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1、第二节第二节定积分的性质定积分的性质 一、定积分的基本性质一、定积分的基本性质 交换定积分的上下限，定积分改变符号，交换定积分的上下限，定积分改变符号，即即 上下限相同的定积分等于零上下限相同的定积分等于零，即，即 定积分不依赖于积分变量的记号定积分不依赖于积分变量的记号，即，即 如果在区间如果在区间 上被积函数上被积函数 ，则，则 线性性质：线性性质： 可积函数代数和的定积分等于它们定积可积函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即分的代数和，即 被积函数的常数因子可以提到积分号外，被积函数的常数因子可以提到积分号外，即即证证 ： 定积分对于积分区间具有可加性定积分对于积分区间具有可加性，
2、即，即证明：证明： 先设先设 由于函数在由于函数在 上可积，上可积，在在 时，时，RiemannRiemann和和 的极限总的极限总是存在。是存在。 由于此极限与区间由于此极限与区间 的分割无关，的分割无关，因此可以使因此可以使 为一个分点，将原有区间分成为一个分点，将原有区间分成两个子区间：两个子区间：和和 此时区间此时区间 上的上的RiemannRiemann和就等于子区和就等于子区间间 和和 上上 RiemannRiemann和的和，即和的和，即 在在 条件下，上式两端同时取极限条件下，上式两端同时取极限即得即得再设再设 ，由由 ，得，得 证毕证毕 保号性质保号性质：如果：如果 ，则，则
3、证明：证明：由由 得得 保序性质保序性质：如果：如果 则则 证明：证明：令令 ，由，由得得 绝对值性质绝对值性质：证明：证明：由由 ，根据，根据得得 又又 故故 附：附：按绝对值不等式性质按绝对值不等式性质若若则则因此，由因此，由 定积分估值定理：定积分估值定理： 设设 和和 分别是函数分别是函数 在闭区间在闭区间 上的最小值和最大值，则上的最小值和最大值，则证明：证明： 由由 根据定积分的保序性质有根据定积分的保序性质有 故故 定积分中值定理：定积分中值定理： 如果函数如果函数 在闭区间在闭区间 上上连续连续，在，在上上至少存在一点至少存在一点 ，使得，使得证明：证明： 设设 和和 分别是函
4、数分别是函数 在闭区间在闭区间 上的最小值和最大值上的最小值和最大值 .将估值定理不等式各侧同除以将估值定理不等式各侧同除以 得到得到 由于数值由于数值 介于函数介于函数 在在闭区间闭区间 上的最小值和最大值之间上的最小值和最大值之间 因此，因此，按连续函数的介值定理按连续函数的介值定理，在，在 上上至少存在一点至少存在一点 ，使得，使得 积分中值定理的几何解释积分中值定理的几何解释 函数曲线下面积函数曲线下面积与矩形面积相等。与矩形面积相等。 定积分第一中值定理：定积分第一中值定理： 如果函数如果函数 在闭区间在闭区间 上连续，函上连续，函数数 在在 上可积且上可积且不变号不变号，则在，则在
5、 上上至少存在一点至少存在一点 ，使得，使得 证明：证明：设设 ，若，若则则根据定积分保序性质根据定积分保序性质 又由于又由于有有（保号性）（保号性）在在 上至少存在一点上至少存在一点 ，使得，使得 证毕证毕按连续函数的介值定理按连续函数的介值定理【例题例题】根据定积分的性质，比较下列函数根据定积分的性质，比较下列函数的大小。的大小。(1) (1) 与与解：解：由于在由于在 上上因此在因此在 上上故故(2) (2) 与与解：解：由于在由于在 上上因此在因此在 上上故故解：解：(3) (3) 与与由于在由于在 上比较上比较 和和 的大小。的大小。令令则则当当 时，时， ， 为单调增加为单调增加且
6、且故故即即所以所以(4) (4) 与与解：解： 由于当由于当 时时故故因此在因此在 内内【例题例题】估计下列定积分之值估计下列定积分之值 解：解：被积函数化为被积函数化为 在区间在区间 上上单调减少单调减少，故，故故故（根据估值定理）（根据估值定理）按定积分的估值定理，按定积分的估值定理， 解：解：被积函数被积函数 ，在区间，在区间 上上单调增单调增，所以，所以 故故 解：解： 被积函数被积函数在区间在区间 内内 ， 单调减单调减故故 按定积分的估值定理，按定积分的估值定理， 函数在给函数在给定区间小于零。定区间小于零。二、积分上限的函数和它的导数二、积分上限的函数和它的导数 按前述定积分的定
7、义可知，若函数按前述定积分的定义可知，若函数 在区间在区间 上连续，则函数在上连续，则函数在 上可积分，上可积分，即即其几何意义如图：其几何意义如图： 设函数设函数 ， 为区间为区间 上任一点上任一点因此函数因此函数 在部分区间在部分区间 上可积。上可积。 显然，此时在区间显然，此时在区间 上的定积分上的定积分 的积分值应为其的积分值应为其上限上限 的函数的函数。即即 在这个表达式中，在这个表达式中， 既是积分上限又是既是积分上限又是积分变量，为积分变量，为避免混淆避免混淆，把被积表达式的积，把被积表达式的积分变量改写为分变量改写为 ，因此有，因此有称为积分上限的函数称为积分上限的函数显然显然
