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1、大连理工大学工程机械研究所机械结构有限元分析机械结构有限元分析Email:Email:Call:7 Call:7 MPMP： 2009.07.11 2009.07.111大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所空间问题空间问题三维实体单元三维实体单元2大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所空间问题空间问题三维实体单元三维实体单元弹性力学基本方程弹性力学基本方程3大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所三维实体单元三维实体单元简单四面体单元简单四面体单元4大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所三维实体单元三维实体单元简单四面体单元简单四面体单元
2、节点位移节点位移假设的位移函数假设的位移函数5大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所三维实体单元三维实体单元简单四面体单元简单四面体单元应变矩阵应变矩阵反映出四面体单元为反映出四面体单元为常应变单元常应变单元6大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所参数单元参数单元n从前可知，矩形单元比三角形有更高的精度，而三角从前可知，矩形单元比三角形有更高的精度，而三角形有较矩形单元更好的边界适应性。实际工程中，往形有较矩形单元更好的边界适应性。实际工程中，往往更希望有单元精度高、边界适应性好的单元。下面往更希望有单元精度高、边界适应性好的单元。下面介绍的等参单元具有此特点。所谓
3、等参单元：即以规介绍的等参单元具有此特点。所谓等参单元：即以规则形状单元（如正四边形、正六面体单元等）的位移则形状单元（如正四边形、正六面体单元等）的位移函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，进行函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，进行坐标变换所获得的单元。由于单元几何边界的变换式坐标变换所获得的单元。由于单元几何边界的变换式与规则单元的位移函数有相同的节点参数，故称由此与规则单元的位移函数有相同的节点参数，故称由此获得的单元为等参单元。借助于等参单元可以对一般获得的单元为等参单元。借助于等参单元可以对一般任意形状的求解域方便地进行有限元离散。任意形状的求解域方便地进行有限元离散。7
4、大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所参数单元参数单元任意四边形任意四边形任意六面体任意六面体8大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所等参数单元等参数单元n由于工程实际中问题的边界通常很复杂，由于工程实际中问题的边界通常很复杂，使用前述的规则单元使用前述的规则单元( (如矩形或正六面如矩形或正六面体等体等) )难于逼近几何形状不规则的原始难于逼近几何形状不规则的原始边界边界( (如曲边等如曲边等) )，而只能采用不规则的，而只能采用不规则的单元单元( (如任意直四边形、任意直六面体、如任意直四边形、任意直六面体、或曲四边形、曲六面体或曲四边形、曲六面体) )。但是如
5、果直。但是如果直接研究这些不规则单元的有限元计算格接研究这些不规则单元的有限元计算格式式( (如单刚阵如单刚阵) )，则非常困难。，则非常困难。9大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所等参数单元等参数单元n问题：能否利用规则单元的结果来研究这些不规则问题：能否利用规则单元的结果来研究这些不规则单元的计算格式？单元的计算格式？n思路：任意直四边形可看成是正四边形思路：任意直四边形可看成是正四边形( (常称为母常称为母元元) )的变形，由于正四边形（母元）的位移函数、的变形，由于正四边形（母元）的位移函数、单刚矩阵均已得到，则可利用正四边形单元的结果单刚矩阵均已得到，则可利用正四边形
