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1、第三章 数值稳定性n稳定性：寻求一种离散间隔所满足的条件，在此条件下差分方程的数值解与原方程的严格解之间的差为有界nCourant条件（数值稳定条件）n数值色散n数值各向异性13.1时间离散间隔的稳定性要求考虑时谐场 它是下面一阶微分方程的解：离散后2稳定性对时间间隔的要求要求即或定义数值增长因子稳定性对时间间隔的限制33.2 Courant 稳定性条件齐次波动方程 平面波的解 4齐次波动方程差分近似可得5Courant条件上式成立的充分条件是 时间间隔限制6Courant稳定性条件 上式即 确定空间间隔后对时间步长的限制7Courant条件几个特殊情况 设三维 二维 一维83.3 数值色散对
2、空间离散间隔的要求考虑一维情形下波动方程 对于平面波色散关系（解析式）为9数值色散关系对空间离散间隔的限制离散后得到数值色散关系要求数值色散关系和解析式相同，必须或对离散空间间隔的限制根据三角函数，当 时，103.4 差分近似后的各向异性特性波动方程对于平面波，差分近似后 11二维情况前式变为上式表明相速与平面波传播方向有关：数值各向异性 设12传播速度空间各向异性的图示各向异性可以忽略的条件:对空间间隔的限制图3-4-1给出了以/为参变量时相速与光速之比 v/c和平面波传播方向角之间的关系，即差分离散所带来的各向异性。13n单向行波算子（Mur）吸收边界nBerenger完全匹配层（PML）
3、吸收边界n单轴各向异性介质完全匹配层（UPML）吸收边界第四章 吸收边界条件14开域问题：散射问题15开域问题吸收边界的必要性n从物理观点：只有在实验室墙壁上敷以吸波材料使波在此界面无反射，形成微波暗室。 n从计算观点：在截断边界上FDTD的E、H分量计算公式中，至少有一个环绕分量位于截断边界之外，需要特殊处理。164.1 Engquist-Majda吸收边界条件波动方程波动方程平面波的解： 其中17左行波和右行波 左行波右行波 18波动微分算子改写波动方程为定义微分算子L因式分解 19左行波和右行波算子为了使截断界面处右行波，即反射波成分等于零，在截断边界处设置条件 对于左行波和右行波有即2
4、0单向行波吸收边界条件频域到时域算子过渡：以及左侧边界右侧边界得214.2 一阶近似吸收边界条件 左行波算子利用Taylor级数展开（一阶） 过渡导到时域22二阶近似吸收边界条件 二阶近似算子二阶近似算子左侧边界左侧边界时域形式时域形式23残留的反射波与入射波之比(反射系数) 接近0度（垂直入射）时反射最小244.5 三维吸收边界条件二阶近似 离散后25二阶吸收边界条件所涉及的10个节点（三维）26一阶吸收边界条件涉及的2个节点一阶近似可以应用于三维、二维、一维问题27三维FDTD区的角顶区三维长方体区域有6个平面UPML区，12个棱边区和8个角顶区28三维截断边界上的场分量节点29三维截断边
5、界区分三种情况n6个截断边界面：面上有E切向分量和H法向分量节点；H法向分量节点不需要应用吸收边界条件n12条棱边：边上只有E的切向分量节点n8个角顶点：无电磁场分量节点30第五章 FDTD中常用激励源n几种随时间变化的源几种随时间变化的源n入射波的加入入射波的加入总场边界条件总场边界条件 315.1 几种随时间变化的源 时谐场源 或 开关函数或（升余弦函数）（升余弦函数） 考虑到建立过程，在考虑到建立过程，在 (5-1-1)式所示激励源情况下达到时谐场的稳态，通常需要式所示激励源情况下达到时谐场的稳态，通常需要35个个周期。当然，对于散射问题所需的周期数还与散射体大小及形状有关。例如，对于具
6、有周期。当然，对于散射问题所需的周期数还与散射体大小及形状有关。例如，对于具有凹腔结构物体，凹腔结构物体，Taflove等指出，达到稳定状态所需经过的周期数大约等于所模拟散射等指出，达到稳定状态所需经过的周期数大约等于所模拟散射结构的结构的Q值。为了缩短稳态建立时间，减小冲击效应，可以引入开关函数，例如采用升值。为了缩短稳态建立时间，减小冲击效应，可以引入开关函数，例如采用升余弦函数余弦函数 32脉冲源n高斯脉冲n微分高斯脉冲n调制高斯脉冲n升余弦脉冲 n截断三余弦脉冲 n截断三正弦脉冲 n双指数脉冲 33脉冲源:高斯脉冲 时域形式 频谱 其中为脉冲峰值出现时间 决定高斯脉冲的宽度 34n=1
