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1、w1人工智能ARTIFICIAL INTELLIGENCE主讲：鲍军鹏博士西安交通大学电信学院计算机系电子邮箱：版本：2.02010年1月w14.5 模糊推理4.5.1 模糊理论确定性概念可用普通集合表示。设A是论域U上的一个集合，对于任意uU，令则称CA(u)为集合A的特征函数。特征函数CA(u)在u=u0处的取值CA(u0)称为u0对A的隶属度。集合A与其特征函数可以认为是等价的。A=u|CA(u)=1w2模糊集用模糊集表示模糊性概念。模糊集的思路：把特征函数的取值范围从0,1推广到0,1上。定义4.4设U是论域，A是把任意uU映射为0,1上某个值的函数，即A:U0,1或者uA(u)则称A
2、为定义在U上的一个隶属函数，由A(u)(uU)所构成的集合A称为U上的一个模糊集，A(u)称为对A的隶属度。w3模糊集的例子例.论域U=1,2,3,4,5，用模糊集表示“大”和“小”。设A、B分别表示“大”与“小”的模糊集，A，B分别为相应的隶属函数。A=0,0,0.1,0.6,1B=1,0.5,0.01,0,0其中：A(1)=0,A(2)=0,A(3)=0.1,A(4)=0.6,A(5)=1B(1)=1,B(2)=0.5,B(3)=0.01,B(4)=0,B(5)=0w4模糊集的表示方法（1）若论域离散且有限，则模糊集A可表示为：A=A(u1),A(u2),A(un)也可写为：A=A(u1)
3、/u1+A(u2)/u2+A(un)/un或者：A=A(u1)/u1,A(u2)/u2,A(un)/unA=(A(u1),u1),(A(u2),u2),(A(un),un)隶属度为0的元素可以不写。例如：A=1/u1+0.7/u2+0/u3+0.4/u4 =1/u1+0.7/u2+0.4/u4w5模糊集的表示方法（2）若论域是连续的，则模糊集可用实函数表示。例如：以年龄为论域U=0,100， “年轻”和“年老”这两个概念可表示为：w6模糊集的表示方法（3）无论论域U有限还是无限，离散还是连续，扎德用如下记号作为模糊集A的一般表示形式:U上的全体模糊集，记为：F(U)=A|A:U0,1w7模糊集
4、的运算模糊集上的运算主要有：包含、交、并、补等等。1.包含运算定义4.5设A，BF(U)，若对任意uU，都有B(u)A(u)成立，则称A包含B，记为 。2.交、并、补运算定义4.6设A，BF(U)，以下为扎德算子w8模糊集运算举例例.设U=u1,u2,u3，A=0.3/u1+0.8/u2+0.6/u3B=0.6/u1+0.4/u2+0.7/u3则：AB=(0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3=0.3/u1+0.4/u2+0.6/u3AB=(0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3=0.6/u1+0.8/u2+0.7/u3A=(1-0.
5、3)/u1+(1-0.8)/u2+(1-0.6)/u3=0.7/u1+0.2/u2+0.4/u3w9模糊集运算举例例.A表示“年老”的模糊集，B表示“年轻”的模糊集。则：w10模糊关系定义4.7Ai是Ui(i=1,2,n)上的模糊集，则称为A1,A2,An的笛卡儿乘积，它是U1U2Un上的一个模糊集。定义4.8在U1U2Un上一个n元模糊关系R是指以U1U2Un为论域的一个模糊集，记为w11模糊关系一般地说，当U和V都是有限论域时，其模糊关系R可用一个模糊矩阵表示。U=u1,u2,umV=v1,v2,vn则UV上的模糊关系为w12模糊关系举例例.U=张三，李四，王五V=篮球，排球，足球，乒乓球
6、UV上的一个模糊关系Rw13篮球排球足球乒乓球张三0.70.50.40.1李四00.600.5王五0.50.30.80模糊关系的合成定义4.9设R1与R2分别是UV与VW上的两个模糊关系，则R1与R2的合成是指从U到W的一个模糊关系，记为R1R2其隶属函数为w14模糊关系合成举例例.设论域U=V=a,b,c，论域W=x,y。R1是UV上的模糊关系，R2是VW上的模糊关系。求R1与R2的合成。解：R1与R2的合成是：合成法则类似于矩阵乘法。w15模糊语言值模糊语言值大、很大、有些大、小、不太小基本概念扩充法w16模糊概念扩充法举例例.设U=1,2,10，已知：大=0.2/4+0.4/5+0.6/
