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1、2.1.2 求曲线的方程求曲线的方程对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点、用方程表示曲线，通过研究方程的性质标表示点、用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门学科称为法称为坐标法，这门学科称为解析几何解析几何 坐标法和解析几何的意义、基本问题：坐标法和解析几何的意义、基本问题：解析几何的两大基本问题就是：解析几何的两大基本问题就是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程根据已知条件，求出表示平面曲线的方程(2)通过方程，研究平面曲线
2、的性质通过方程，研究平面曲线的性质新课探究新课探究思考思考1： 我们有哪些可以求直线方程的方法？我们有哪些可以求直线方程的方法？0xyAB例例2、设设A，B两点的坐标分别是两点的坐标分别是(-1，-1)，(3，7)，求线段，求线段AB的垂直平分线的方程。的垂直平分线的方程。法一：运用直线方程的知识来求法一：运用直线方程的知识来求.y0xABM新课探究新课探究例例2、设设A，B两点的坐标分别是两点的坐标分别是(-1，-1)，(3，7)，求线段，求线段AB的垂直平分线的方程。的垂直平分线的方程。思考思考2：若没有现成的结论怎么办：若没有现成的结论怎么办?需要寻找一般性的方法需要寻找一般性的方法我们
3、的目标就是要找我们的目标就是要找x与与y的关系式的关系式先找曲线上的点满足的几何条件先找曲线上的点满足的几何条件例例2、设设A，B两点的坐标分别是两点的坐标分别是(-1，-1)，(3，7)，求线段，求线段AB的垂直平分线的方程。的垂直平分线的方程。法二法二:一般性的方法一般性的方法证明所得的方程是线段证明所得的方程是线段AB的垂直平分线方程的垂直平分线方程例例2、设设A，B两点的坐标分别是两点的坐标分别是(-1，-1)，(3，7)，求线段，求线段AB的垂直平分线的方程。的垂直平分线的方程。证明所得的方程是线段证明所得的方程是线段AB的垂直平分线方程的垂直平分线方程即方程的解在线段即方程的解在线
4、段AB的垂直平分线上的垂直平分线上求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲表示曲线上任意一点线上任意一点M的坐标；的坐标；(2)写出满足条件写出满足条件p的点的点M的集合的集合P=M| p(M);(3)用坐标表示条件用坐标表示条件p(M)，列出方程，列出方程f(x,y)=0；(4)化简方程化简方程 f(x,y)=0 ；(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。 一般情况下，步骤一般情况下，步骤(5)可以省略不写。可以省略不写。步骤步骤(2)也可省略也可省略归纳归纳:求曲
5、线方程的一般步骤为：求曲线方程的一般步骤为： (1)建建立立适适当当的的直直角角坐坐标标系系，用用(x，y)表表示示曲曲线线上上任任意点意点M的坐标，简称的坐标，简称建建系系设设点点；(2) 用用坐坐标标表表示示条条件件P(M)，列列出出方方程程f(x，y)=0，简简称称列列(代代)方程并方程并限限制条件制条件；(3)化方程化方程f(x，y)=0为最简形式，简称为最简形式，简称化化简方程简方程；以上步骤用一句话概括就是以上步骤用一句话概括就是:建设建设现现(限限)代代化化.例例3、已知一条直线已知一条直线l和它上方的一个点和它上方的一个点F，点，点F到到l的距离是的距离是2.一条曲线也在一条曲
6、线也在l的上方，它上面的每一点的上方，它上面的每一点到到F的距离减去到的距离减去到l的距离的差都是的距离的差都是2，建立适当的，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。坐标系，求这条曲线的方程。B求曲线的方程要注意以下几点：求曲线的方程要注意以下几点：(1)当题中没给定坐标系时，我们就要适当地建立当题中没给定坐标系时，我们就要适当地建立坐标系，例如题目中有两垂直直线，就可以选其做坐标系，例如题目中有两垂直直线，就可以选其做坐标轴。坐标轴。(2)要仔细分析曲线上动点所满足的几何条件，挖要仔细分析曲线上动点所满足的几何条件，挖掘等量关系，寻找动点坐标所适合的方程。掘等量关系，寻找动点坐标所适合的方程。
7、(3)根据具体条件，有时要注明变量根据具体条件，有时要注明变量x与与y的变化范的变化范围。围。练习练习1、已知两定点、已知两定点A(-2,0)，B(2,0)，如果动点，如果动点P满足满足PA与与PB的斜率之积为的斜率之积为-2，求动点，求动点P的轨迹方程的轨迹方程.2、两个定点的距离为、两个定点的距离为6，点，点M到这两个定点的距离到这两个定点的距离的平方和为的平方和为26，求点，求点M的轨迹方程的轨迹方程.2x2+y2=8(x2)x2+y2=4归纳归纳:求曲线方程的一般步骤为：求曲线方程的一般步骤为： (1)建建立立适适当当的的直直角角坐坐标标系系，用用(x，y)表表示示曲曲线线上上任任意点
8、意点M的坐标，简称的坐标，简称建建系系设设点点；(2) 用用坐坐标标表表示示条条件件P(M)，列列出出方方程程f(x，y)=0，简简称称列列(代代)方程并方程并限限制条件制条件；(3)化方程化方程f(x，y)=0为最简形式，简称为最简形式，简称化化简方程简方程；以上步骤用一句话概括就是以上步骤用一句话概括就是:建设建设现现(限限)代代化化.定义法求曲线方程定义法求曲线方程例例1、已知定长为、已知定长为8的线段，其端点的线段，其端点A、B分别在分别在x轴轴和和y轴上移动，线段轴上移动，线段AB的中点为的中点为M，求点，求点 M的轨迹的轨迹方程方程.练习、练习、已知圆已知圆C：(x-1)2+y2=
9、1，过原点，过原点O作圆的任作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.代入法求曲线方程代入法求曲线方程例例2、ABC的顶点的顶点B、C的坐标分别为的坐标分别为(0,0)、(4,0)，AB边上的中线的长为边上的中线的长为3，求顶点，求顶点A的轨迹方程的轨迹方程.针对练习针对练习点差法点差法求曲线方程的过程中求曲线方程的过程中: :1.充分利用图形特点来挖掘几何条件列方程可以使充分利用图形特点来挖掘几何条件列方程可以使过程变得简洁过程变得简洁.(数形结合数形结合! !) )2.有时直接找曲线上的点的坐标满足的关系是相当有时直接找曲线上的点的坐标满足的关系是相当困难的困难的,这时我们要巧妙地借助与它相关的点来分这时我们要巧妙地借助与它相关的点来分析析,会更容易发现问题中的代数关系会更容易发现问题中的代数关系,从而列出方程从而列出方程.(相关点坐标分析法相关点坐标分析法,代入法代入法) )练习练习P37A 例例3：DBAM引入参数引入参数法法作业：作业：PMNO1O2高考真题： 如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程. xyo
