，则f (x) F (x)分布函数F(x) f (t)dt1 常见分布(1) 0-1 分布：P(X k) p(2) 二项分布B(n, p)：k(1 p)1k,k 0,1P(X k) Cnkkp (1 p)nk,k 0,1,n(3)Poisson 分布p()：常见随机变量的概率分布，随机变量函数的概率分布kP(X k) e, 0,k 0,1,2k! 1,a x b(4) 均匀分布U（a，b） ：f (x) ba0,其他(5) 正态分布N(, ):2(x)21(x) e22, 0, x 2ex,x 0, 0(6)指
107、数分布E(): f (x) 0,其他75(7)几何分布G(p): P(X k) (1 p)k1p,0 p 1,k 1,2,.(8)超几何分布CkMCnkH(N,M,n): P(X k) NM, k 0,1,min(n,M)CnN2 随机变量函数的概率分布(1)离散型：P(X x ) p ,Y g(X)则1iP(Y y ) P(X x )ijg(x )yii(2)连续型：X f (x),Y g(x)则XF (y) P(Y y) P(g(X) y) f (x)dxyxg(x)yf (y) F (y)YY3 重要公式与结论11(1)X N(0,1) (0) ,(0) ,22(a) P(X a) 1(
108、a)X (2)X N(,2) N(0,1)且P(X a) (a)(3)X E() P(X s t | X s) P(X t)(4)X G(p) P(X m k | X m) P(X k)(5)离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数.(6)存在既非离散也非连续型随机变量.(三)多维随机变量及其分布76考试内容对应公式、概念、定理1 二维随机变量及其联合分布由两个随机变量构成的随机向量（X，Y） ，联合分布为F(x, y) P(X x,Y y)多维随机变量及其分布，二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布2 二维离散型随机变量的联
109、合概率分布、边缘分布、条件分布(1)联合概率分布律PX x ,Y y p ;i, j 1,2,ijij(2) 边缘分布律p p ,i 1,2,iijj1p jp , j 1,2,iji(3) 条件分布律PX x |Y y pijijpjpijPY y | X x jipi1 联合概率密度f (x, y):(1)f (x, y) 0二维连续性随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度(2) f (x, y)dxdy 1xy2 分布函数：F(x, y) f (u,v)dudv3 边缘概率密度：f (x) f (x, y)dyf (y) f (x,y)dxXYf (x, y)f (x, y)4 条件
110、概率密度：f(x | y) fY|X(y | x) X|Yf (y)Yf (x)X771 常见二维随机变量的联合分布1,(x, y)D(1)二维均匀分布：(x, y) U(D),f (x, y) S(D)0,其他(2)二维正态分布：（X，Y） N （， ，21， ，）2212随机变量的独立性和不相关性，常用二维随机变量的分布1f (x, y) 2 12121(x )2(x )(y )(y )2 exp121222(12)12 12222 随机变量的独立性和相关性X 和 Y 的相互独立 F(x, y) F (x)F (y)，XY p p p (离散型） f (x, y) f (x) f (y)(
111、连续型）iji jXYX 和 Y 的相关性：相关系数 0时，称X 和 Y 不相关，XY否则称X 和 Y 相关1 两个随机变量简单函数的概率分布(1)离散型：两个及两个以上随机变量简单函数的分布P(X x ,Y y ) p ,Z g(X,Y)则iiijP （Z z ) Pg(X,Y) zP(X x ,Y y )ijkkg(x ,y )ziik(2)连续型：(X,Y) f(x,y),Z g(X,Y)则78F (z) Pg(X,Y) zf (x, y)dxdy，f (z) F (z)zzzg(x,y)z2 重要公式与结论(1) 边缘密度公式：f (x) f (x, y)dy,f (y) f (x,