7、6+0.8/7+1/8+1/9+1/10小=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5解：不大也不小=不大不小=0.2/2+0.4/3+0.6/4+0.6/5+0.4/6+0.2/7很大=大2(u)=0.22/4+0.42/5+0.62/6+0.82/7+12/8+12/9+12/10=0.04/4+0.16/5+0.36/6+0.64/7+1/8+1/9+1/10有点大=大0.5(u)=0.20.5/4+0.40.5/5+0.60.5/6+0.80.5/7+10.5/8+10.5/9+10.5/10=0.45/4+0.63/5+0.77/6+0.89/7+1/8+1/9+1/10
8、w17模糊逻辑对多值逻辑的扩展模糊逻辑运算w18模糊命题含有模糊概念、模糊数据或带有确信程度的语句称为模糊命题。它的一般表示形式为：xisA或者xisA(CF)例如：张三 是（is） 年轻的模糊语言值是指表示大小、长短、高矮、轻重、快慢、多少等程度的一些词汇。使用模糊语言值更符合人们表述问题的习惯。而其模糊集形式只是内部表示。w19模糊知识w模糊产生式规则的一般形式是：IFETHENH(CF,)其中，E是用模糊命题表示的模糊条件；H是用模糊命题表示的模糊结论；CF是该产生式规则所表示的知识的可信度因子，它既可以是一个确定的数，也可以是一个模糊数或模糊语言值。是阈值，用以指出知识什么时候可被应用
9、。CF和的值由领域专家在给出知识的时候同时给出。例如：IFx1isA1ANDx2isA2THENyisB(CF,)w推理中所用的证据也用模糊命题表示，一般形式为xisA或者xisA(CF)w20模糊匹配不确定性匹配XisAXisA模糊集的匹配度（0,1）贴近度w21匹配度举例例.设论域U=甲,乙,丙,丁,戊，其上的两个模糊集分别为：A=0.1/甲+0.6/乙+1/丙+1/丁+0.3/戊B=0.2/甲+0.8/乙+0.9/丙+1/丁+0.4/戊求二者的匹配度。解：用贴近度方法求二者匹配度。即A和B两个模糊集之间的匹配度为0.9。w22语义距离如果论域U上两个模糊集A和B的语义距离为d(A,B)，
10、则其匹配度为1-d(A,B)。曼哈顿距离（ManhattanDistance）或者海明距离（HammingDistance）欧几里德距离（EuclideanDistance）明可夫斯基距离（MinkowskiDistance）w23语义距离举例例.设论域U=甲,乙,丙,丁,戊，其上的两个模糊集分别为：A=0.1/甲+0.6/乙+1/丙+1/丁+0.3/戊B=0.2/甲+0.8/乙+0.9/丙+1/丁+0.4/戊求二者的匹配度。解：方法一：用海明距离求二者匹配度。所以A和B两个模糊集之间的匹配度为1-0.1=0.9。w24其它相似度方法最大最小法算术平均法几何平均法w25复合条件的模糊匹配第一步
11、分别计算各个子条件与其对应证据的匹配度match(Ai,Ai)，其中Ai和Ai分别表示一个子条件和其对应证据。第二步选择一种方法综合各个单一证据的匹配度，求出整个前提条件E与组合证据E之间总的匹配度。取极小法相乘法第三步检查总匹配度是否满足阈值条件。如果满足就可匹配；否则为不匹配。w26模糊推理的基本模式自然演绎有三种基本模式：假言推理、拒取式推理和假言三段论推理。模糊推理也有以上三种基本模式。1.模糊假言推理设AF(U),BF(V)，并有AF(U)，BF(V)。知识：IFxisATHEN yisB证据： xisA-结论：yisB对于复合条件有：知识：IFx1isA1ANDx2isA2ANDA
12、NDxnisAnTHENyisB证据： x1isA1x2isA2xnisAn-结论：yisBw27模糊推理的基本模式2.模糊拒取式推理知识：IFxisATHEN yisB证据：yisB-结论： xisA3.模糊三段论推理IFxisATHEN yisBIFyisBTHEN zisC-IFxisATHEN zisCw28模糊推理的方法推理方法有多种，例如扎德等人的合成推理规则，P.Magrez和P.Smets提出的计算模型等。扎德法的基本思想是：首先由知识IFxisATHENyisB求出A与B之间的模糊关系R；然后在通过R与相应证据的合成求出模糊结论。这种方法又称为基于模糊关系的合成模型。w294
