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1、数学物理方法数学物理方法一些典型方程和定解条件的推导一些典型方程和定解条件的推导第一章Calculations of Some Typical Equations with Definite Conditions 思路思路数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数一一. 均匀弦的横振动方程的建立均匀弦的横振动方程的建立二二. 传输线方程传输线方程(电报方程电报方程)的建的建立立三三. 电磁场方程的建立电磁场方程的建立四四. 热传导方程的建立热传导方程的建立 提要：提要：五五. 举例举例数学物理方程的建立： 从考察对象中任取一微元，寻找与之有关的力、热、声、光、电等物理关联数学表述，并对其整理
2、、简化，得到所研究问题的偏微分方程。 “一语道破！一语道破！”适用范围：适用范围： 这是从事科学研究的基本这是从事科学研究的基本方法与路径。方法与路径。第一章第一章 一些典型方程和定解条件的推导一些典型方程和定解条件的推导1.1 1.1 基本方程（泛定方程）的建立基本方程（泛定方程）的建立 物理模型物理模型（现象、过程）（现象、过程） 数学形式表述数学形式表述（建立偏微分方程并求解）（建立偏微分方程并求解）目的：培养分析、归纳、目的：培养分析、归纳、综合、演绎、综合、演绎、抽象、猜测、试探、估算的科学方法。抽象、猜测、试探、估算的科学方法。 步骤步骤：(1(1）确定研究对象（物理量），建立合适
3、的坐标系；）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系； （2 2）在系统内部，任取一微元，利用物理规律，分析其与相邻部分间的作用；）在系统内部，任取一微元，利用物理规律，分析其与相邻部分间的作用； （3 3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；）忽略次要因素，抓住主要矛盾； （4 4）化简整理，得到偏微分方程。）化简整理，得到偏微分方程。 不含初始条件不含初始条件不含边界条件不含边界条件物理状态描述物理状态描述: : 设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外，设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外，不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。不受其它外力影响，在铅
4、直平面内作横向、微小振动。平衡位置平衡位置任意截取一小段，并抽象性夸大。任意截取一小段，并抽象性夸大。弦的振动：虽然经典，但弦的振动：虽然经典，但 极具启发性。极具启发性。一一. 均匀弦的横振动方程的建立均匀弦的横振动方程的建立X1 1、建立坐标系、建立坐标系 选定微元选定微元uodsMNMNxx+dx2 2、微元、微元dsds的动力学方程（牛顿第二运动定律）的动力学方程（牛顿第二运动定律）TT 隔离物体法隔离物体法X1 1、建立坐标系、建立坐标系 选定微元选定微元uodsMNMNxx+dx2 2、微元、微元dsds的动力学方程（牛顿第二运动定律）的动力学方程（牛顿第二运动定律）TT (1)(
5、2) 马克思在马克思在数学手稿数学手稿中指出：微分是中指出：微分是“扬弃了的或消失了的差值扬弃了的或消失了的差值”。哲学上的。哲学上的“扬弃扬弃”是指是指“既被克服又被保存既被克服又被保存”，是包含着肯定的否定。在导数定义中，分子，是包含着肯定的否定。在导数定义中，分子yy 和分母和分母xx 都被都被扬弃了，就是说，它们都消失为扬弃了，就是说，它们都消失为 0 0 ，从而有限大小的，从而有限大小的 xx 和和 yy 都被克服，差商都被克服，差商 但是，它们的依赖关系（比值）却保存下来了。但是，它们的依赖关系（比值）却保存下来了。我们记扬弃了的（或消失了的）我们记扬弃了的（或消失了的）那末，导数
6、就是那末，导数就是导数导数从运动的观点看导数的定义从运动的观点看导数的定义导数导数关于函数的某种形式的极限关于函数的某种形式的极限 （实质）（实质）函数在某点上的变化率函数在某点上的变化率 （数学结构）（数学结构）某点上切线的斜率某点上切线的斜率 （几何意义）（几何意义）导数导数 “只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动。表明状态，并且也表明过程：运动。” 摘恩格斯摘恩格斯.自然辩证法自然辩证法3、忽略与近似、忽略与近似(1)(2)dsTT o 对于小振动：对于小振动：所以有：所以有：3、忽略与近似、忽略与近似(1
