力矩转动定律【重要知识】

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1、第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量问：问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚体问点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力的作用点的位置对题中，我们是否也可以如此处理？力的作用点的位置对物体的运动有影响吗？物体的运动有影响吗？圆盘静止不动圆盘静止不动圆盘绕圆心转动圆盘绕圆心转动力矩力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.1第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2

2、4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量P*O 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 且且 一一 力矩力矩 在转动平面内在转动平面内, 为由点为由点O 到力的作用点到力的作用点 P 的径矢的径矢 . 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 d : 力臂力臂矢量式矢量式2第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量O讨论讨论 1）若力）若力 不在转动平面内，可把力分解为不在转动平面内，可把力分解为平行于和垂直于转轴方向的两个分量平行于和垂直于转轴方向的两个分量 或或 其中其中 对转轴的力矩为对转轴的力

3、矩为零，故零，故力对转轴的力矩力对转轴的力矩一一 力矩力矩 2）合力矩等于各分力矩的矢量和）合力矩等于各分力矩的矢量和3第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消O结论：结论：刚体内各质点间的作用刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为零力对转轴的合内力矩为零.4第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量Ozmi 刚刚体体可可看看成成由由 n 个个质质点点组组成成，刚刚体体绕绕固固定定轴轴Oz转转动动，刚刚体体上上每每一一

4、质质点点都都绕绕Oz轴轴作作圆周运动。圆周运动。讨论外力矩和角加速度之间的关系：讨论外力矩和角加速度之间的关系： 在在刚刚体体上上取取某某一一质质点点i，其其质质量量为为mi，绕绕Oz轴轴作作半半径为径为ri 的圆周运动。的圆周运动。质点质点i 受力情况如何？受力情况如何？ 质质点点i 受受两两种种力力作作用用，一一种种是是外外力力Fi（合合外外力力），另一种是刚体中其它质点作用的内力另一种是刚体中其它质点作用的内力 fi（合内力）。（合内力）。设：外力设：外力Fi 和内力和内力 fi 均在与均在与Oz轴垂直的同一平面内。轴垂直的同一平面内。二二 转动定律转动定律5第四章第四章 刚体转动刚体转

5、动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 由牛顿第二定律，质点由牛顿第二定律，质点 i 的动力学方程为：的动力学方程为：以以 Fit 和和 fit 分分别别表表示示外外力力和和合合内内力力在在质质点点轨轨道道切切向向的的分分力力，那那么么质质点点i 的的沿沿切切向向的的动动力学方程为：力学方程为：两边同乘以两边同乘以 ri ，得：，得：Ozmi6第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量式中：式中：Fit ri 是合外力是合外力Fi 的对的对Oz轴的力矩；轴的力矩；对于刚体上所有的质点，可得：对于刚体上所有的质点，可得：fi

6、t ri是内力是内力 fi 对对Oz轴的力矩。轴的力矩。故上式左边为作用在质点故上式左边为作用在质点i 上上的外力矩与内力矩之和。的外力矩与内力矩之和。Ozmi7第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量由于刚体内各质点间的内力对转轴的合力矩为零，即由于刚体内各质点间的内力对转轴的合力矩为零，即 有：有： 转动定律转动定律为刚体内所有质点所受的外力为刚体内所有质点所受的外力对转轴的力矩的代数和，即合对转轴的力矩的代数和，即合力矩。力矩。8第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量得：得：对于绕定轴转

7、动的刚体，对于绕定轴转动的刚体，J 为一恒量。为一恒量。式中式中转动定律转动定律是只与刚体的形状、质量以及转轴的位置有关，而与是只与刚体的形状、质量以及转轴的位置有关，而与运动无关的因子，定义为刚体对轴的运动无关的因子，定义为刚体对轴的转动惯量转动惯量9第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量牛顿第二定律是解决质点牛顿第二定律是解决质点运动问题的基本定律。运动问题的基本定律。转动定律与牛顿第二定律的比较：转动定律与牛顿第二定律的比较：转动定律转动定律牛顿第二定律牛顿第二定律转动定律是解决刚体绕定转动定律是解决刚体绕定轴转动问题的基本方程。轴转动

8、问题的基本方程。它它们们的的形形式式很很相相似似：外外力力矩矩M和和外外力力F相相对对应应，角角加加速速度度与加速度与加速度a相对应，转动惯量相对应，转动惯量J 与质量与质量 m 相对应。相对应。刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律：刚体定轴转动的刚体定轴转动的角加速度角加速度与它所受与它所受的的合外力矩合外力矩成正比成正比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比 .10第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 转动惯量物理意义：转动惯量物理意义：转动惯性的量度转动惯性的量度. 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量dm

9、质量元质量元注意：注意：转动惯量的大小与刚体的密度、几何形状及转轴转动惯量的大小与刚体的密度、几何形状及转轴的位置有关，一般都要通过实验确定，只有质量分布均的位置有关，一般都要通过实验确定，只有质量分布均匀，形状典型的刚体的转动惯量才可以通过计算求得匀，形状典型的刚体的转动惯量才可以通过计算求得.三三 转动惯量转动惯量国际单位：国际单位：kgm2对质量离散分布刚体的转动惯量对质量离散分布刚体的转动惯量11第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量平行轴定理平行轴定理P96 表表4-1列出了一些均匀刚体的转动惯量列出了一些均匀刚体的转动惯量 . 质