6、单元的结果研究任意四边形。研究任意四边形。n重点：重点：n1 1）构造任意四边形与母元间的坐标（形状）变换）构造任意四边形与母元间的坐标（形状）变换关系关系n2 2）利用坐标变换关系和母元的计算公式，推导任）利用坐标变换关系和母元的计算公式，推导任意四边形的单刚矩阵（主要涉及母元位移函数、应意四边形的单刚矩阵（主要涉及母元位移函数、应变矩阵、刚度矩阵转换过程中的导数、积分计算）变矩阵、刚度矩阵转换过程中的导数、积分计算）10大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所等参数单元等参数单元变换实例变换实例11大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所等参数单元等参数单元几点说明
7、几点说明n等参单元的几点说明：等参单元的几点说明：n1）等参单元为协调元，满足有限元解收）等参单元为协调元，满足有限元解收敛的充要条件。敛的充要条件。n2）等参单元存在的充要条件是：）等参单元存在的充要条件是：n为了保证能进行等参变换为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局即总体坐标与局部坐标一一对应部坐标一一对应)，通常要求总体坐标系下，通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有内角大于或等于或接的单元为凸，即不能有内角大于或等于或接近近180度情况。度情况。12大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所等参数单元等参数单元几点说明几点说明n3）等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲
8、线时，）等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容易用很少的单元去逼近曲线边界。容易用很少的单元去逼近曲线边界。n4）上述等参单元的理论公式可适应三次以上的曲线型）上述等参单元的理论公式可适应三次以上的曲线型等参元，只是阶次提高，单元自由度相应增加，计算等参元，只是阶次提高，单元自由度相应增加，计算更复杂，积分更困难，实际中，很少超过更复杂，积分更困难，实际中，很少超过3次曲线型。次曲线型。n5）上述推导要求：保持坐标变换中几何模式阶次与描）上述推导要求：保持坐标变换中几何模式阶次与描述单元位移函数中形函数的阶次相同。如取坐标变换述单元位移函数中形函数的阶次相同。如取坐标变换的几何模式阶
9、次较单元的位移函数的阶次高，则称此的几何模式阶次较单元的位移函数的阶次高，则称此单元为超单元，反之，为亚单元。这两类单元的收敛单元为超单元，反之，为亚单元。这两类单元的收敛性也可得到满足。性也可得到满足。n6）当然，也可取描述单元几何形状的几何模式不是形）当然，也可取描述单元几何形状的几何模式不是形函数的，如函数的，如p-element13大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所薄板弯曲问题薄板弯曲问题n力学概念定义的板是指厚度尺寸相对长力学概念定义的板是指厚度尺寸相对长宽尺寸小很多的平板，且能承受横向或宽尺寸小很多的平板，且能承受横向或垂直于板面的载荷。如板不是平板而为垂直于板面
10、的载荷。如板不是平板而为曲的曲的(指一个单元指一个单元)，则称为壳问题。如，则称为壳问题。如作用于板上的载荷仅为平行于板面的纵作用于板上的载荷仅为平行于板面的纵向载荷，则称为平面应力问题；如作用向载荷，则称为平面应力问题；如作用于板上的载荷为垂直于板面的横向载荷，于板上的载荷为垂直于板面的横向载荷，则称为板的弯扭问题，常简称板的弯曲则称为板的弯扭问题，常简称板的弯曲问题。问题。14大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所薄板弯曲问题薄板弯曲问题结构力学中对板的分类结构力学中对板的分类15大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所薄板弯曲问题薄板弯曲问题n1、基本假设（克希
11、霍夫假设）、基本假设（克希霍夫假设）n1）直线假设：即变形前垂直于板中面的）直线假设：即变形前垂直于板中面的直线，在弯曲变形后仍为直线，且垂直直线，在弯曲变形后仍为直线，且垂直于弯曲后的中面。说明在平行于中面的于弯曲后的中面。说明在平行于中面的面上没有剪应变；面上没有剪应变；16大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所薄板弯曲问题薄板弯曲问题n2）厚度不变假设：即忽略板厚变化。即。）厚度不变假设：即忽略板厚变化。即。由于板内各点的扰度与由于板内各点的扰度与z坐标无关，只是坐标无关，只是x，y的函数；的函数；n3）中面上正应力远小于其它应力分量假）中面上正应力远小于其它应力分量假设：