7、)(2)对于小振动：对于小振动：于是（于是（1）式变为：）式变为：代入（代入（2）式变为：）式变为：一般说来，一般说来， ， 将将 g 略去，上式变为略去，上式变为上式实际上可以明确表示为：上式实际上可以明确表示为：令令 ，于是有：，于是有：一维波动方程一维波动方程4、整理化简、整理化简L二二. 传输线方程传输线方程(电报方程电报方程)的建的建立立 现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数分布参数的导体的导体, ,每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R R、L L、C C、
8、G G 表示。表示。 对于直流电或低频的交流电对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出）定律指出,同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视，辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视，因而同一支路中电流呈现瞬态变化。因而同一支路中电流呈现瞬态变化。物理状态描述物理状态描述: 设如图传输线是设如图传输线是分布参数电路分布参数电路，即传输线上电阻，即传输线上电阻 R R、电感、电感 L L
9、、电容、电容 C C 和电和电导导 G G 是按单位长度计算其对应的物理量，并且在是按单位长度计算其对应的物理量，并且在 x+dxx+dx 范围之内的所有元件范围之内的所有元件无论布局如何，均认为其长度为无论布局如何，均认为其长度为 dxdx. .电容元件：电容元件：电感元件：电感元件：换路定理换路定理: :在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。电路准备知识电路准备知识+LLCC+ +- -与同学们商榷的与同学们商榷的几个几个问题：（问题：（P4-5P4-5）（1 1）设某时刻）设某时刻 t t ，输入与输出端的对应关系是否合理，输入与
10、输出端的对应关系是否合理? ?（2 2）电流）电流 作为初始条件，在流经电感时是否要变化？作为初始条件，在流经电感时是否要变化？（3 3）按照图示，电容与电导两端的电压如何界定（注意）按照图示，电容与电导两端的电压如何界定（注意P5. -1.5P5. -1.5式）？式）？”是否合理是否合理？“另外另外,由基尔霍夫第一定律由基尔霍夫第一定律,流入流入节点节点的电流应等于流出该的电流应等于流出该节点节点的电流的电流,即即梁昆淼先生的做法：梁昆淼先生的做法： “今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容，今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容，
11、电漏分别记以电漏分别记以 R R，L L，C C，G G。于是。于是亦即亦即亦即亦即将将 作用于第一式作用于第一式, 作用于第二式作用于第二式,两结果相减两结果相减,就消去了就消去了 而得而得 的方程的方程同理同理,消去消去 ,得到得到 的方程的方程 设某时刻设某时刻 t ，对应关系如下：对应关系如下：左端：左端： ； 右端右端:+LLCC+ +- -输入端输入端输出端输出端参阅：丘关源主编参阅：丘关源主编电路电路P426-430，第十八章，均匀传输线。，第十八章，均匀传输线。+LLCC+ +- -由基尔霍夫电压定律由基尔霍夫电压定律:由基尔霍夫电流定律由基尔霍夫电流定律:电容上的电流：电容上
12、的电流：电感上的电压：电感上的电压：流入流入流出流出+LLCC+ +- -由基尔霍夫电流定律由基尔霍夫电流定律:电容上的电流：电容上的电流：电感上的电压：电感上的电压：整理后得到：整理后得到：相对于函数的变化率，略去无穷小量相对于函数的变化率，略去无穷小量dx ,得得由基尔霍夫电压定律由基尔霍夫电压定律:由基尔霍夫电流定律由基尔霍夫电流定律:(1.4)(1.5)基本电磁场量基本电磁场量 场的物质方程场的物质方程 Maxwell方程方程电场强度电场强度磁场强度磁场强度电感应强度电感应强度磁感应强度磁感应强度介质的介电常数介质的介电常数导磁率导磁率导电率导电率传导电流的面密度传导电流的面密度电荷的
