随机人口模型

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1、随机人口模型随机人口模型背景背景 一个人的出生和死亡是随机事件一个人的出生和死亡是随机事件一个国家或地区一个国家或地区平均生育率平均生育率平均死亡率平均死亡率确定性模型确定性模型一个家族或村落一个家族或村落出生概率出生概率死亡概率死亡概率随机性模型随机性模型对象对象X(t) t 的人口的人口, 随机变量随机变量.Pn(t) 概率概率P(X(t)=n), n=0,1,2,研究研究Pn(t)的变化规律；得到的变化规律；得到X(t)的期望和方差的期望和方差1若若X(t)=n, 对对t到到t+ t的出生和死亡概率作以下假设的出生和死亡概率作以下假设1)出生一人的概率与出生一人的概率与 t成正比，记成正

2、比，记bn t ;出生二人及二人以上的概率为出生二人及二人以上的概率为o( t).2)死亡一人的概率与死亡一人的概率与 t成正比，记成正比，记dn t ;死亡二人及二人以上的概率为死亡二人及二人以上的概率为o( t).3)出生和死亡是相互独立的随机事件。出生和死亡是相互独立的随机事件。 bn与与n成正比，记成正比，记bn= n , 出生概率出生概率；dn与与n成正比，记成正比，记dn= n， 死亡概率死亡概率。进一步假设进一步假设模型假设模型假设2建模建模为得到为得到Pn(t) P(X(t)=n),的变化规律，的变化规律，考察考察Pn(t+ t) =P(X(t + t)=n).事件事件X(t

3、+ t)=n的分解的分解X(t)=n-1, t内出生一人内出生一人X(t)=n+1, t内死亡一人内死亡一人X(t)=n, t内没有出生和死亡内没有出生和死亡其它其它(出生或死亡二人，出生或死亡二人，出生且死亡一人，出生且死亡一人， )概率概率Pn(t+ t) Pn-1(t), bn-1 t Pn+1(t), dn+1 t Pn(t), 1-bn t -dn t o( t)3一组递推微分方程一组递推微分方程求解的困难和不必要求解的困难和不必要(t=0时已知人口为时已知人口为n0)转而考察转而考察X(t)的期望和方差的期望和方差bn= n，dn= n微分方程微分方程建模建模4X(t)的期望的期望求解求解基本方程基本方程n-1=kn+1=k5求解求解比较：确定性指数增长模型比较：确定性指数增长模型X(t)的方差的方差E(t)- (t) - = r D(t) E(t)+ (t)Et0n0 , D(t) X(t)大致在大致在 E(t) 2 (t) 范围内（范围内（ (t) 均方差）均方差）r 增长概率增长概率r 平均增长率平均增长率6