12、平行于中面的各层相互不挤压，不设：平行于中面的各层相互不挤压，不拉伸，沿拉伸，沿z向的正应力可忽略；向的正应力可忽略；n4）中面无伸缩假设：弯曲过程中，中面）中面无伸缩假设：弯曲过程中，中面无伸缩。无伸缩。17大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所薄板弯曲问题薄板弯曲问题矩形单元矩形单元18大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所薄壳问题薄壳问题矩形单元矩形单元n线弹性范围内线弹性范围内n是平面单元与薄板单元的叠加是平面单元与薄板单元的叠加n每个节点实际上是每个节点实际上是5个自由度，为了坐标个自由度，为了坐标变换的需要，每个节点是变换的需要，每个节点是6个自由度；个
13、自由度；n为了解决刚体位移，限制为了解决刚体位移，限制Z轴的转动，或轴的转动，或给一个极小的位移。给一个极小的位移。19大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所有限元分析（有限元分析（FEAFEA）一般方法）一般方法20大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所有限元分析（有限元分析（FEAFEA）一般方法）一般方法n1）建立实际工程问题的计算模型建立实际工程问题的计算模型利用几何、利用几何、载荷的对称性简化模型建立等效模型载荷的对称性简化模型建立等效模型n2）选择适当的分析工具侧重考虑以下几个方）选择适当的分析工具侧重考虑以下几个方面：物理场耦合问题大变形网格重划分面：
14、物理场耦合问题大变形网格重划分n3）前处理前处理(Preprocessing)-有限元建模有限元建模(Finite Element Modeling)建立几何模型建立几何模型(Geometric Modeling，自下而上，或基本单，自下而上，或基本单元组合元组合)有限单元划分有限单元划分(Meshing)与网格控制给与网格控制给定约束定约束(Constraint)和载荷和载荷(Load)21大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所有限元分析（有限元分析（FEAFEA）一般方法）一般方法n4）求解求解(Solution)求解方法选择计算参求解方法选择计算参数设定计算控制信息设定数设
15、定计算控制信息设定n5）后处理后处理(Postprocessing)后处理的目后处理的目的在于分析计算模型是否合理，提出结的在于分析计算模型是否合理，提出结论。用可视化方法（等值线、等值面、论。用可视化方法（等值线、等值面、色块图）分析计算结果，包括位移、应色块图）分析计算结果，包括位移、应力、应变、温度等；最大最小值分析；力、应变、温度等；最大最小值分析；特殊部位分析。特殊部位分析。22大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所FEAFEA建模的基本内容建模的基本内容n有限元建模在一定程度上是一种艺术，是一种有限元建模在一定程度上是一种艺术，是一种物体发生的物理相互作用的直观艺术。
16、一般而物体发生的物理相互作用的直观艺术。一般而言，只有具有丰富经验的人，才能构造出优良言，只有具有丰富经验的人，才能构造出优良的模型。建模时，使用者碰到的主要困难是：的模型。建模时，使用者碰到的主要困难是：要理解分析对象发生的物理行为；要理解各种要理解分析对象发生的物理行为；要理解各种可利用单元的物理特性；选择适当类型的单元可利用单元的物理特性；选择适当类型的单元使其与问题的物理行为最接近；理解问题的边使其与问题的物理行为最接近；理解问题的边界条件、所受载荷类型、数值和位置的处理有界条件、所受载荷类型、数值和位置的处理有时也是困难的。时也是困难的。23大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程
17、机械研究所FEAFEA建模的基本内容建模的基本内容n建模的基本内容：建模的基本内容：n力学问题的分析（平面问题、板壳、杆梁、实体、线力学问题的分析（平面问题、板壳、杆梁、实体、线性与非线性、流体、流固耦合性与非线性、流体、流固耦合.）-取决于工程取决于工程专业知识和力学素养。专业知识和力学素养。n单元类型的选择（高阶元单元类型的选择（高阶元/低阶元？杆低阶元？杆/梁元？平面梁元？平面/板板壳？壳？. ）-取决于对问题和单元特性的理解及取决于对问题和单元特性的理解及计算经验计算经验n模型简化（对称性模型简化（对称性/反对称性简化、小特征简化、抽象反对称性简化、小特征简化、抽象提取、支坐等简化）提