13、体密度电荷的体密度Vector difference operator三三. 电磁场方程的建立电磁场方程的建立目标目标: 利用上述关系利用上述关系,分别解出分别解出 、 。由由将将 代入上式，代入上式，得得 对上式两边求旋度，对上式两边求旋度， 得得再将再将 代入上式，得代入上式，得 这是一个关于磁场强度的二这是一个关于磁场强度的二阶微分方程阶微分方程方法之一方法之一为进一步化简，利用为进一步化简，利用 Hamilton 算子的运算性质算子的运算性质磁场强度、磁感应强度的散度为零。磁场强度、磁感应强度的散度为零。如法炮制，可得关于电场强度的方程如法炮制，可得关于电场强度的方程如果介质不导电（如
14、果介质不导电（=0），），上述方程简化为：上述方程简化为：三维波动方程三维波动方程将将 代入上式，代入上式，得得 目标目标: 建立关于电位建立关于电位 u 的方程的方程 由电感应强度由电感应强度 与电场强度与电场强度 的定义知：的定义知：（电荷体密度）（电荷体密度）而电场强度与电位之间的关系，由下式确定而电场强度与电位之间的关系，由下式确定由此可得：由此可得：依据依据Hamilton 算子的运算性质：算子的运算性质：这个非齐次方程称为泊松这个非齐次方程称为泊松（Poisson）方程）方程若静电场是无源的，即若静电场是无源的，即 ，上式又可写成，上式又可写成这个齐次方程称为拉普拉这个齐次方程称为
15、拉普拉斯（斯（Laplace）方程）方程上式可写成上式可写成方法之二方法之二数学准备知识数学准备知识静电场方程泊松 (Poisson) 方程方法之三方法之三物理模型物理模型: : 均匀且各向同性的导热体均匀且各向同性的导热体, , 在传热过程中所满足的微分方程在传热过程中所满足的微分方程 . .研究对象研究对象: : 热场中任一闭曲面热场中任一闭曲面 S ,S ,体积为体积为 V,V,热场热场V(体积体积)S(闭曲闭曲面面) t t 时刻时刻, V , V 内任一点内任一点 M(x,y,zM(x,y,z) ) 处处 的温度为的温度为 u(x,y,z,tu(x,y,z,t).).MM 曲面元曲面
16、元 dsds 的法向的法向 ( (从从V V内内 V V外外) ) ds数学表述为数学表述为：四四. 热传导方程的建立热传导方程的建立物理规律物理规律: : 由热学的由热学的(Fourier)(Fourier)实验可知实验可知: : dtdt 时间之内时间之内, ,流经面元流经面元 dsds 的热量的热量 dQdQ, , 与与时间时间 dtdt 成正比；成正比； 曲面面积曲面面积 dsds 成正成正比；比； 温度温度 u u 沿曲面法方沿曲面法方向向 的的 方向导数方向导数 成正比。成正比。 关于双侧曲面的侧与其边界曲线的方向作如下规定：设有人站在双曲面指定的一侧，沿其行走，指定的侧总在人的左
17、方，则人前进的方向为边界线的正向；若沿其行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线的负向，这个规定方法也称为右手法则，即当右手除拇指之外的四指按的正向弯曲时，竖起的拇指所指的方向与上法向量的指向相同，称如此规定了正向的边界曲线为曲面的正向边界曲线如图所示 小常识小常识MMdsV(体积体积)S(闭曲闭曲面面)热场热场MMdsV(体积体积)S(闭曲闭曲面面)热场热场数学表述为：数学表述为：从从 t1 t2 ,通过曲面元通过曲面元 S ,流入区域流入区域 V 的热量为的热量为必然等于必然等于 V 内各点所吸收的热量内各点所吸收的热量(热量守恒热量守恒) 上式中的上式中的 ，在热学中的意义？，
18、在热学中的意义？ 为何上式左边的为何上式左边的“”号又不见了号又不见了？ 数学处理：由于数学处理：由于 S 为闭曲面，假设为闭曲面，假设 u(x,y,z) 具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数, 那么那么 依据奥依据奥高公式（高斯公式）高公式（高斯公式）因此有：因此有：由于由于 t1 , t2 以及区域以及区域 V 的任意性的任意性 , 且被积函数为连续且被积函数为连续, 因此有因此有若令若令: , 那么上述方程可写为那么上述方程可写为三维热传导方程三维热传导方程讨论讨论:(1). 若若 V 内有热源内有热源, 强度为强度为 F(x,y,z,t) ,则热传导方程为则热传导方程为其中其中(2).