7、024; %逆傅立叶变换采样点df=10.24/n; %频率间隔10e-11dt=1./n/df; %逆傅立叶变换的dtEit(:,2)=ifft(Ei1(:,2);35不同频率时高斯脉冲的频谱值与最大值之比 通常可取 为高斯脉冲的频宽 36高斯脉冲的时域波形(带宽为08G) 37高斯脉冲的频谱(带宽为08G)38脉冲源:微分高斯脉冲 时域形式 频谱 39微分高斯脉冲(频率上限为6G) 时域波形40微分高斯脉冲(频率上限为6G)频域波形特点：无零频直流分量41脉冲源:调制高斯脉冲 时域形式 频谱 42调制高斯脉冲（中心频率为6.5G) 时域波形43调制高斯脉冲（中心频率为6.5G)频域波形特点
8、：有中心频率和带宽445.6 入射波的加入总场边界条件 将计算区域划分为总场区和散射场区 45应用等效原理设置入射波 为了使入射波限制在总场区内的空间有限区域，根据等效原理，在区域界面A上设置等效面电磁流，并设A面外的场为零 在总场-散射场区的分界面上设置入射波电磁场的切向分量便可将入射波只引入到总场区。 零场总场区散射场区46三维情况总场-散射场边界 总场边界：6个面，12条棱边，角顶点处无节点47Maxwell旋度方程对于总场或散射场均适用电场 x 分量磁场 x 分量48Maxwell旋度方程的FDTD对于总场或散射场均适用要求：FDTD公式中涉及的所有场分量（电场、磁场）或者属于总场，或
9、者属于散射场49总场-散射场边界附近的场分量 在为总场边界上属于总场区。 距离总场边界半个网格处为总场外边界，其上磁场分量属于散射场区。 50总场边界上的E分量（属于总场）被4个H分量环绕，其中位于散射场区的分量属于散射场 51总场外边界上的H分量（属于散射场）被4个E分量环绕，其中位于总场区的分量属于总场52总场边界处FDTD公式的修改n在总场散射场边界处应用FDTD公式时，同一公式中可能既有总场节点，也有散射场节点。因此，原来FDTD公式需要修改。n认定FDTD公式中全部节点为总场，则要在散射场节点加上入射场；认定全部节点为散射场，则要在总场节点减去入射场。n修改后结果正好与等效原理一致，
10、在总场区加入了入射波。53二维TM情况总场-散射场边界 在为总场边界上属于总场区。距离总场边界半个网格处为总场外边界，其上磁场分量属于散射场区。 54总场边界附近元胞（二维TM） 下边界55总场边界附近FDTD公式需改写 入射场总场56总场边界附近FDTD公式需改写 入射场散射场57总场边界附近FDTD公式需改写 总场总场58二维TM波总场区四个角点 以左下角点为例 基本思想：认定公式全部节点属于总场（散射场），则应当在散射场（总场）节点处加上（减去）入射场值。入射场总场59二维TM波总场区四个角点 图5-6-3 二维总场-散射场边界60二维TM波入射场设置算例（幅值分布） 总场边界：80，8
11、0；80，80 61二维TM波入射场设置算例（相位分布）62一维情况总场-散射场区划分总场区和散射场区后，介质板置于总场区；反射波和透射波便于提取63一维总场-散射场边界注意：总场边界上的E节点属于总场； 总场外边界处的H节点位于散射场区，属于散射场。64一维总场边界上入射波的加入（电场公式）总场边界上的电场节点属总场，而总场外边界处磁场节点属散射场，应当加上入射场。FDTD公式修改为 通常FDTD电场公式应用于总场边界时总场 总场 散射场入射场总场65一维总场边界上入射波的加入（磁场公式）总场外边界处磁场节点属散射场，而总场边界上的电场节点属总场，应当减去入射场。FDTD公式修改为 通常FD
12、TD磁场公式应用于总外场边界时散射场 总场 散射场入射场散射场66一维总场边界入射波加入算例：400dt时的波形 FDTD区为1,1000。 吸收边界为一阶MUR。总场边界在500。在总场边界加入右行波。67一维总场边界入射波加入算例：1200dt时的波形 68通过总场边界加入入射波n确定总场边界（三维，二维，一维）；n在总场边界处，修改通常FDTD公式，引进入射波（切向分量）；n总场边界上的等效面电磁流将只在总场区内产生入射波；n检验：平面波入射（总场区内无散射体）69第六章 近远场外推电磁场的远场和近场划分电磁场的远场和近场划分(转转) 电磁辐射源产生的交变电磁场可分为性质不同的两个部分，
13、电磁辐射源产生的交变电磁场可分为性质不同的两个部分，其中一部分电磁场能量在辐射源周围空间及辐射源之间周期性地其中一部分电磁场能量在辐射源周围空间及辐射源之间周期性地来回流动，不向外发射，称为感应场；另一部分电磁场能量脱离来回流动，不向外发射，称为感应场；另一部分电磁场能量脱离辐射体，以电磁波的形式向外发射，称为辐射场。辐射体，以电磁波的形式向外发射，称为辐射场。 一般情况下，电磁辐射场根据感应场和辐射场的不同而区分一般情况下，电磁辐射场根据感应场和辐射场的不同而区分为近区场（感应场）和远区场（辐射场）。由于远场和近场的划为近区场（感应场）和远区场（辐射场）。由于远场和近场的划分相对复杂，要具体
