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1、精品资料欢迎下载函数研究对象本章内容极限研究方法分析基础连续研究桥梁 1 函数本节内容 : 一、邻域二、函数的概念三、基本初等函数四、复合函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页精品资料欢迎下载五、初等函数一、邻域1. 定义 1: 设,aRR, 则( ,)|(,)U axxaaa点a的邻域a( ,)U a的中心 , ( ,)U a的半径 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页精品资料欢迎下载2. 定义 2:( , )|(, )( ,)U
2、axxaaaa a0点a的去心邻域二、函数的概念f定义在 D 上的函数 ; D定义域 ; x自变量 ; y因变量 ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页精品资料欢迎下载()f x0x0处的函数值 ; (),Wy yf xxD值域. 注意: 函数的两个要素 定义域和对应法则 . 补例 1 求下列函数的定义域 . (1) yx211; (2) lnyx12. 三、基本初等函数基本初等函数指下列5类: 幂函数是常数()yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页
3、，共 21 页精品资料欢迎下载指数函数是常数(,)xyaaaa01对数函数是常数log(,)ayx aaa01三角函数sin ,cos ,tan,cot ,sec ,cscyx yx yx yxyx yx反三角函数arcsin ,arccos ,arctan,arccotyx yx yx yx(一) 幂函数1. 幂函数的定义 : ()yxR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页精品资料欢迎下载2. 幂函数的图形与性质 : (a) 取不同值 , 幂函数的定义域与值域均可能不同; (b) 对任意, 函数图形都过点(1,1)
4、; 当0时, 图形过点(0,0)和(1,1); 图 1-2 112yx1yxyxO图 1-1 y2yx3yxO11x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页精品资料欢迎下载(c) 当0时, 幂函数在(0,)为单调递增函数 ; 而0时, 幂函数在(0,)为单调递减函数 ; (d) 幂函数为无界函数 . 3. 幂函数的运算性质 : (a) aaa; (b) aaa; (c) ()aa; (d) ()a bab. (二) 指数函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7
5、页，共 21 页精品资料欢迎下载1. 指数函数的定义 : (0,1;)xyaaaxR且2. 指数函数的图形与性质 : (a) 定义域为R, 值域为R; (b) a不论取何值 , 函数图形都过点(0,1); (c) 当1a时, 指数函数为单调递增函数, 而01a时, 指数函数为单调递减函数; (d) 指数函数为无界函数; (e) 指数函数是非奇非偶函数. 图 1-3 2xy12( )xy1O1yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页精品资料欢迎下载3. 指数函数的运算性质 : 与幂函数的运算性质相似, 略. (三) 对
6、数函数1. 对数函数的定义 : log0,1;(0,)ayxaax且其中a底数. 一种特殊对数 : lnyx. 2. 对数函数的图形与性质 : (a) 定义域为R, 值域为R; 图 1-4 xy1O12logyx12logyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页精品资料欢迎下载(b) a不论取何值 , 函数图形都过点(1,0); (c) 当1a时, 对数函数为单调递增函数; 而01a时, 对数函数为单调递减函数; (d) 对数函数为无界函数; (e) 对数函数是非奇非偶函数. 3. 对数函数的运算性质 : (a) l
7、og ()loglogaaauvuv; (b) logloglogaaauuvv; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页精品资料欢迎下载(c) loglogvaauvu; (d) lnloglnaxxa. (四) 三角函数1. sin ,cosyx yx: sinyx正弦函数; cosyx余弦函数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页精品资料欢迎下载sin ,cosyx yx的图形与性质 : (a) 定义域均为R, 值域均为 1,1;
8、 (b) sin ,cosyx yx均为非单调函数 ; (c) sin ,cosyx yx均为有界函数 ; (d) sinyx为奇函数 , cosyx为偶函数 ; 图 1-5 x1O21ycosyx2sinyxxy2O112精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页精品资料欢迎下载(e) sin ,cosyx yx均为周期函数 .2. tan,cotyx yx: tanyx正切函数; cotyx余切函数. tan,cotyx yx的图形与性质 : 2Ocotyxyx2图 1-6 yx2tanyxO232精选学习资料 -
9、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页精品资料欢迎下载(a) tanyx定义域为1() 2Rk, cotyx定义域为Rk, 值域均为R; (b) tan ,cotyx yx均为非单调函数 ; (c) tan,cotyx yx均为无界函数 ; (d) tan ,cotyx yx均为奇函数 ; (e) tan,cotyx yx均为周期函数 . 3. sec ,cscyxyx: 1seccosyxx正割函数; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页精品资料欢迎下载
10、1cscsinyxx余割函数. (五) 反三角函数1. arcsin,arccosyx yx: arcsinyx反正弦 函数; arccosyx反余弦 函数. arcsin,arccosyx yx的图形与性质 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页精品资料欢迎下载(a) arcsin,arccosyx yx定义域均为 1,1, arcsinyx的值域为2,2, arccosyx的值域为0,; (b) arcsin,arccosyx yx均为单调函数 ; 图 1-7 22arcsinyxyO11xy2O11xarc
11、cosyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页精品资料欢迎下载(c) arcsin,arccosyx yx均为有界函数 ; (d) arcsinyx为奇函数 , arccosyx为非奇非偶函数 . 2. arctan,arccotyx yx: arctanyx反正切 函数; arccotyx反余切 函数. arctan,arccotyx yx的图形与性质 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页精品资料欢迎下载(a) arctan,ar
12、ccotyx yx的定义域均为R, arctanyx的值域为(2,2), arccotyx的值域为(0,); (b) arctan,arccotyx yx均为单调函数 ; (c) arctan,arccotyx yx均为有界函数 ; 图 1-8 O2arccotyx11yx22xarctanyxy11O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页精品资料欢迎下载(d) arctanyx为奇函数 , arccotyx为非奇非偶函数 . 四、复合函数设lnyu, tanux, 则ln(tan)yx. 1. 定义: 设有函数链且
13、( ),( ),()yf uuDuxxDDD1221, 则函数 ( )yfx称为由( )yf u及( )ux复合而成的 复合函数 , 其中u称为中间变量 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页精品资料欢迎下载2. 写出下列复合函数的复合过程, 并求其定义域 . (1)arctan()yx2; (2)sin()yx2; (3)(sin )yx2. 五、初等函数1.定义: 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合步骤所构成并且可以用一个式子表示的函数叫做初等函数 . 如: sinlnyxx, yx211, lnyx12,. 思考题 : |yx是否是初等函数 ? 小结: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页精品资料欢迎下载邻域的定义 ; 函数的定义及定义域 ; 五类基本初等函数的图形与性质; 复合函数的定义与复合函数的分解; 初等函数的定义 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页