112、y)dx.YX(2)P(X,Y)Df (x, y)dxdyD(3)若（X，Y）服从二维正态分布N( , ,21, ,)则有2212X N( ,12),Y N( , ).2212X 与 Y 相互独立 0，即X 与 Y 不相关.C X C Y N(C C ,C2112C2222 2C C ).1211221212X 关于Y=y 的条件分布为：1N( (y ),12(1 ).2122Y 关于X=x 的条件分布为：N( 2(x ),22(1 ).2211(4)若 X 与 Y 独立，且分别服从N( ,12), N( ,22),11则(X,Y) N( , ,21, ,0),2212C X C Y N(C
113、C ,C 1122C222).2121122(5)若 X 与 Y 相互独立，f (x)和g(x)为连续函数，79则f (X)与g(Y)也相互独立.(四)随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望 （ 均值）、方差和标准差及其性质对应概念、定义、定理、公式1 数学期望离散型：PX x p ,E(X ) x p；连续型：iiiiiX f (x),E(X) xf (x)dx性质：(1)E(C) C,EE(X) E(X)(2)E(C X C Y) C E(X)C E(Y)1212(3)若 X 和 Y 独立，则E(XY) E(X)E(Y)2(4)E(XY) E(X2)E(Y )22)E(X)22 方差
114、：D(X) EX E(X) E(X23 标准差：D(X)，4 离散型：D(X) x E(X)p2iii25 连续型：D(X) x E(X)f (x)dx性质：(1)D(C) 0,DE(X) 0,DD(X) 0(2)X 与 Y 相互独立，则D(X Y) D(X) D(Y)80(3)D(C X C ) C21D(X)12(4)一般有D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)D(X)D(Y)2 D(X) D(Y)(5)D(X) E(X C) ,C E(X)2(6)D(X) 0 PX C1随机变量函数的数学期望，矩、协方差，相关系数的数字特征1 随机变量函数的数学期望(1)对于函数Y g(x)X为离
115、散型：PX x p ,E(Y) g(x)pi；X为连续iiii型：X f (x),E(Y) g(x) f (x)dx(2)Z g(X,Y);(X,Y) PX x ,Y y p;ijijE(Z) g(x , y )pijijij(X,Y) f (x, y);E(Z) g(x, y) f (x, y)dxdy2 协方差Cov(X,Y) E(X E(X)(Y E(Y)Cov(X,Y)3 相关系数,k 阶原点矩E(X );kXYD(X)D(Y)k 阶中心矩EX E(X)k性质：(1)Cov(X,Y) Cov(Y,X)81(2)Cov(aX,bY) abCov(Y,X)(3)Cov(X X ,Y) Co
116、v(X ,Y)Cov(X ,Y)1212(4)(X,Y) 1(5)(X,Y) 1 P(Y aX b) 1,其中a 0(X,Y) 1 P(Y aX b) 1,其中a 04 重要公式与结论（1）D(X) E(X2)E (X)2（2）Cov(X,Y) E(XY)E(X)E(Y)（3）(X,Y) 1,且(X,Y) 1 P(Y aX b) 1,其中a 0(X,Y) 1 P(Y aX b) 1,其中a 0（4）下面5 个条件互为充要条件：(X,Y) 0 Cov(X,Y) 0 E(X,Y) E(X)E(Y) D(X Y) D(X) D(Y) D(X Y) D(X) D(Y)注：X 与 Y 独立为上述5 个条
117、件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件.(五)大数定律和中心极限定理82考试内容对应概念、定理、重要公式D(X)1 切比雪夫不等式：P| X E(X)| 或2切比雪夫D(X)P| X E(X)| 12（Chebyshev）不2 切比雪夫大数定律：设X ,X ,X ,相互独立，且12n等式，切比雪夫大数定律E(X ) ,D(X ) 2(i 1,2,),则对于任意正数，有ii 1nlim PX 1in ni11 伯努利大数定律设X ,X ,X ,相互独立，同0-1 分布B(1, p)，则对任意12n伯努利大数定律，辛钦 1n正数，有lim PX p 1in ni1（Khinchine）大数定律2