14、根据不同的工作环境和测量目的进行划分，分相对复杂，要具体根据不同的工作环境和测量目的进行划分，一般而言，以场源为中心，在三个波长范围内的区域，通常称为一般而言，以场源为中心，在三个波长范围内的区域，通常称为近区场，也可称为感应场；在以场源为中心，半径为三个波长之近区场，也可称为感应场；在以场源为中心，半径为三个波长之外的空间范围称为远区场，也可称为辐射场。外的空间范围称为远区场，也可称为辐射场。 70第六章 近远场外推 近区场通常具有如下特点：近区场通常具有如下特点： 近区场内，电场强度与磁场强度的大小没有确定的比例关系。一般情况下，近区场内，电场强度与磁场强度的大小没有确定的比例关系。一般情
15、况下，对于电压高电流小的场源对于电压高电流小的场源(如发射天线、馈线等如发射天线、馈线等)，电场要比磁场强得多，对于，电场要比磁场强得多，对于电压低电流大的场源电压低电流大的场源(如某些感应加热设备的模具如某些感应加热设备的模具)，磁场要比电场大得多。，磁场要比电场大得多。 近区场的电磁场强度比远区场大得多。从这个角度上说，电磁防护的重点近区场的电磁场强度比远区场大得多。从这个角度上说，电磁防护的重点应该在近区场。应该在近区场。 近区场的电磁场强度随距离的变化比较快，在此空间内的不均匀度较大。近区场的电磁场强度随距离的变化比较快，在此空间内的不均匀度较大。远区场的主要特点如下：远区场的主要特点
16、如下： 在远区场中，所有的电磁能量基本上均以电磁波形式辐射传播，这种场辐在远区场中，所有的电磁能量基本上均以电磁波形式辐射传播，这种场辐射强度的衰减要比感应场慢得多。射强度的衰减要比感应场慢得多。 在远区场，电场强度与磁场强度有如下关系：在国际单位制中，在远区场，电场强度与磁场强度有如下关系：在国际单位制中，E=377H，电场与磁场的运行方向互相垂直，并都垂直于电磁波的传播方向。，电场与磁场的运行方向互相垂直，并都垂直于电磁波的传播方向。 远区场为弱场，其电磁场强度均较小远区场为弱场，其电磁场强度均较小716.1 等效原理目标E, HE, H自由空间界面A原问题：例如辐射或散射72等效原理：自
17、由空间辐射E, H零场自由空间界面A等效问题：n 区域内为零场；n 界面A上有面电流和面磁流；n 面电磁流在自由空间产生辐射场。自由空间73外推边界（输出边界）外推输出边界在散射场区内74等效面电磁流辐射的计算公式 面电磁流辐射场的势函数其中G 为Green函数（远场及近场）75由势函数到电磁场的公式其中76Visualization of plane-wave penetration and scattering of a missile radome containing a horn antenna (from Taflove, 2000)The impinging plane wave
18、 propagates from right to leftand is obliquely incident at 15 from boresight 77Visualization of the FDTD-computed specific absorption rate (SAR) distribution of a head model (from Taflove, 2000)An one-quarter wavelength whip antenna is in anear-level plane for a 1,900-MHz cellular telephone held ver
19、tically against a tilted-head model.78Surface currents on “Rund” aircraft model for vertical polarization (from Andersson 2001) Rund 是瑞典空军研究所一种飞机模型，机身长1米，翼展1米，高0.5米79Surface currents of the Saab 2000 aircraft 125 ns (1500 time steps) after a lightning stroke the nose (from Andersson 2001)Also the magnitude of magnetic field is shown in a cutting plane across the wings perpendicular to the fuselage. 80Surface currents on the interior of the Saab 2000 (from Andersson 2001)The view is from the center of aircraft towards to the cockpit. 81
