初中数学竞贤老师专属讲义学无止境最全文档整理线段的垂直平分线与角平分线【知识框架】1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，∵ CD⊥AB ，且 AD ＝BD ∴ AC＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC＝BC ∴ 点 C段 AB的垂直平分线 m上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等. 性质的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，∵ OE是∠AOB 的平分线， F是 OE上一点，且 CF ⊥OA于点 C，DF⊥OB 于点 D，∴ CF＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. m图1DABCm图2DABCjik图3OBCA图 4CDOABFE 初中数学竞贤老师专属讲义学无止境最全文档整理定理的数学表示：如图5，∵点 P在∠AOB的内部，且 PC ⊥OA于 C， PD ⊥OB于 D， 且 PC ＝PD ，∴点 P在∠AOB的平分线上 . 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系. 6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果 AP 、BQ 、CR分别是△ ABC的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：① AP、BQ 、CR相交于一点 I ；② 若 ID、IE、IF 分别垂直于 BC 、CA 、AB于点 D、E、F，则 DI＝EI＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）. 7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 图 5CDOABP图 6EFDIPRQBCA 初中数学竞贤老师专属讲义学无止境最全文档整理【典型例题】例 1、如图 1，在△ ABC中，BC ＝8cm ，AB的垂直平分线交AB于点 D，交边 AC于点 E，△BCE的周长等于 18cm ，则 AC的长等于（）A．6cm B．8cm C ．10cm D ．12cm 【跟踪练习】（1）如图， AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB于点 D ，交 AC于点 E，如果△ EBC的周长是 24cm ，那么 BC=_________; （2）如图， AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB于点 D ，交 AC于点 E，如果 BC=8cm ，那么△ EBC的周长是 ______; （3）如图， AB=AC,AB 的垂直平分线交AB于点 D，交 AC于点 E，如果∠ A=28度，那么∠ EBC=___. 例 2、已知： AB=AC ，DB=DC ，E是 AD上一点，求证： BE=CE. 【跟踪练习】已知：在△ ABC 中，ON是 AB的垂直平分线 ,OA=OC. 求证：点 O在 BC的垂直平分线 . C 初中数学竞贤老师专属讲义学无止境最全文档整理图8BCDAAPBFEC例 3、在△ABC 中，AB=AC ，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为 _______________ 。
跟踪练习】在△ABC中，AB=AC ，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角 B 的大小为________________ 例 4、如图 8，已知 AD是△ABC 的 BC边上的高，且∠ C＝2∠B，求证： BD ＝AC ＋CD. 例 5、已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC ，P为∠A 内一点， PB=PC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是 E、F求证： PE=PF 【跟踪练习】已知： PA、PC分别是△ ABC外角∠ MAC 和∠NCA 平分线，它们交于P，PD ⊥BM于 D ，PF⊥BN于 F，求证：BP为∠MBN 的平分线 初中数学竞贤老师专属讲义学无止境最全文档整理例 6、如图 10，已知在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，E为 BC中点，连接 AE 、DE ，DE平分∠ADC ，求证： AE平分∠ BAD. 【跟踪练习】如图所示， AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB于 E，DF ⊥AC于 F，求证： DE=DF 例 7、如图 11，已知在四边形 ABCD 中，对角线 BD平分∠ ABC ，且∠ BAD 与∠BCD 互补，求证： AD ＝CD. 初中数学竞贤老师专属讲义学无止境最全文档整理图 7EDACB【课堂练习】1. 如图， AC=AD ，BC=BD ，则（）A. CD 垂直平分 AD B. AB垂直平分 CD C. CD 平分∠ ACB D. 以上结论均不对2. 如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形3. △ABC 中，AB的垂直平分线交 AC于 D，如果 AC=5 cm ，BC=4cm ，那么△ DBC 的周长是（）A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 4. 如图所示， AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点， OE ⊥AC于 E，且 OE=2 ，则 AB与 CD之间的距离等于 ______________ 。
5. 已知，如图，在△ ABC 中，AB =AC ，O是△ABC 内一点，且 OB =OC ，求证： AO ⊥BC. 6. 如图 7，在△ ABC中，AC ＝23，AB的垂直平分线交 AB于点 D，交 BC于点 E，△ACE的周长为 50，求 BC边的长 . 初中数学竞贤老师专属讲义学无止境最全文档整理7. 已知：如图所示，∠ ACB ，∠ADB 都是直角，且 AC=AD ，P是 AB上任意一点，求证： CP=DP. 8. 如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E是 DC上一点， AE平分∠ DAB ． (1)如果 BE平分∠ ABC ， 求证：点 E是 DC的中点； (2)如果 E是 DC的中点，求证：BE平分∠ ABC ．9. 如图，在△ ABC 中，AB=BC=AC，AD ⊥BC于 D，E、F 分别为 AB 、AC中点．求证： DA平分∠ EDF ．10. 如图，在直线 MN上找一点 P，使点 P到直线 AB和射线 OC 的距离相等．C A B D P 初中数学竞贤老师专属讲义学无止境最全文档整理【课后作业】1. 下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点 P段 AB外且 PA=PB ，过 P作直线 MN ，则 MN是线段 AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2. △ABC 中， AB=AC ， AC的中垂线交 AB于 E， △EBC 的周长为 20cm ， AB=2BC ， 则腰长为 ________________ 。
3. 如图所示，直线 lll123， ， 表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（） A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处4. 如图，在△ABC 中，AB =AC ， ∠A=120°， AB的垂直平分线 MN分别交 BC 、 AB于点 M 、 N. 求证：CM =2BM . 5. 如右图，已知 BE ⊥AC于 E，CF ⊥AB于 F，BE 、CF相交于点 D，若 BD =CD . 求证： AD平分∠ BAC . 6. 如图，△ ABC 中，∠ ABC=1000，∠ACB的平分线交 AB于 E，在 AC上取一点 D ，使∠ CBD=200，连结DE ．求∠ CED 的度数． 初中数学竞贤老师专属讲义学无止境最全文档整理 。