118、 辛钦大数定律设X ,X ,X ,相互独立同分布，EX ,i 1,2,则对于任12ni 1n意正数，有lim PX 1in ni1隶莫弗拉普拉斯（De1 棣莫弗-拉普斯定理设 B(n, p),（即X ,X ,X ,相互独立且同服从0-1 分布n12nnXi）则有 nMovire-Laplace）定理，列i183维林德伯格t2 np1xlim Pn x e2dtn np(1 p)2（Levy-Undbe）定理2 列维-林德伯格定理设X ,X ,X ,相互独立分布，12nE(X ) ,D(X ) 2( 0)i 1,2,iinX nt2i1x则limPi1 xe2dtnn2(六)数理统计的基本概念考
119、试内容对应公式、概念、定理总体：研究对象的全体，它是一个随机变量，用X 表示个体：组成总体的每个基本元素简单随机样本：来自总体X 的 n 个相互独立且与总体同分布的随机变量X ,X ,X ,称为容量为n的总体，个体，简单随机样12n简单随机样本，简称样本统计量：设X ,X ,X ,是来自总体 X 的一个样本，本，统计量，样本均值，样本方差和样本矩12ng(X ,X ,X )）是样本的连续函数，且g()中不12n含任何未知参数，则称g(X ,X ,X )为统计量12n1n样本均值：X Xini11n样本方差：S2(X X )2in1i1841n样本矩：样本k 阶原点矩：A Xki,k 1,2,k
120、ni11n样本k 阶中心矩：B (X X )k,k 1,2,kini12分布：2 X12 X22 X2n (n)，其中X ,X ,X ,212n相互独立，且同服从N(0,1)X2t 分布：T 分布， t(n)其中X N(0,1),Y (n),且 X，Y2Y /nt 分布，F分布，分位数相互独立X/n1F 分布：F F(n ,n )，其中X 2(n ),Y (n ),且21212Y /n2X，Y 相互独立分位数：若P(X x ) ,则称x为X的分位数1 设X ,X ,X为来自正态总体N(, )的样本，212n1n1n2(X X) ,则2X X ,Siinn 1i1i12X (1)X N(,)或
121、N(0,1)n /n正态总体的常用样本分布(n1)S21n(2)(X X)2 (n1)222ii11n(3)(X )2 (n)22ii1X (4) t(n1)Sn重要公式与结论85（1）对于2 2(n)，有E(2(n) n,D(2(n) 2n;(n 2)；n（2）对于T t(n)，有E(T) 0,D(T) （3）对于F F(m,n)，有n211 F(n,m),Fa/2(m,n) ;FF1a/ 2(n,m)（4）对于任意总体X，有E(X) E(X),E(S ) D(X),D(X) D(X)2n(七)参数估计考试内容点估计的概对应公式、概念、定理1为的矩估计，g（x）为连续函数，则g（）为g（）的
122、矩估计.念，估计2为的极大似数估计，g（x）为单调函数，则g()为g()的量与极大似然估计估计值，矩估计3E(X) E(X),E(S2) D(X),即X，S2分别为总体E(X ),D(X )的无偏估计量.法，最大似然估计4 由大数定律易知X，S2也分别是E(X ),D(X )的一致估量.5 若E() ,D() 0(n )则为的一致估计.86法估计量的评选标准区间估计的概念1 估计量的选取标准：无偏性、有效性、相合性2( , )为的置信度是1的置信区间，g（x）为单调增加（或g()的置信度121221单调减少）函数，则(g( ),g( )或g( )，g( )）为是1的置信区间正态总体均值与方差的
123、置信区间单个正态总体的均值和方差的区间估计，两个正态总体的均值差和方差比的区待估参数抽样分布双侧置信区间( X , X )X 2U N(0,1)22已知P n2SS(X t , X t )2X nnT t(n1)22未知SnPT t 2nn22(X )i(X )i(i1,i1)2(n)21(n)1nW(X )22i222i1已知PWPW2(n) 2n2(n)212287间估计n1S2n1S2n1S2W n12,未知22n12n11221222(X X ),12(X X )( )n1n2U 1212212,2212221222(X X )已知n1n212n1n22 N(0,1)PU 211已 知