10、量为质量为m的刚体，如果对的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为其质心轴的转动惯量为 Jc，则则对任一与该轴平行，相距为对任一与该轴平行，相距为d 的转轴的转动惯量的转轴的转动惯量CO例：圆盘对例：圆盘对P 轴的转动惯量轴的转动惯量O（证明略）（证明略）P12第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量哪种握法转动惯量大？哪种握法转动惯量大？13第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量竿竿子子长长些些还还是是短短些些较较安安全全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？14

11、第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量P96例例1 一个半径为一个半径为 R、质量为、质量为m的定滑轮（当作均匀的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有轻而细绳索，绳的一端固定在滑轮边上，圆盘）上面绕有轻而细绳索，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为另一端挂一质量为m 的物体。忽略轴处摩擦，求物体的物体。忽略轴处摩擦，求物体 m下落时的加速度、绳中的张力和滑轮的角加速度。下落时的加速度、绳中的张力和滑轮的角加速度。mym解：解：受力分析受力分析运动分析运动分析建立坐标系建立坐标系注：转动（顺时针）和注：转动（顺时针）和平动的坐标取向要一致平动的坐

12、标取向要一致.列方程列方程对物体对物体m，列牛顿方程，列牛顿方程对滑轮对滑轮m，根据转动定律，有，根据转动定律，有15第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量mym解得解得另有另有16第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量P97例例2 有一半径为有一半径为R质量为质量为 m 匀质圆盘匀质圆盘, 以角速度以角速度0 0绕绕通过圆心垂直圆盘平面的轴转动通过圆心垂直圆盘平面的轴转动. .若有一个与圆盘大小相若有一个与圆盘大小相同的粗糙平面同的粗糙平面( (俗称刹车片俗称刹车片) )挤压此转动圆盘挤压

13、此转动圆盘, ,故而有正压故而有正压力力N N 均匀地作用在盘面上均匀地作用在盘面上, , 从而使其转速逐渐变慢从而使其转速逐渐变慢. .设正设正压力压力N N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出均已被实验测出. .试问经过多长时间圆盘才停止转动试问经过多长时间圆盘才停止转动? ? 在圆盘上取面积微元在圆盘上取面积微元, 面积面积元所受对转轴的摩擦力矩大小元所受对转轴的摩擦力矩大小r刹车片刹车片解：解：17第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量面积微元所受摩擦力矩面积微元所受摩擦力矩圆盘所受摩擦力矩圆盘所受摩擦

14、力矩以顺时针方向为正以顺时针方向为正,由转动定律可由转动定律可得圆盘角加速度得圆盘角加速度停止转动需时停止转动需时r刹车片刹车片18第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量mlo P98例例3 一长为一长为 l 质量为质量为 m的匀质细杆竖直放置，其下的匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动. 由于此竖直放由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动转动

15、.试计算细试计算细杆转动到与竖直线成杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度角时的角加速度和角速度.解：解：和铰链对细杆的约束力和铰链对细杆的约束力受力：细杆受重力受力：细杆受重力由转动定律得由转动定律得式中式中19第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量得得mlo得得20第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量本节小结：本节小结：刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律：刚体定刚体定轴转动的轴转动的角加速度角加速度与它所受与它所受的的合外力矩合外力矩成正比成正比 ，与刚体，与刚体的的转动惯量转动惯量

16、成反比成反比 .刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量本节本节结束结束一、力矩一、力矩二、转动定律二、转动定律OPd三、转动惯量三、转动惯量四、平行轴定理四、平行轴定理JJCmd221第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量Cxy* *P98例例4 如图一斜面长如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角与水平面的夹角= 5o. 有两个物体分别静止地位于斜面的顶端有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿然后由顶端沿斜面向下滚动斜面向下滚动, 一个物体是质量一个物体是质量 m1 = 0.65kg、半径为、半径为R1 的实心圆柱体的实心

17、圆柱体, 另一物体是质量为另一物体是质量为 m2 = 0.13 kg 、半径、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜它们分别由斜面顶端滚到斜面底部各经历多长时间面底部各经历多长时间?物体由斜面顶端滚下物体由斜面顶端滚下, 可视为质心的平动和可视为质心的平动和相对质心的滚动两种相对质心的滚动两种运动合成运动合成.解：解：22第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量质心运动方程质心运动方程转动定律转动定律角量、线量关系角量、线量关系Cxy圆柱圆柱薄壁圆柱筒薄壁圆柱筒23第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2

18、 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量Cxy圆柱圆柱薄圆柱筒薄圆柱筒由匀变速直线运动公式，可得由匀变速直线运动公式，可得圆柱圆柱薄圆柱筒薄圆柱筒圆柱比圆筒先到达底部圆柱比圆筒先到达底部.24第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量补充例题补充例题 一个飞轮的质量一个飞轮的质量 m60kg，半径为，半径为R0.25m，正在以正在以01000r/min的转速转动，现在要制动飞轮，要的转速转动，现在要制动飞轮，要求在求在 t 5.0s内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力子的压力N为多大？假使闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数为多大？假使闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数为为k0.8，而飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的，而飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的外周上，转动惯量为外周上，转动惯量为JmR2。解：解：飞轮制动时受力如图，飞轮制动时受力如图，（接头处受力不考虑）（接头处受力不考虑）以以0为正方向为正方向,飞轮的角加飞轮的角加速度为速度为负值表示负值表示与与0的方向相反。的方向相反。25第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量由刚体转动定律由刚体转动定律其中其中得得26