13、.5.2 简单模糊推理知识中只含有简单条件且不带可信度因子的模糊推理称为简单模糊推理。按照扎德等人提出的合成推理规则，对于知识：IFxisA THENyisB首先构造出A与B之间的模糊关系R，然后通过R与证据的合成求出结论。如果已知证据是xisA且A与A可以模糊匹配，则通过下述合成运算求取B：B=AR如果已知证据是yisB且B与B可以模糊匹配，则通过下述合成运算求出A：A=RBw30构造模糊关系R的方法1. 扎德方法w扎德提出了两种方法：一种称为条件命题的极大极小规则；另一种称为条件命题的算术规则，由它们获得的模糊关系分别记为Rm和Ra。设AF(U),BF(V)，其表示分别为且用，分别表示模糊
14、集的笛卡儿乘积、并、交、补及有界和运算，则扎德把Rm和Ra分别定义为：w31对于模糊假言推理，若已知证据为x is A则：Bm=ARmBa=ARa对于模糊拒取式推理，若已知证据为y is B则：Am=RmBAa=RaBw32扎德法推理举例(1)例.设论域U=V=金,木,水,火,土，其上的两个模糊集分别为：A=1/金+0.7/木+0.3/土B=0.1/水+1/火+0.2/土又已知模糊知识IF xisATHENyisB和证据xisA，其中A的模糊集为：A=0.8/金+1/木+0.4/土请进行模糊推理，求出模糊结论。解：则由模糊知识可分别得到Rm与Ra：Rm(i,j)=(A(ui)B(vj)(1-A
15、(ui)，Ra(i,j)=1(1-A(ui)+B(vj)w33扎德法推理举例(2)然后由Rm和Ra及证据“xisA”可分别得到Bm和Ba：由Rm方法推出的模糊结论是0.4/金,0.4/木,0.4/水,0.8/火,0.4/土，由Ra方法推出的模糊结论是0.4/金,0.4/木,0.4/水,1/火,0.5/土。w34麦姆德尼方法w麦姆德尼提出了一个称为条件命题的最小运算规则来构造模糊关系，记为Rc，其定义为：例.仍以上例中的数据和知识为例。但是已知证据为yisB，其中B的模糊集为：B=0.1/金+0.9/木+0.4/水+1/火+0.3/土请进行模糊推理，求出模糊结论。w35麦姆德尼方法举例解：由模糊
16、知识可得到Rc：所以最终推出的模糊结论就是1/金,0.7/木,0.3/土。w36米祖莫托方法米祖莫托等人根据多值逻辑中计算T(AB)的定义，提出了一组构造模糊关系的方法，分别记为Rs,Rg,Rsg,Rgs,Rgg,Rss等等。其定义分别为：w37米祖莫托方法举例Rs和Rg的求法如下：对于上例给出的数据，有Bs=ARs=0,0,0,1,0=1/火Bg=ARg=0,0,0.1,1,0.2=0.1/水,1/火,0.2/土w38各种模糊关系的性能分析(1)比较模糊关系性能所依据的基本原则：原则1：知识：IFxisA THENyisB证据：xisA-结论：yisB原则2：知识：IFxisA THENyi
17、sB证据：xisveryA-结论：yisveryByisBw39各种模糊关系的性能分析(2)原则3：知识：IFxisATHEN yisB证据：xismoreorlessA-结论：yismoreorlessByisB原则4：知识：IFxisATHEN yisB证据：xisnotA-结论：yisunknownyisnotB以上原则是针对模糊假言推理的。w40各种模糊关系的性能分析(3)原则5：知识：IFxisA THENyisB证据：yisnotB-结论：xisnotA原则6：知识：IFxisA THENyisB证据：yisnotveryB-结论：xisnotveryAw41各种模糊关系的性能分析
18、(4)原则7：知识：IFxisATHEN yisB证据：yisnotmoreorlessB-结论： xisnotmoreorlessA原则8：知识：IFxisATHEN yisB证据：yisB-结论： xisunknownxisAw42模糊关系评测实例例.设U=V=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5B=0.2/4+0.4/5+0.6/6+0.8/7+1/8+1/9+1/10已知模糊规则：IFxisATHENyisB求已知下列证据时的推理结果。(1)xisveryA(2)XisnotA(3)YisB(4)YisveryBw43根据基