124、(XX)()(X X)t (nn 2)S ,T1212t(nn2)1212nn21 22122121 1S2,n n11 但 未 知12(X X )t (nn 2)S11212nn2(n1)S21(n1)S2212S2122nn2P T t 21221S221,F (n 1,n 1) S1222S21S22122F (n 1,n 1)1F2F(n 1,n 1)21S22S21122222PF F (n 1,n 1)212212PF (n 1,n 1)21F288(八)假设检验考试内容对应公式、概念、定理1 假设检验的一般步骤(1)确定所要检验的基本假设H；0(2)选择检验的统计量，并要求知道其
125、在一定条件下的分布；(3)对确定的显著性水平，查相应的概率分布，得临界值，从而确定否定域；显著性检验，假设检验的两类错误(4)由样本计算统计量，并判断其是否落入否定域，从而对假设H0作出拒绝还是接受的判断2 假设检验的两类错误统计推断是由样本推断总体，所作的结论不能保证绝对不犯错误，而只能以较大概率来保证其可靠性.第一类错误是否定了真实的假设，即假设本来成立，但被错误地否认了，成为“弃真”，检验水平就是犯第一类错误的概率的最大允许值.第二类错误是把本来不成立的假设错误地接受了，称为“存伪”.犯这类错误的大小一般用表示，它的大小要视具体情况而定.单个及两个正态总体的均值原假设H下的检验统计量及H
126、的拒绝域00H0分布 0( 已知）x 0 /nX 0U |u | u一个2a /n2 N(0,1)89和方差的假设检验 0( 未知）X 0S /nx 0S /n正态T |t |t (n1)22 t(n1)总体2 222nX n x i0i2aW w (n)0i10i12(已知) (n)2或w 2(n)a12(n1)S22 20(n1)S2w 2a(n1)W 20202或w 2(n1)(未知)2 (n1)a12 12X X 两个正态U 12(12,221222X X 12|u | un1n212222已知） N(0,1)n1n2X X T 12总体1211X X (12,22未知SW12|t |
127、n1n211但12 )22SW t(n n 2)n1n212(n 1)S21(n 1)S22 t (n n 2)S2W12a12n n 2212S12S12f F (n 1,n 1)F 1222S22S22a122 F(n 1,n 1)12或f Fa1(n 1,n 1)212（，21未知）90经常用到的初等数学公式初等代数1乘法公式与因式分解(1)(ab)2a22abb2(2)(abc) a b c(3)a b (ab)(ab)22222ab2ac2bc22(4)(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3(5)a3 b3 (a b)(a2 ab b )2(6)an bn (a b)(an1
128、an2b an32b abn2 bn1)abc2比例()da bc d(1)合比定理(2)分比定理(3)合分比定理bda bc dbda bc da bc dabceabcefabcefa c eb d f(4)若,则令 t.于是dfdd(5)若y与x成正比，则y k（x k为比例系数）91k(6)若y与x成反比，则y （k为比例系数）x3不等式（1）设a b 0,n 0，则an bn（2）设a b 0, n为 正 整 数 ， 则na nbabcaba cb dc(3)设,则dd(4)非负数的算术平均值不小于其几何平均值，即a bab,2a b cabc,33a a a a123na a a1
129、2nnn(5)绝对值不等式1） |ab|a|b|2）| ab|a|b|3）| ab|a|b|4）|a| a |a|ax bxc 024二次方程92b b2 4acb b 4ac2(1)根 : x , x 122a2abc(2)韦达定理：x x , x x 1212aa 0,方程有两不等实根(3)判别式 b24ac 0，方程有两相等实根 0,方程有两共轭虚根5一元三次方程的韦达定理:若x3 px qxr 0的三个根分别为x ,x ,x ，则1232x x x p123x x x x x x q122331x x x r1236. 指数(1)a(2)a(3)(aman amn amnmanm)nn