18、取、支坐等简化）n网格划分（手工、半自动、自动，单元的形状因子？）网格划分（手工、半自动、自动，单元的形状因子？）n载荷、约束条件的引入（载荷等效、边界处理）载荷、约束条件的引入（载荷等效、边界处理）n求解控制信息的引入求解控制信息的引入24大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所有限元建模的基本原则有限元建模的基本原则n1、保证计算结果的精度原则、保证计算结果的精度原则n有限元分析的目的是要利用分析结果验证、修有限元分析的目的是要利用分析结果验证、修改或优化设计方案，如果结果误差太大，有限改或优化设计方案，如果结果误差太大，有限元分析也就失去了实用价值，甚至会起到负作元分析也就失
19、去了实用价值，甚至会起到负作用，所以保证精度是建模时首要考虑的问题。用，所以保证精度是建模时首要考虑的问题。当然，不同分析问题对精度的要求不一样，关当然，不同分析问题对精度的要求不一样，关键结构的精度要求可能高一些，非关键结构的键结构的精度要求可能高一些，非关键结构的精度要求则要低一些。精度要求则要低一些。25大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所有限元建模的基本原则有限元建模的基本原则误差分析误差分析26大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所有限元建模的基本原则有限元建模的基本原则n提高精度措施提高精度措施nA、提高单元阶次用于场函数和形状复杂的情况、提高单元阶次
20、用于场函数和形状复杂的情况nB、增加单元数量一般增加数量可提高精度，但应注意、增加单元数量一般增加数量可提高精度，但应注意精度随数量增加是有限的。精度随数量增加是有限的。nC、划分形状规则的单元单元质量是影响局部精度的主、划分形状规则的单元单元质量是影响局部精度的主要因素，如质量差的单元多，则会影响整体精度。要因素，如质量差的单元多，则会影响整体精度。nD、建立与实际相符的边界条件如边界条件不能正确模、建立与实际相符的边界条件如边界条件不能正确模拟实际情况则产生大的误差，甚至超过有限元本身带拟实际情况则产生大的误差，甚至超过有限元本身带来的原理性误差。来的原理性误差。nE、减小模型规模计算误差
21、与运算次数有关，利用降维、减小模型规模计算误差与运算次数有关，利用降维和对称性等可减少规模。和对称性等可减少规模。nF、避免出现、避免出现“病态病态”方程组当总刚矩阵元素中各行或方程组当总刚矩阵元素中各行或各列的值相差较大时，则总刚近似奇异。此时必须对各列的值相差较大时，则总刚近似奇异。此时必须对模型进行必要处理，以改变方程组的状态模型进行必要处理，以改变方程组的状态27大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所有限元建模的基本原则有限元建模的基本原则n2 2、适当控制模型规模原则、适当控制模型规模原则n1）规模对计算过程的影响）规模对计算过程的影响nA、计算时间统计表明：求、计算时
22、间统计表明：求N个线性方程组的运算次数正比于个线性方程组的运算次数正比于N的的三次幂，而半带宽三次幂，而半带宽B存储时，正比于存储时，正比于N*B的平方。的平方。nB、存储容量、存储容量nC、计算精度、计算精度nD、其他网格划分、多工况计算、其他网格划分、多工况计算n2）降低模型规模的措施）降低模型规模的措施nA、几何模型的简化、几何模型的简化nB、子结构、子结构nC、分步计算即先粗后精，先整体后局部、分步计算即先粗后精，先整体后局部nD、带宽优化和波前处理使带宽和波前最小、带宽优化和波前处理使带宽和波前最小nE、主从自由度在模型上选择部分典型自由度为主自由度，其余、主从自由度在模型上选择部分典型自由度为主自由度，其余为从自由度，然后将方程缩减到主自由度上，使方程降阶。为从自由度，然后将方程缩减到主自由度上，使方程降阶。28大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所模型简化模型简化n对称原理对称原理n局部作用原理局部作用原理n叠加原理叠加原理n局部小特征忽略局部小特征忽略n适当抽象，合理建模适当抽象，合理建模29大连理工大学工程机械研究所大连理工大学工程机械研究所谢谢！30