19、 若导热体为一根细杆若导热体为一根细杆 , 则则(3). 若导热体为一薄片若导热体为一薄片 , 则则(4). 若热场为一稳恒场若热场为一稳恒场(温度趋于平衡状态温度趋于平衡状态) , 则则与之对应有与之对应有稳恒温度场内的温度稳恒温度场内的温度满足满足Laplace方程方程.(5). 在研究气体的扩散、液体的渗透、半导体材料中杂质的扩散等物理过在研究气体的扩散、液体的渗透、半导体材料中杂质的扩散等物理过 程时程时 , 若扩散系数为常量，那么所导出的若扩散系数为常量，那么所导出的 扩散方程，形式上与热传导扩散方程，形式上与热传导 方程相同。方程相同。 即即这里这里扩散系数扩散系数浓度浓度一一.
20、. 均匀弦的横振动方程均匀弦的横振动方程二二. . 传输线方程传输线方程( (电报方程电报方程) ) 一维波动方程一维波动方程 高频传输线方程高频传输线方程三三. . 电磁场方程电磁场方程 三维波动方程三维波动方程四四. . 热传导方程热传导方程(场点场点 t 时刻的温度分布时刻的温度分布) 三维热传导方程三维热传导方程(振幅振幅)(电流、电压电流、电压)1.2 初始条件与边界条件初始条件与边界条件上一节谈到：物理规律上一节谈到：物理规律 数学表述；我们还需要将数学表述；我们还需要将 具体条件具体条件 数学表述出来。数学表述出来。 所提出的具体条件，应该恰如其分地说明系统的初始状态，以及边界上
21、所提出的具体条件，应该恰如其分地说明系统的初始状态，以及边界上的物理情况，不能提出过多的条件，也不能提出过少的条件。的物理情况，不能提出过多的条件，也不能提出过少的条件。 从物理的角度来说，只要确定了系统的初始状态、边界上的物理情况，从物理的角度来说，只要确定了系统的初始状态、边界上的物理情况，那末其后的发展，也必是确定的了；换言之，其相应的数学问题，应该有唯那末其后的发展，也必是确定的了；换言之，其相应的数学问题，应该有唯一的解。一的解。 一、初始条件一、初始条件系统内部描述与时间有关的初始状态的数学表述。系统内部描述与时间有关的初始状态的数学表述。（1）弦振动）弦振动（2）热传导）热传导
22、特别说明：特别说明：Poisson 方程，方程，Laplace 方程，都是描述稳恒状态的，与初始条件无关，方程，都是描述稳恒状态的，与初始条件无关，可不提初始条件。可不提初始条件。 列出初始条件，一般都不至于感到困难，不过有一点必须强调：初始条件应当说明列出初始条件，一般都不至于感到困难，不过有一点必须强调：初始条件应当说明整个系统的初始状态，而不是系统中个别地点的初始状态！整个系统的初始状态，而不是系统中个别地点的初始状态！ 二、边界条件二、边界条件具体物理问题的边界约束状态。具体物理问题的边界约束状态。以弦振动为例，弦振动时，其端点（以以弦振动为例，弦振动时，其端点（以 x=a 表示这个端
23、点）所受到的约束情况，通常有以下三类表示这个端点）所受到的约束情况，通常有以下三类右端点在振动过程中始终保持不动。右端点在振动过程中始终保持不动。（1）固定端（右端）固定端（右端）（2）自由端（右端）自由端（右端）右端点在振动过程中不受右端点在振动过程中不受 u 方向的外力，从而这方向的外力，从而这个端点在位移方向上的张力为个端点在位移方向上的张力为 0。（3）弹性支承端）弹性支承端又如热传导问题：又如热传导问题：V(体积体积)S(闭曲闭曲面面)MMds本课程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。本课程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。第一类边界条件：第一类边界条件：物理条件直