130、 amn(4)(ab) anbnaa(5)( )mbbm1(6)amam7对数log N,(a 0,a 1,N 0)a93(1)对数恒等式N aloga,更常用N elnNN(2)log (MN) log M log NaaaM(3)log () log M log NaaaN(4)log (Mn) nlog Maa1(5)loganM log Manlog M(6)换底公式log M balog ab(7)log 10a(8)log a 1a8数列（1）等差数列设a-首项，1a-通项nd-公差，S-前 n 项和n1)a a (n1)dn1a a n na n(n1)d12)S 1nn2213
131、)设a,b,c成等差数列,则等差中项b (a c)2（2）等比数列94设a-首项，q-公比，a-通项， 则1n1)通项a a qn1n1a (1qn)a a q2)前n项和S 11nn1q1q（3）常用的几种数列的和11)123 nn(n1)212)12222332 n2n(n1)(2n1)613)1333 n3n(n1)2214)1223 n(n1) n(n1)(n2)314)123234 n(n1)(n2) n(n1)(n2)(n3)49排列、组合与二项式定理（1）排列P n(n1)(n2)n(m1)mn（2）全排列P n(n1)321 n!nn（3）组合n(n1)(nm1)m!n!Cnm
132、m!(n m)!组合的性质：951)CnmCnnm2)CnmCmn1Cm1n1（4）二项式定理(ab)nannan1bn(n1)an2b2n(n1)n(k1)ankbkbn2!k!平面几何1、 图形面积（1）任意三角形111S bh absinC s(sa)(sb)(sc),其中s (abc)2平行四边形22S bh absin（2）梯形S=中位线高112（3）扇形S rl r 222、 旋转体（1）圆拄设 R-底圆半径，H-拄高，则1）侧面积S 2RH，侧2）全面积S 2R(H R)全V R H23）体积（2）圆锥（l R2 H 母线）2961）侧面积SRl侧2）全面积SR(l R)全1V
133、R2H3）体积（3）球3设 R-半径， d-直径，则S 4R全21）全面积4V R32）体积3（4）球缺（球被一个平面所截而得到的部分）1）面积S 2Rh(不包括底面)hV h2(R)2）体积33棱拄及棱锥设 S-底面积，H-高：（1）棱拄体积V SH1V SH31（3）正棱锥侧面积A母线底周长2三、平面三角1三角函数间的关系（1）sin csc 1（2）cos sec 1 cos 1（3）tan cot 1（4）sin2297（5）1tan2 sec2（6）1cot2 csc 2sincoscossin（7）tan （8）cot 2 倍角三角函数(1)sin2 2sincos(2)cos2
134、cos sin2tan22 12sin2 2cos2 11cot2(3)tan2 (4)cot2 1tan22cot1cos21cos2(5)sin2 (6)cos 2223三角函数的和差化积与积化和差公式 (1)sin sin 2sincossin22 (2)sin sin 2 cos22 (3)cos cos 2 coscos22 (4)cos cos 2sinsin221(5)sin cos sin( ) sin( )21(6) cos cos cos( ) cos( )21(7) cos sin sin( ) sin( )2981(8)sin sin cos( ) cos( )24边角关系（1）正弦定理abc 2R，R 为外接圆半径sin Asin Bsin C（2）余弦定理ab2 b c2 c a2 2bc cos A 2ca cos B222c2 a2 b2 2ab cos C5反三角函数恒等式22(1)arcsinxarcsinyarcsin(x 1y y 1x )22(2)arccos xarccos y arccos(xy (1 x )(1 y )x y(3)arctan x arctan y arctan()1 xy(4)arcsin x arccos x 2(5) arctan x arc cot x 2