19、本概念扩充法，由A可得：veryA=1,0.64,0.36,0.16,0.04,0,0,0,0,0moreorlessA=1,0.89,0.77,0.63,0.45,0,0,0,0,0notA=0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1,1,1,1notveryA=0,0.36,0.64,0.84,0.96,1,1,1,1,1notmoreorlessA=0,0.11,0.23,0.37,0.55,1,1,1,1,1w44由B可得：veryB=0,0,0,0.04,0.16,0.36,0.64,1,1,1moreorlessB=0,0,0,0.45,0.63,0.77,0.89,1,1,1no
20、tB=1,1,1,0.8,0.6,0.4,0.2,0,0,0notveryB=1,1,1,0.96,0.84,0.64,0.36,0,0,0notmoreorlessB=1,1,1,0.55,0.37,0.23,0.11,0,0,0w45w47w48w49各种模糊关系符合推理原则情况一览表w50原则ABRm Ra Rc Rs Rg Rsg Rgg Rgs Rss Rb R R R* R# R1234AVery AVery Amore or less AMore or less ANot ANot ABVery BBMore or less BBUnknownNot B v v v v v v
21、v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v 5678Not ANot very ANot more or less AUnknownANot BNot very BNot more or less BBB v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v 4.5.3 模糊三段论推理模糊三段论推理R1:IFxisA THENyisBR2:IFyisB THENzisC-R3:IFxisA THENzisC如果R3能够从R1和R2推导出来，则称该模糊三段论成立。其中A、B、C分别是论域U、V、
22、W上的模糊集。设R(A,B),R(B,C)与R(A,C)分别是从上述模糊知识中得到的模糊关系，它们分别定义在UV,VW,UW上，当模糊三段论成立时，应有：R(A,B)R(BC)=R(A,C)成立，反之亦然。w51满足模糊三段论的模糊关系在前面讨论的15种模糊关系中，有一些能满足模糊三段论，有一些不能满足。设U=V=W=1,2,3,4,5A=1/1+0.6/2+0.2/3B=0.3/3+0.7/4+1/5C=0.09/3+0.49/4+1/5对Rm由R1，R2，R3分别得到：w52w53显然，Rm(A,B)Rm(B,C)Rm(A,C)。这说明Rm不满足模糊三段论。w54显然，Rg(A,B)Rg(
23、B,C)=Rg(A,C)这说明Rg满足模糊三段论。各种模糊关系满足模糊三段论情况表中，“v”表示满足，“”表示不满足。w55模糊关系Rm Ra Rc Rs Rg Rsg Rgg Rgs Rss Rb R R R* R# R模糊三段论 v v v v v v v v4.5.4 多维模糊推理所谓多维模糊推理是指知识的前提条件是复合条件的一类推理。其一般模式为：知识：IFx1isA1ANDx2isA2ANDANDxnisAnTHENyisB证据： x1isA1x2isA2xnisAn-结论：yisB其中，Ai，AiF(Ui);B,BF(V);Ui及V是论域，i=1,2,n。对于多维模糊推理，目前主要
24、有三种处理方法。w561. 扎德方法该方法的基本思想是：(1)求出A1,A2,An的交集，并记为A。(2)求出A与B之间的模糊关系R(A,B)，记为R(A1,A2,An,B)。(3)求出证据中A1,A2,An的交集，并记为A。(4)由A与R(A,B)的合成求出B。w57多维模糊推理举例例.设U=V=W=1,2,3,4,5A1=1,0.6,0,0,0,A2=0,1,0.5,0,0,B=0,0,1,0.8,0A1=0.8,0.5,0,0,0,A2=0,0.9,0.5,0,0。用Ra关系推理。解：由已知可得:A1A2=0,0.6,0,0,0，A1A2=0,0.5,0,0,0Ba=(A1A2)Ra(A
25、1,A2,B)=0.4,0.4,0.5,0.5,0.4w582. 祖卡莫托(TSUKAMOTO)方法该方法的基本思想是：首先对复合条件中的每一个简单条件按简单条件模糊推理求出相应的Bi，即Bi=AiR(Ai,B),i=1,2,n然后再对各Bi取交，从而得到B，即B=B1B2Bnw59例.对上例中的数据，用Rs关系推理。可得：Bs1=A1Rs(A1,B)=0,0,0.8,0.5,0w60Bs2=A2Rs(A2,B)=0,0,0.9,0.5,0最后可得：Bs=Bs1Bs2=0,0,0.8,0.5,0w613. 苏更诺(SUGENO)方法该方法通过递推计算求出B，具体为：B1=A1R(A1,B)B2
