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1、风华中学风华中学 九九（7）（）（8）1.已知四条线段已知四条线段a、b、c、d，如果，如果a bc d，那么那么a、b、c、d叫做组成比例的叫做组成比例的 ，线段，线段a、d叫做比例叫做比例 ，线段，线段b、c叫做比例叫做比例 ，线段，线段d叫做叫做a、b、c的的 。 比例中项：如果比例内项是两条相同的线段，比例中项：如果比例内项是两条相同的线段，即即 ，那么线段，那么线段b叫做线段叫做线段a和和c的比例中项。的比例中项。复习要点：复习要点：2. 2. 比例的性比例的性质质：ababcdcd ；ababbcbc。 3两个相似形的特征：对应边成比例，对应角相等；两个相似形的特征：对应边成比例，
2、对应角相等；4识别两个多边形是否相似的方法：识别两个多边形是否相似的方法：如果两个多边形如果两个多边形 ，那么这两个多边形，那么这两个多边形相似相似 。 5相似三角形：相似三角形： 定义：定义： 的三角形叫相似三角形。如的三角形叫相似三角形。如ABC与与ABC相似，记作相似，记作: 。 相似比：相似三角形相似比：相似三角形 的比叫相似比，若的比叫相似比，若ABC A B C ，相似比为，相似比为k，则，则ABC与与ABC的相似比是的相似比是 。即相似比是有顺序的。即相似比是有顺序的。 6 6相似三角形的相似三角形的识别识别方法：方法： (1)(1)定定义义法：法： 的两个三角形相似。的两个三角
3、形相似。(2)(2)平行平行线线法：法： 的直的直线线和其它两和其它两边边( (或两或两边边的延的延长线长线) ) ，所构成的三角形与原三角形相似。，所构成的三角形与原三角形相似。注意：适用此方法的基本注意：适用此方法的基本图图形，形，( (简记为简记为A A型，型，X X型型) ) EDBC EDBC，ABCAEDABCAED(3) 的两个三角形相似。的两个三角形相似。 (4) 的两个三角形相似。的两个三角形相似。 (5) 的两个三角形相似。的两个三角形相似。 (6) 对应成比例的两个直角三角形相似。对应成比例的两个直角三角形相似。 (7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与被斜边上的高分成的
4、两个直角三角形与原直角三角形相似。原直角三角形相似。 7相似三角形的识别方法的选择：相似三角形的识别方法的选择：(1)已知有一角相等时，可选择方法已知有一角相等时，可选择方法 和方法和方法 ；(4)有直角三角形时，可考虑方法有直角三角形时，可考虑方法 ； (3)若有平行条件时，可考虑方法若有平行条件时，可考虑方法 ；(2)已知有二边对应成比例时，可选择方法已知有二边对应成比例时，可选择方法 和方法和方法 ； (4)相似三角形面积之比等于相似三角形面积之比等于 8.相似三角形的性质相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例相似三角形的对应角相等，对应边成比例(2)相似三角形对应
5、相似三角形对应 的比、对应的比、对应 的比、的比、对应角对应角 的比都等于相似比的比都等于相似比(3)相似三角形相似三角形 的比等于相似比的比等于相似比以上各条可以概括为：以上各条可以概括为：相似三角形的对应相似三角形的对应 之比等于相似比之比等于相似比 (3)用来证明线段的平方比、图形面积的比等。用来证明线段的平方比、图形面积的比等。9相似三角形性质的作用相似三角形性质的作用综合使用相似三角形的性质与相似三角形的识别综合使用相似三角形的性质与相似三角形的识别可以解决以下问题：可以解决以下问题：(1)可用来证明线段成比例、角相等、线段相等、可用来证明线段成比例、角相等、线段相等、垂直、平行等；
6、垂直、平行等；(2)可用来计算周长、边长、角度等；可用来计算周长、边长、角度等；注意：注意：(1)(1)求三角形某求三角形某边长边长，可根据相似三角形的性，可根据相似三角形的性质质，得到，得到对应对应线线段成比例，再利用方程的思想方法，解出所求段成比例，再利用方程的思想方法，解出所求线线段段 (2)(2)有关三角形或其它有关三角形或其它图图形面形面积积的的题题目，常用到目，常用到两个知两个知识识点：一、是三角形面点：一、是三角形面积积公式：公式：S S 底底高，高，这这里特里特别别注意注意图图形中形中“同高同高”这这个个隐隐含条件；含条件；二、是相似三角形的面二、是相似三角形的面积积比等于相似
7、比的平方。比等于相似比的平方。直角三角形中的比例直角三角形中的比例线线段是段是这这部分内容的一个重点部分内容的一个重点如如图图，由，由RtACDRtCBDRtABCRtACDRtCBDRtABC，得，得ACAC2 2ADADABAB，BCBC2 2=BD=BDABAB，CDCD2 2=AD=ADDBDB熟熟记这记这三个等式有三个等式有时时会会给给解解题带题带来很大的方便，来很大的方便，尤其解几何尤其解几何综综合合题题更明更明显显，但，但须须注意，在使用注意，在使用它它们时们时，一定要，一定要证证明明这这三个直角三角形相似三个直角三角形相似例例1 1：已知：已知且且3 3x x4 4z z2 2