24、接规定了物理条件直接规定了 u 在边界上的值，如在边界上的值，如第二类边界条件第二类边界条件：物理条件并不直接规定了物理条件并不直接规定了 u 在边界上的值，而是规定了在边界上的值，而是规定了u 的法向微商在的法向微商在 边界上的值，如边界上的值，如第三类边界条件：第三类边界条件：物理条件规定了物理条件规定了 u 与与un 在边界上值之间的某个线性关系，如在边界上值之间的某个线性关系，如1.3 定解问题的提法定解问题的提法1. 二阶线性偏微分方程的解二阶线性偏微分方程的解二阶线性偏微分方程的最一般形式为（二阶线性偏微分方程的最一般形式为（n 个自变量）个自变量）对于只有两对于只有两 个自变量的
25、情况，上式则变化为个自变量的情况，上式则变化为（1.33）（1.34）线性偏微分方程（线性偏微分方程（1.33）的重要特征之一，就是从本身的形式上，将叠加原理表现得淋漓尽致。）的重要特征之一，就是从本身的形式上，将叠加原理表现得淋漓尽致。结论：如果一个函数结论：如果一个函数 u ，具有某个偏微分方程中所要求的各阶连续偏导数，并代入该方程，具有某个偏微分方程中所要求的各阶连续偏导数，并代入该方程， 使其变成为恒等式，则此函数被称为该方程的解（古典解）。使其变成为恒等式，则此函数被称为该方程的解（古典解）。2. 几个名词简介几个名词简介3. 定解问题的稳定性与适定性定解问题的稳定性与适定性物理问题
26、物理问题“翻译翻译”为数学问题，是否符合客观实际，尚须加以验证！为数学问题，是否符合客观实际，尚须加以验证！（1）解的存在性）解的存在性定解问题是否有解。定解问题是否有解。（2）解的唯一性）解的唯一性是否只有一个解。是否只有一个解。（3）解的稳定性）解的稳定性定解条件发生微小变化，解亦只有微小变化。定解条件发生微小变化，解亦只有微小变化。方法：试算方法：试算+实验实验本书所涉及的定解问题，都是古典的，适定的。本书所涉及的定解问题，都是古典的，适定的。“+”拟拟合合上述：解的存在性、唯一性、稳定性，被通称为适定性。上述：解的存在性、唯一性、稳定性，被通称为适定性。为什么为什么?为什么为什么? 小
27、技巧小技巧! !微分性质的不变性微分性质的不变性. .方法之二方法之二设有空间两点，若以 M1为始点，另一点 M2为终点的线段称为有向线段.通过原点作一与其平行且同向的有向线段.将与 Ox,Oy,Oz 三个坐标轴正向的夹角,分别记作,.这三个角,称为有向线段的方向角.则其方向角也是唯一确定的。其中,0,0,0.若有向线段的方向确定了，方向角的余弦称为有向线段或相应的有向线段的方向余弦。等等温温线线或或等等温温面面等等温温线线或或等等温温面面等等温温线线或或等等温温面面例例. . 设长为设长为 的均匀细弦，两端固定，初始位移为的均匀细弦，两端固定，初始位移为 0 。开始时，在。开始时，在 处受到
28、冲量为处受到冲量为 的作用，试写出其定解问题。的作用，试写出其定解问题。 解：建立坐标系，并选取研究对象如图示。解：建立坐标系，并选取研究对象如图示。 其一维波动方程为：其一维波动方程为：泛定方程（泛定方程（1）由两端固定，知：由两端固定，知：边界条件（边界条件（2）为了导出初始条件，考虑：由初始位移为为了导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知，知由开初时，在由开初时，在 处受到冲量处受到冲量 的作用的作用知知上的动量改变，即为冲量，于是有上的动量改变，即为冲量，于是有对于对于 点周围足够小的点周围足够小的 ，弦段，弦段 为了导出初始条件，考虑：由初始位移为为了导出初始条件，考虑：由初始位移
29、为 0，知，知由开初时，在由开初时，在 处受到冲量处受到冲量 的作用的作用知知上的动量改变，即为冲量，于是有上的动量改变，即为冲量，于是有质量质量速度速度冲量：力的时间作用效应冲量：力的时间作用效应 。动量定理：动量的改变动量定理：动量的改变=冲量的作用。冲量的作用。受冲击时的受冲击时的初位移初位移受冲击时的受冲击时的初速度初速度动量：质量与速度的乘积动量：质量与速度的乘积 。对于对于 点周围足够小的点周围足够小的 ，弦段，弦段 由此可见：初始条件为由此可见：初始条件为初始条件（初始条件（3）最后可得定解问题最后可得定解问题泛定方程（泛定方程（1）边界条件（边界条件（2）初始条件（初始条件（3