26、=A2R(A2,B1)B=Bn=AnR(An,Bn-1)w62苏更诺方法举例对上例的数据，使用Rs关系可得：w634.5.5 多重模糊推理所谓多重模糊推理，一般是指知识具有如下表示形式的一种推理：IFxisA1THENyisB1ELSEIFxisA2THENyisB2ELSEIFxisAnTHENyisBn其中，AiF(U),BiF(V),i=1,2,n。这里只讨论它的一种简单形式：IFxisATHENyisBELSEyisC其中AF(U),B,CF(V)。其推理模式为：知识：IFxisATHEN yisBELSEyisC证据： x1isA-结论：yisD其中A,AF(U);B,C,DF(V)
27、。设R为UV上A与B及C之间的模糊关系，则D可通过A与R的合成得到，即D=ARw64多重模糊推理中的模糊关系设U=V=1,2,3,4,5,6,A=1,0.8,0.5,0.3,0.1,0,B=0,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,C=1,0.9,0.8,0.6,0.4,0.2w654.5.6 带有可信度因子的模糊推理带有可信度因子的模糊推理可以把模糊性和随机性结合起来，使之既能表示和处理模糊性，又能表示和处理随机性。在这种模糊推理中，由随机性引起的不确定性用可信度因子CF表示，由模糊性引起的不确定性用模糊集表示。对于带有可信度因子的简单模糊推理，推理模式为：知识：IFxisATHENyis
28、BCF1证据：xisACF2-结论：yisBCF对于带有可信度因子的多维模糊推理，推理模式为：知识：IFx1isA1ANDx2isA2ANDANDxnisAnTHENyisBCF1证据：x1isA1CF2x2isA2CF3xnisAnCFn+1-结论：yisBCF其中A,AF(U);Ai,AiF(Ui),i=1,2,n;B,BF(V)。CF及CFi(i=1,2,n+1)是可信度因子，它们既可以是0,1上的确定数，也可以是模糊数。w66带可信度因子的模糊推理中的两个问题如何通过用相关的知识和证据推出结论“yisB”;运用前面讨论的方法。如何对CF1及CF2,CFn+1进行合适的运算求出结论的可信
29、度因子CF。当前提条件是简单条件时，CF=match(A,A)CF1CF2CF=match(A,A)minCF1,CF2CF=match(A,A)max0,CF1+CF2-1CF=minmatch(A,A),CF1,CF2模糊数取极小的运算规则(min)类似于与模糊数的四则运算。当前提条件是复合条件时，先把证据的总匹配度和总可信度计算出来，然后然后将其当作简单条件来处理即可。计算总可信度常用的方法有取极小法和相乘法等。即CF1CF2CFn和CF1CF2CFnw67带可信度因子的模糊推理中结论不确定性合成问题可能同时存在多个模糊证据，它们都可以与知识的模糊条件匹配，但推出的结论却不相同，或者可信
30、度因子不同，此时就需要对它们进行合成，得到共同支持的结论及其支持程度。设有两组证据分别推出了如下两个结论：yisB1CF1yisB2CF2则可用如下方法得到它们的合成结论和可信度因子：B=B1B2CF=CF1+CF2-CF1CF2使用这种方法时，要求两个推理序列是相互独立的。w684.6 证据理论由德普斯特（A.P.Denmpster）首先提出，并由沙佛（G.Shafer）进一步发展起来的一种处理不确定性的理论。该理论满足比概率论弱的公理，能够区分“不确定”与“不知道”的差异，并能处理由“不知道”引起的不确定性，具有较大的灵活性。w694.7 粗糙集理论1982年波兰学者卜洛克（Z.Pawlak）发表了经典论文粗糙集（RoughSets），宣告了粗糙集理论的诞生。一个对象由若干个属性描述，对象按照属性的取值情况形成若干等价类，同一等价类中的对象不可区分。给定集合A，粗糙集基于不可区分关系，定义集合A的上近似和下近似，通过这些基本集合及其关系来处理不确定性知识。粗糙集理论可应用于解释不精确数据间的关系，发现对象和属性间的依赖，评价属性对分类的重要性，去除冗余数据，从而对信息系统进行约简。本章完w71