8、y y4040，求求x x、y y、z z的的值值。， 变变式式练习练习：已知：已知：x xy yz z2 23 34 4，求：，求：的的值值。例例2：如图，：如图，E、F分别为矩形分别为矩形ABCD的的边边AD、BC的中点，若矩形的中点，若矩形ABCD与矩与矩形形EABF相似，相似，AB1，求矩形，求矩形ABCD的面积的面积 .说明：运用相似多边形特征解题，应注意确定说明：运用相似多边形特征解题，应注意确定对应边、对应角，这里的对应边、对应角，这里的AB是大矩形的宽，那是大矩形的宽，那么它只能中小矩形的长，大矩形宽与长的比等于么它只能中小矩形的长，大矩形宽与长的比等于小矩形宽与长的比。小矩形
9、宽与长的比。例例3 3：(1)(1)、如、如图图，DEBCDEBC，EFABEFAB，则图则图中相似形三角形有中相似形三角形有 对对，分分别别是是 。 (2)(2)、如果、如果ADAD5 5，DBDB3 3，FCFC2 2，则则ADEADE与与ABCABC的相似比是的相似比是 ；如何求出如何求出BFBF的的长长？例例4 4：如：如图图，在四，在四边边形形ABCDABCD中，中，E E是是对对角角线线BDBD上的一点，上的一点，EFEFABAB，EMEMCDCD，求求的的值值。例例5 5：如：如图图，在，在ABCABC中，中，ADADBCBC，BEBEACAC，则图则图中有中有 对对相似三角形，
10、相似三角形，当当 时时，则则有有要要 ACACCECECBCBCDCD，则应则应找哪两个三角找哪两个三角形相似？形相似？解：解：例例6 6：如：如图图，在，在ABCABC中，中，ABABACAC，ADAD是是中中线线，P P是是ADAD上一点，上一点，过过点点C C作作CFCFABAB，延，延长长BPBP交交ACAC于点于点E E，交，交CFCF于点于点F F. .说说明：明：BP BP 2 2PEPEPFPF. .解：解：说明：当成比例的四条线段说明：当成比例的四条线段在同一直线上时，可用相等在同一直线上时，可用相等的线段代换的方法来分散开的线段代换的方法来分散开来，后再找相似三角形来，后再
11、找相似三角形.例例7 7如如图图，在，在ABCABC中，中，DEFGBCDEFGBC，并将，并将ABCABC分成三分成三块块S S1 1、S S2 2、S S3 3，若，若S S1 1S S2 2S S3 31 14 41010，BCBC1515，求，求DEDE、FGFG的的长长例例8:8:如如图图，在，在ABCABC中，中，D D是是BCBC边边上的上的中点，且中点，且ADADACAC，DEBCDEBC，DEDE与与ABAB相相交于点交于点E E，ECEC与与ADAD相交于点相交于点F F。 (1)(1)说说明：明：ABCFCDABCFCD (2) (2)若若S SFCDFCD5 5，BCB
12、C1010，求，求DEDE的的长长。例例9 9、如、如图图(3)(3)，在，在ABCABC中，中，E E、F F分分别别是是ACAC、BCBC的中点，的中点，AFAF与与BEBE交于点交于点O O，EDAFEDAF，交，交BCBC于点于点D D，求，求BOOEBOOE的的值值。例例1010、如、如图图，AEAE2 2ADADABAB，且，且ABEABEC C，试说试说明明BCEEBDBCEEBD。ABDCE1 28 8、如、如图图，点，点C C、D D在在线线段段ABAB上，上，PCDPCD是是等等边边三角形，三角形，当当ACAC、CDCD、BDBD满满足怎足怎样样的关系的关系时时，ACPAC
13、PPDBPDB？当当ACPACPPDBPDB时时，求，求APBAPB的度数。的度数。练习练习一、填空：一、填空：1如果两个相似三角形如果两个相似三角形对应对应高的比高的比为为4:5，那么它，那么它们们的面的面积积比比为为 2把一个三角形把一个三角形变变成和它相似的三角形，而面成和它相似的三角形，而面积扩积扩大大为为原来的原来的100倍，倍，则边长扩则边长扩大大为为原来的原来的 倍。倍。3如果两个相似三角形的面如果两个相似三角形的面积积比比为为8，周，周长长比比为为k，那么，那么。4如如图图（3），在），在ABC中，中，DEBC，且，且SABC8cm2，那么，那么SADE cm2 。5如图如图(
14、2)，C为线段为线段AB上的一点，上的一点，ACM、CBN都是等边三角形，若都是等边三角形，若AC3， BC2，则则MCD与与BND的面积比为的面积比为 。6如图如图(3)，在，在ABC中，中，D、E分别是分别是AB、AC的中点，则的中点，则ADE与四边形与四边形DECB的面积之比为的面积之比为 。7如图如图(4)，DE FG BC，且，且S ADES梯形梯形DFGES梯形梯形FBCG，则，则DE:FG。8如图如图(5)，在梯形，在梯形ABCD中，中，AD BC，AC、BD交交于于O点，点，S AOD:S COB1:9，则，则S DOC:S BOC 。 二、解答：二、解答： 如下如下图图，在，在ABC中，中，C900，BC8，ACBC35，点，点P从点从点B出出发发，沿，沿BC向点向点C以以2/s的速度移的速度移动动，点，点Q从点从点C出出发发沿沿CA向向点点A以以1/s的速度移的速度移动动，如果，如果P、Q分分别别从从B、C同同时时出出发发：经过经过多少秒多少秒CPQCBA？经过经过多少秒多少秒时时，以，以C、P、Q为顶为顶点的三角形点的三角形恰与恰与ABC相似？相似？