30、）解：建立坐标系，并选取研究对象如图示。解：建立坐标系，并选取研究对象如图示。 其一维波动方程为：其一维波动方程为：泛定方程（泛定方程（1）由两端固定，知：由两端固定，知：边界条件（边界条件（2）为了导出初始条件，考虑：由初始位移为为了导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知，知由开初时，在由开初时，在 处受到冲量处受到冲量 的作用的作用知知上的动量改变，即为冲量，于是有上的动量改变，即为冲量，于是有对于对于 点周围足够小的点周围足够小的 ，弦段，弦段 为了导出初始条件，考虑：由初始位移为为了导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知，知由开初时，在由开初时，在 处受到冲量处受到冲量 的作用的作
31、用知知上的动量改变，即为冲量，于是有上的动量改变，即为冲量，于是有对于对于 点周围足够小的点周围足够小的 ，弦段，弦段 质量质量速度速度由此可见：初始条件为由此可见：初始条件为初始条件（初始条件（3）冲量：力的时间作用效应冲量：力的时间作用效应 。动量定理：动量的改变动量定理：动量的改变=冲量的作用。冲量的作用。受冲击时的受冲击时的初位移初位移受冲击时的受冲击时的初速度初速度动量：质量与速度的乘积动量：质量与速度的乘积 。例例 有一均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必定引致邻段的压缩或伸有一均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必定引致邻段的压缩或伸 长，这种伸缩传开了去，就有纵波
32、沿着杆传播。试导出它的振动方程。长，这种伸缩传开了去，就有纵波沿着杆传播。试导出它的振动方程。分析：分析：另附另附解解 泛定方程的推导，设杆的横截面积为泛定方程的推导，设杆的横截面积为 S ，杨氏模量为，杨氏模量为 E，密度为，密度为 。解解 泛定方程的推导，设杆的横截面积为泛定方程的推导，设杆的横截面积为 S ，杨氏模量为，杨氏模量为 E，密度为，密度为 。如图建立坐标系，如图建立坐标系，并选取任意微元。并选取任意微元。由由Hooke 定律，微元所受到的弹性力为定律，微元所受到的弹性力为依据牛顿运动定律，得依据牛顿运动定律，得这就是杆在平衡位置，具有横坐标为这就是杆在平衡位置，具有横坐标为
33、的横截面上的纵向位移量的横截面上的纵向位移量 所所满足的偏微分方程。它是一维齐次波动方程。满足的偏微分方程。它是一维齐次波动方程。（1 1）泛定方程）泛定方程（2 2）初始条件）初始条件（3 3）边界条件）边界条件振动问题在平振动问题在平衡位置处的衡位置处的运动特征运动特征综合起来，定解问题应为：综合起来，定解问题应为：（1 1）泛定方程）泛定方程（2 2）初始条件）初始条件（3 3）边界条件）边界条件定解问题定解问题初始条件应当说明整个系统的初始状态，而不是系统中个别地点的初始状态！初始条件应当说明整个系统的初始状态，而不是系统中个别地点的初始状态！边界条件一定要在边界上选取！边界条件一定要在边界上选取！第一类边界条件：第一类边界条件：物理条件直接规定了物理条件直接规定了 u 在边界上的值，如在边界上的值，如第二类边界条件第二类边界条件：物理条件并不直接规定了物理条件并不直接规定了 u 在边界上的值，而是规定了在边界上的值，而是规定了u 的法的法 向微商在边界上的值，如向微商在边界上的值，如第三类边界条件：第三类边界条件：物理条件规定了物理条件规定了 u 与与un 在边界上值之间的某个线性关系，如在边界上值之间的某个线性关系，如