8、积分上限函数的几何解释：积分上限函数的几何解释： 积分上积分上限函数为区限函数为区间间 内曲内曲线下的面积，线下的面积，显然，若上显然，若上限限 变化，变化，则其面积值则其面积值也随之变化。也随之变化。积分上限的函数的重要性质积分上限的函数的重要性质 ：定理：定理：如果函数如果函数 ， 为闭区间为闭区间 上上任一点，积分上限的函数任一点，积分上限的函数 在闭区间在闭区间 上可导，其上可导，其导数为导数为 证明：证明：设设 ，当积分上限，当积分上限 有一有一个增量个增量 时，将引起上限函数增量为时，将引起上限函数增量为 根据定积分的中值定理有根据定积分的中值定理有按导数定义有按导数定义有注：注：
9、由于由于 时，必有时，必有 ，且，且因此因此 积分上限函数在闭区间积分上限函数在闭区间 端点端点 处的处的右导数右导数 由于由于 时，必有时，必有 ，故故其中其中 积分上限的函数在闭区间积分上限的函数在闭区间 端点端点 处处的左导数的左导数 由于由于 时，必有时，必有 ，故故其中其中结论：结论： 连续函数连续函数 取变上限积分后的函数取变上限积分后的函数 的导数就是的导数就是 本身。本身。 即即积分上限函数的导数是被积函数本身。积分上限函数的导数是被积函数本身。定理定理（原函数存在定理）（原函数存在定理）即连续函数的原函数一定存在。即连续函数的原函数一定存在。上述定理也可以表述如下：上述定理也
10、可以表述如下：【例题例题】 设变上限积分的函数为设变上限积分的函数为 ，则，则由自变量增量由自变量增量 引起的函数增量引起的函数增量 设设 ，则，则【例题例题】求下列变限积分所确定函数的导数求下列变限积分所确定函数的导数 解：解： 解：解： 解：解： ，式中式中 为可导函数。为可导函数。解：解：解：解：令令 复合函数的导数复合函数的导数解：解：解：解：函数乘积的导数函数乘积的导数解：解：解：解：方程两侧同时对方程两侧同时对 求导：求导：得得故故 解：解：参数方程的导数参数方程的导数【例题例题】 求极限求极限 解：解： 此极限为此极限为“ ”未定型，可以应用未定型，可以应用LHospitalLH
11、ospital法则求解法则求解 【例题例题】求下列函数的极限求下列函数的极限型型解：解：型型解：解：型型解：解：三、三、 Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式公式 此外，还有此外，还有 按原函数和积分上限函数的概念，按原函数和积分上限函数的概念， 是被积函数是被积函数 在闭区间在闭区间 上的一个原函数。上的一个原函数。 定理：定理：如果函数如果函数 是连续函数是连续函数 在区间在区间 上上的任意一个原函数，那么的任意一个原函数，那么-Newton-Leibniz-Newton-Leibniz公式公式 证明：证明：由于由于且且 即即 和和 都是连续函数都是连续函数 在区间
12、在区间 上的原函数上的原函数. 二者相差一个常数二者相差一个常数 若令若令 ，则，则若令若令 ，则，则两式相减得两式相减得Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式公式讨论：讨论： Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式的公式的意义意义：连续函数在：连续函数在区间上的定积分是此函数区间上的定积分是此函数任意一个任意一个原函数在该原函数在该区间上的增量。区间上的增量。 -反映了定积分与微分的关系。反映了定积分与微分的关系。积分是微分的逆运算。积分是微分的逆运算。 由定积分的中值定理由定积分的中值定理 表明表明定积分的定积分的中值定理中值定理和微分的中值定和
13、微分的中值定理在理在Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式中实现了圆满的统公式中实现了圆满的统一。一。注：注：这里所有的这里所有的 是一一对应的是一一对应的 。由微分中值定理由微分中值定理按定积分中值定理：按定积分中值定理： 若若 在在 上连续，则在上连续，则在 内至少存内至少存在一点在一点 ，使，使成立。成立。按微分中值定理：按微分中值定理： 若若 在在 上连续，在上连续，在 内可导，则内可导，则在在 至少存在一点至少存在一点 ，使，使成立。成立。按按Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式公式 所以所以 表明：表明：积分中值定理和微分中值定理在积分
14、中值定理和微分中值定理在Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式公式 中得到中得到统一统一，且，且 ， 是一致的。是一致的。【例题例题】用用Newton-Leibniz公式公式计算定积分计算定积分 解：解：由于由于， 是是 的一个原函数的一个原函数因此因此被积函数是被积函数是 解：解：由于由于即即 是是 的一个的一个原函数。原函数。 因此因此被积函数是被积函数是解：解：被积函数是被积函数是由于由于因此因此【例题例题】计算正弦曲线计算正弦曲线 在在 上与上与 轴轴所围成的平面图形的面积。所围成的平面图形的面积。解：解：按定积分概念，所按定积分概念，所求图形面积为求图形面积为由于由于 是是 的一个原函数，所以的一个原函数，所以
